王巧紅

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個抽象的概念，它是受過數(shù)學(xué)熏陶的人所具有的一種素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)等。本文擬就思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)談幾點粗淺看法。

一、數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性的培養(yǎng)

嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)思維的優(yōu)秀品質(zhì)。具有了嚴(yán)謹(jǐn)性思維，在推理論證以及數(shù)學(xué)運算中會更加注重邏輯性、嚴(yán)密性，既“滴水不漏”又“沒有廢話”?；A(chǔ)知識的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性密不可分，在概念的形成、命題的推理論證、運算求解、知識體系的形成中都要求具備嚴(yán)謹(jǐn)性思維。例如：在函數(shù)奇偶性的定義中，有一個隱含的條件是函數(shù)的定義域區(qū)間必須關(guān)于O對稱，在判斷時學(xué)生卻往往忽略這一點。那么，在教學(xué)中對這種忽略的糾正過程，就是對學(xué)生“思維漏洞”的補漏過程，也是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)過程。

思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)不僅可以在基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)中進(jìn)行，也可以在解決數(shù)學(xué)綜合問題時進(jìn)行，并且后者是對思維嚴(yán)謹(jǐn)性的強(qiáng)化訓(xùn)練。比如：橢圓是中心在坐標(biāo)原點、焦點在橫坐標(biāo)軸上的橢圓，左焦點F1、右焦點F2，過左焦點的直線l與橢圓交于A、B兩點，橢圓的實半軸長，虛半軸長為1，求向量F2A和向量F2B數(shù)量積的最大值。解決這個問題時，要考慮直線l與橫坐標(biāo)軸垂直和不垂直兩種情況，當(dāng)垂直時計算得到所求數(shù)量積是;當(dāng)不垂直時，經(jīng)過計算得到數(shù)量積的取值范圍是左閉右開區(qū)間[-1，]。在解題過程中，學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤是直接設(shè)出l的點斜式方程，考慮不到l垂直于橫坐標(biāo)軸的情況，從而計算出數(shù)量積的取值范圍是左閉右開區(qū)間[-1，]，出現(xiàn)這樣的結(jié)果后就“傻眼”了，原因是它無最大值，明顯是錯誤的;通常情況下，不會出沒有最大值而要求計算最大值的題目。出錯的根源是思維不嚴(yán)謹(jǐn)，沒有考慮到垂直于橫坐標(biāo)軸的情況，而數(shù)量積的最大值恰巧就在這種“疏忽”掉的情況下取得，以至于出現(xiàn)了無最大值的局面。解題過程中這種“傻眼”情形能對學(xué)生的思維起到震撼并激活的作用，留下的印象難以磨滅，所以，這種“陷阱”式的錯誤是對學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的強(qiáng)化訓(xùn)練。

思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，無論是基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)還是綜合問題的解決，都是培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)性思維的路徑，只要堅持訓(xùn)練，久而久之，學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性會逐步形成。

思維的深刻性也是數(shù)學(xué)思維的優(yōu)秀品質(zhì)。思維具有了深刻性，對基礎(chǔ)知識的理解會更加準(zhǔn)確，對問題的分析會更加透徹，能夠直截了當(dāng)?shù)刈プ栴}的本質(zhì)，針對問題的本質(zhì)內(nèi)容展開思考，使問題得到徹底的解決。

在基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)和基本技能的掌握中，能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性是毫無疑問的。比如：已知A、B兩點關(guān)于直線l對稱，本質(zhì)意思是線段AB的中點在l上，并且直線AB和直線l是垂直關(guān)系。

分析解決數(shù)學(xué)綜合問題，更能培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生思維的深刻性，并且是一種強(qiáng)化訓(xùn)練。比如：解決立體幾何綜合問題時，首先要分析幾何體中的各種位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，可選擇純粹的立體幾何法，而在能夠建立空間直角坐標(biāo)系時也可以選擇空間向量法，把問題轉(zhuǎn)化成空間向量的計算問題，因為許多立體幾何問題用空間向量的計算方法解決更為方便，可以計算點到直線或平面間的距離、異面直線間的距離、兩條直線所成角的大小、直線與平面所成角以及二面角的大小等。這種分析和轉(zhuǎn)化的過程就是對思維深刻性的培養(yǎng)。

