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        基于俞正強(qiáng)老師對分?jǐn)?shù)思考的再思考

        2022-03-10 06:54:48周揚輝
        讀寫算(下) 2022年2期
        關(guān)鍵詞:含義環(huán)節(jié)分?jǐn)?shù)

        周揚輝

        (浙江省杭州市余杭區(qū)杭州二中樹蘭實驗學(xué)校,浙江 杭州 311100)

        俞正強(qiáng)老師在《“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”怎么教》這篇文章中認(rèn)為分?jǐn)?shù)的認(rèn)識應(yīng)該由量到率,再對比二者關(guān)系。這番思考引發(fā)筆者對這節(jié)課進(jìn)行了深思,個人覺得前后兩節(jié)課之間沒有必然聯(lián)系,第二節(jié)課相當(dāng)于另起爐灶,全新闡述分?jǐn)?shù)的概念,走的是兩條平行線,兩種概念并未相交。筆者認(rèn)為分?jǐn)?shù)概念的產(chǎn)生一定是基于整體與部分的關(guān)系,量與率的概念都應(yīng)從分物的情境中產(chǎn)出,所以認(rèn)為本節(jié)課應(yīng)該量率結(jié)合同時進(jìn)行。

        一、現(xiàn)狀分析,問題緣起

        在小學(xué)畢業(yè)考試中分?jǐn)?shù)是必考內(nèi)容,出錯率卻居高不下。在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)一線教師對此塊內(nèi)容相當(dāng)重視,在教學(xué)中研發(fā)各種變式題,歸納解題技巧,可是依然沒有明顯的效果。原因是什么呢?不妨先看他們的問題所在,集中體現(xiàn)為如下兩種題型:①比4 分米多是()分米。②比4 分米多分米是()分米。這組題目有很多人出錯,而且呈現(xiàn)出年級越高出錯率越高的趨勢。在本校五六兩個年級中進(jìn)行抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn),五年級的錯誤率在34%左右,六年級的出錯率在45%左右,個別班級數(shù)值更高。這就反映出學(xué)生對分?jǐn)?shù)表示量與關(guān)系的含義混淆,尤其是涉及單位“1”是一些物體時,這種混淆情況更嚴(yán)重。

        關(guān)于上述出現(xiàn)的問題筆者存在兩個困惑,困惑一:學(xué)生為什么會出現(xiàn)量率不分的問題?困惑二:為什么問題是暴露在五年級?分?jǐn)?shù)概念的學(xué)習(xí)是在三年級上冊所處的學(xué)齡段進(jìn)行的,那么兩個學(xué)齡段之間有著怎樣的聯(lián)系,造成這個問題的根源是什么?

        二、追本溯源之教材解讀

        原因之一:時間跨度大

        人教版把分?jǐn)?shù)知識編排在三個階段:三年級上冊第八單元《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》,五年級下冊第四單元《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》以及第六單元《分?jǐn)?shù)的加法和減法》,六年級上冊第一單元《分?jǐn)?shù)乘法》以及第三單元《分?jǐn)?shù)的除法》。從縱向的編排來看分?jǐn)?shù)知識的編排時間跨度大,經(jīng)過兩年的時間學(xué)生對分?jǐn)?shù)的知識還保留多少?這對概念體系的形成是很不利的,筆者認(rèn)為這是問題暴露在五年級的因素之一。

        原因之二:知識間呈現(xiàn)斷層

        從教材呈現(xiàn)的內(nèi)容來看,三年級關(guān)于分?jǐn)?shù)部分的編寫通過創(chuàng)設(shè)分物的情境圖引起學(xué)生“分”的實踐活動。通過對單位“1”的平均分,認(rèn)識并理解這樣的幾分之一的分?jǐn)?shù)。并以此為基礎(chǔ)再進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)。筆者認(rèn)為分?jǐn)?shù)由分物產(chǎn)生,但呈現(xiàn)在學(xué)生面前的不是分到物品的具體量而是分到的部分和整體之間的關(guān)系。接著幾分之一的比較大小也通過圖的比較,其實質(zhì)也是量的大小的比較。分率和量就這樣混搭著呈現(xiàn)給學(xué)生,而且量還是隱晦地呈現(xiàn)。三年級的學(xué)生能辨別到這兩種含義嗎?答案是否定的,筆者進(jìn)行了一次嘗試教學(xué)證明了此觀點。