在基礎(chǔ)知識和基本概念的學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成準(zhǔn)確理解問題的好習(xí)慣，在數(shù)學(xué)綜合問題訓(xùn)練中，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成抓本質(zhì)、抓關(guān)鍵的習(xí)慣，如此日積月累、循序漸進(jìn)，學(xué)生思維的深刻性水平定會得到大大提高。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中離不開數(shù)學(xué)抽象，無論是對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，還是對問題的分析以及解決問題時的推理論證、運算過程，對平面圖形以及空間圖形的直觀想象等都離不開數(shù)學(xué)抽象，特別是在解決應(yīng)用問題時，可以說具有數(shù)學(xué)抽象能力是解決問題所需要的第一項能力，因此數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力需要一定的載體。數(shù)學(xué)源于生活又用于生活，無論是基礎(chǔ)知識、基本技能的學(xué)習(xí)，還是綜合問題的解決都離不開抽象思維，這些都是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的載體。特別是以綜合問題為載體，會使學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力得到強(qiáng)化訓(xùn)練。高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)與三角形綜合問題、概率與統(tǒng)計的綜合問題、立體幾何綜合問題、數(shù)列綜合問題、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題、解析幾何綜合問題都是非常重要的綜合問題，以它們?yōu)檩d體進(jìn)行訓(xùn)練，會培養(yǎng)出學(xué)生很強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力，大幅度提高其數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);同時，學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、方程、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法也會得到有效訓(xùn)練，從而大幅度提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、分析轉(zhuǎn)化能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力、空間想象能力、作圖能力、綜合應(yīng)用能力。

邏輯推理素養(yǎng)是根據(jù)已知的條件或命題，進(jìn)行合理的、有根有據(jù)的推理的素養(yǎng)。要提高學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，就要提高其邏輯推理能力，要提高其邏輯推理能力，就要提高其邏輯思維能力，最根本的是要針對學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力進(jìn)行嚴(yán)格的訓(xùn)練。

培養(yǎng)邏輯思維也需要一定的載體。數(shù)學(xué)中所開展的思維活動都是有根有據(jù)的、合理的，所以其思維活動都是邏輯思維活動。比如定理、推論的證明過程中，每一步都有根有據(jù);解決問題的表達(dá)過程中，除保持思維的嚴(yán)謹(jǐn)性即“不多說一句，也不少說一句”外，還要每一步都要有根有據(jù)，這就是邏輯思維的訓(xùn)練。另外，數(shù)學(xué)運算過程、分析問題的過程、識圖用圖過程等，這些過程中展開的思維也是邏輯思維。這些都是訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維的載體，在這些方面對其進(jìn)行嚴(yán)格的訓(xùn)練，經(jīng)過持之以恒的努力，能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高邏輯推理能力和素養(yǎng)。

直觀想象素養(yǎng)是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化的素養(yǎng)。同樣地，直觀想象素養(yǎng)和直觀想象能力成正比例關(guān)系。下面僅以立體幾何和解析幾何為載體談?wù)勥@種能力的培養(yǎng)。

首先，以立體幾何為載體。立體幾何是培養(yǎng)直觀想象能力的重要載體，特別是柱、錐、臺、球、簡單組合體以及它們的三視圖，翻折圖形、幾何體割補后的幾何體，在這幾類幾何體中三棱柱、直三棱柱、長方體、三棱錐、四棱錐、球面、球體、三視圖、翻折圖形、幾何體割補后的幾何體尤其重要。在教學(xué)中，開始接觸時可以用模型或通過多媒體展示讓學(xué)生直觀地認(rèn)識這些幾何體，再進(jìn)一步細(xì)致觀察幾何體中的點、線、面以及相互間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生全方位熟悉這些幾何體，對這些幾何體形成足夠的認(rèn)識。這些認(rèn)識是依賴于幾何體的模型或多媒體展示而形成的，其后的學(xué)習(xí)中，還要使學(xué)生脫離這種依賴，讓學(xué)生在沒有依賴的情況下想象出幾何體，以及其中的點、線、面之間的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，想象出由這些關(guān)系所能推出的關(guān)系。對多種幾何體反復(fù)進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，并保持這種思維方式;在三視圖教學(xué)中，把幾何體的三視圖還原成原幾何體，再通過幾何體想象出它的三視圖，對多種幾何體也反復(fù)進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，也保持這樣的思維方式;在翻折問題和割補前后的幾何體的教學(xué)中，首先掌握翻折前或割補前的圖形及其性質(zhì)，再看清楚翻折后或割補后的圖形中，哪些是變化了的，哪些是沒有變化的，變化了的變成了什么狀態(tài)，把變化了的以及沒有變化的點、線、面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系想象透徹，同樣對多種翻折問題和割補問題反復(fù)進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，保持這樣的思維方式，假以時日就能夠達(dá)到“玩熟”空間圖形的效果，學(xué)生也就具有了一定的直觀想象能力，提高了直觀想象素養(yǎng)。