        按照教材的編排第一課時直接認(rèn)識分?jǐn)?shù)關(guān)系的含義。后對41 名學(xué)生調(diào)查,全班無一人知道可以表示個,一致認(rèn)為分?jǐn)?shù)后面不可以加單位。這就說明量率不分問題的根源,關(guān)于分?jǐn)?shù)量的含義未曾構(gòu)建,學(xué)生在三年級形成的分?jǐn)?shù)的概念是片面的。

        五年級的《分?jǐn)?shù)的意義》這部分內(nèi)容由“分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生”和“分?jǐn)?shù)的意義”兩部分構(gòu)成。關(guān)于“分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生”教材呈現(xiàn)兩幅圖,這兩幅圖揭示了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的需要,這和三年級教材的呈現(xiàn)思路是一樣的,但第二幅圖是人教版教材第一次出現(xiàn)關(guān)于分?jǐn)?shù)量的含義:每人分到()塊月餅、()包餅干。按照教材的編排,在此之前學(xué)生是沒有建構(gòu)關(guān)于量的含義的分?jǐn)?shù)概念,學(xué)生不可能靠著這一個情境就建立起分?jǐn)?shù)的完整概念,并且緊接著教材編排的是“分?jǐn)?shù)的意義”,重點在于單位1 的概念的形成,并沒有編排量率區(qū)分這塊內(nèi)容。所以兩個學(xué)段之間知識的斷層會導(dǎo)致量率不分的問題在五年級暴露出來。

        分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的不完整才是學(xué)生在量率不分的真正原因。所以教學(xué)中必須妥善處理好量與率的呈現(xiàn)方式,根據(jù)現(xiàn)有教材找到合適的教學(xué)策略。

        三、分?jǐn)?shù)的教學(xué)思考——形成概念體系

        經(jīng)過對三年級和五年級的教材梳理,筆者認(rèn)為要避免知識間的斷層就必須在三年級的《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》這個單元中構(gòu)建完整的分?jǐn)?shù)概念,分?jǐn)?shù)量和率的含義必須都要建構(gòu)。問題是怎樣處理二者的關(guān)系呢?俞正強(qiáng)老師認(rèn)為:關(guān)于量與率的混淆,在于對分?jǐn)?shù)完全陌生時的同時呈現(xiàn)。解決之道是讓學(xué)生先深刻經(jīng)歷關(guān)于量的分?jǐn)?shù)認(rèn)識,諗熟之后再經(jīng)歷關(guān)于分率的認(rèn)識,在此基礎(chǔ)上比較兩個認(rèn)識的差別,以解決量與分率的混淆問題。筆者認(rèn)為俞老師的見解一針見血,再一次進(jìn)行教學(xué)實踐。

        具體實施過程如下:

        第一節(jié)課通過三個環(huán)節(jié)認(rèn)識作為量的分?jǐn)?shù)。環(huán)節(jié)一:分一分嘗試用數(shù)字表示分的結(jié)果,體會分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性。環(huán)節(jié)二:梳理分的過程,用分?jǐn)?shù)表示分的結(jié)果。環(huán)節(jié)三:討論用分?jǐn)?shù)表示餅的大小的規(guī)律。本節(jié)課中分?jǐn)?shù)一直作為量的表示而存在,目的是讓學(xué)生對分?jǐn)?shù)的量的表示印象深刻而充分。本節(jié)課之后學(xué)生對分?jǐn)?shù)量的概念有了清楚的認(rèn)識,對用個表示半個,個表示小半個非常認(rèn)同。

        第二節(jié)課以“倍”作為認(rèn)識基礎(chǔ)分?jǐn)?shù)關(guān)系的含義。環(huán)節(jié)一:認(rèn)識表示兩個量之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)。環(huán)節(jié)二:認(rèn)識表示部分與總體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)。環(huán)節(jié)三:練習(xí)。本節(jié)課結(jié)束之后進(jìn)行了課后測試,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對兩個物體之間存在倍數(shù)關(guān)系情況用分?jǐn)?shù)表征的題正確率較高,但對用分?jǐn)?shù)表示整體與部分之間的關(guān)系的題錯誤率較高。例如一個圓平均分成8 份,涂出其中的1 份學(xué)生會錯誤地用來表示。

        第三節(jié)課采用俞老師的兩大環(huán)節(jié)只對材料稍作調(diào)整,環(huán)節(jié)一:對的不同理解,明確分?jǐn)?shù)既可以表示量也可以表示關(guān)系。環(huán)節(jié)二:區(qū)別分?jǐn)?shù)表示量還是關(guān)系。