其次，以解析幾何為載體。解析幾何也是培養(yǎng)直觀想象能力的重要載體，特別是直線與圓交匯、直線與圓錐曲線交匯、圓錐曲線與圓錐曲線的交匯問題是更為重要的載體。對其中的直線、圓、圓錐曲線間的相互關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系，要分析清楚、了如指掌。既要能直觀想象出圖形中已有的，也要能想象出根據(jù)條件求出的圖形在原圖形中的位置情況。對此類交匯問題，進(jìn)行如前面所述的分析和直觀想象的訓(xùn)練，只要堅持不懈就能培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，提高其直觀想象素養(yǎng)，也為進(jìn)一步解決解析幾何綜合問題提供有力支持。

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是運用數(shù)學(xué)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)運算是隨著數(shù)學(xué)的產(chǎn)生而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)中每個問題的解決都離不開它，通過準(zhǔn)確的運算推理得到正確答案，是數(shù)學(xué)基本功。

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是在運算中形成的。形成運算能力既要有毅力和耐力，對每道題不僅能分析出解題方法，還要能準(zhǔn)確快速地運算出結(jié)果。解題時運算這一步不能省略，因為它正是形成運算基本功的過程，如果將其省略看似加快了解題速度，實際上卻得不償失，數(shù)學(xué)運算的基本功將會無法形成;反之，如果認(rèn)真運算并注意算法的特點，則形成“快、準(zhǔn)、狠”的運算能力并非難事，這樣就培養(yǎng)了數(shù)學(xué)運算能力，提高了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

對實際應(yīng)用中收集到的大量數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法進(jìn)行匯總推理、分析研究，總結(jié)出符合實際情境的有用信息的過程就是數(shù)據(jù)分析，這種能力就是數(shù)據(jù)分析能力，這種素養(yǎng)就是數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。在實際問題的解決過程中，首先要抽象出數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過運算得到結(jié)果數(shù)據(jù)，對結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，然后做出對實際問題的判斷。

數(shù)據(jù)分析被廣泛應(yīng)用于實際問題中，比如對本季度的銷售數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，估計出下季度的銷售數(shù)據(jù);對某個時間段某地區(qū)人民的收入數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，估計出該地區(qū)人民的收入水平;在購買某類險種的保險時，投保人對上年度的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，并對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，對運算后的結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，可以作出本年度對這類險種投保與否的決定;對比賽中的某人，根據(jù)條件算出這個人勝出的概率，對這個概率進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，做出這個人能否勝出的推斷;對某地在一段年份內(nèi)的雨量和植被覆蓋面積的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計后，建立線性模型，算出線性相關(guān)系數(shù)，通過對線性相關(guān)系數(shù)這個數(shù)據(jù)的分析，對植被面積受雨量的影響情況作出推斷。諸如此類問題不勝枚舉。

從以上分析可以看出，數(shù)據(jù)分析在解決實際問題中起著關(guān)鍵性作用，教學(xué)中要努力培養(yǎng)學(xué)生的這種能力。數(shù)據(jù)分析能力的提高需要抽象概括能力、數(shù)學(xué)建模能力、邏輯推理能力、運算求解能力的支持。

綜上所述，數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)與其相應(yīng)的能力成正比例關(guān)系，要培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)就要從培養(yǎng)相應(yīng)的能力著手，而能力的培養(yǎng)是慢功夫。因此，立足于教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，把培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力當(dāng)作教學(xué)的重要目標(biāo)進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，不急不躁、穩(wěn)扎穩(wěn)打，就能夠培養(yǎng)出學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。