        本節(jié)課后進(jìn)行了課后測試,發(fā)現(xiàn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的量與率的區(qū)別有了較清楚的認(rèn)知。但筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生的困惑是:半個是個,為什么2 倍的關(guān)系變成了一個是另一個的。經(jīng)過與專家討論,重新審視這三節(jié)課,筆者發(fā)現(xiàn)第一節(jié)課基于分物而產(chǎn)生的表示量的分?jǐn)?shù)的思路是對的,問題出在第二節(jié)課,對于表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)是基于“倍”的關(guān)系而產(chǎn)生的。這和第一課時的思路不相統(tǒng)一,相當(dāng)于另起爐灶,重新認(rèn)識一個分?jǐn)?shù)的含義,沒有了像分物時產(chǎn)生分?jǐn)?shù)的必要性,缺乏了二者之間的貫通性。加之本節(jié)是以兩種物品之間的倍數(shù)關(guān)系引入,在無形中學(xué)生會先入為主地認(rèn)為分?jǐn)?shù)可以表征對這樣的兩物之間倍數(shù)關(guān)系,從而弱化整體與部分的思想,反而起到了負(fù)遷移的作用。

        面對上述問題筆者思考:在構(gòu)建分?jǐn)?shù)概念時就必須構(gòu)建完整的分?jǐn)?shù)概念,量和率的含義必須都呈現(xiàn)。原因有三,其一,時間有限,不能夠像認(rèn)識整數(shù)那樣先量后率。其二,學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律不同,認(rèn)識整數(shù)時處在具體形象思維階段,而分?jǐn)?shù)的認(rèn)識這個階段的學(xué)生已經(jīng)有了抽象邏輯思維能力。最后,已有經(jīng)驗不同,三年級的學(xué)生已經(jīng)有了整數(shù)表征量與關(guān)系的知識儲備,并且生活中也積累了一些與分?jǐn)?shù)有關(guān)的常識。綜合以上三個因素筆者認(rèn)為分?jǐn)?shù)的認(rèn)識可以縮短周期,采取一種新的嘗試:

        策略一:雙線并行,構(gòu)建完整概念

        分?jǐn)?shù)的概念形成應(yīng)該貫穿于《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》這個單元的始終,沒有哪一個數(shù)學(xué)概念是可以通過一節(jié)完成的,筆者認(rèn)為整個單元都應(yīng)該量率并行構(gòu)建完整的概念體系。分?jǐn)?shù)產(chǎn)生是用于記錄不完整實物的大小,那么分?jǐn)?shù)的大小也應(yīng)該是由記錄實物的大小支撐。因此,需要對教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,需要把教材中分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用例題1 提前至緊隨幾分之一之后,目的是希望通過幾分之一的內(nèi)容幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)兩種含義的表象,再通過分?jǐn)?shù)簡單應(yīng)用的例題1 實現(xiàn)單位1由1 個物品向多個物品轉(zhuǎn)化,實現(xiàn)分?jǐn)?shù)的兩種含義的對比,進(jìn)而辨清量與率的區(qū)別?!斗?jǐn)?shù)初步認(rèn)識》教學(xué)設(shè)計如下:

        環(huán)節(jié)一:分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生

        分一分

        (1)4 塊月餅,分給兩位同學(xué)?每人分到多少?怎么分?如果是2 塊月餅?zāi)兀?/p>

        (2)1 塊呢?預(yù)設(shè):把一塊月餅平均分成2 半,每人分到半塊。

        此環(huán)節(jié)通過學(xué)生熟悉的生活場景,讓學(xué)生體會分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性。

        環(huán)節(jié)二:探究分?jǐn)?shù)的意義

        任務(wù)一:理解分?jǐn)?shù)表示量的意義

        任務(wù)一是認(rèn)識分?jǐn)?shù)量的含義。設(shè)計是基于學(xué)生的思維方式進(jìn)行,而學(xué)生通過操作活動可以更加直觀地認(rèn)識分?jǐn)?shù)。

        任務(wù)二:理解分?jǐn)?shù)表示關(guān)系的含義

        小結(jié):像這樣把一樣?xùn)|西平均分成兩份,取其中的一份,都可以用來表示,在數(shù)學(xué)中,“半塊”“0.5”“塊”“張”“個”都可以說是原來的。

        任務(wù)二:幫助學(xué)生通過對比觀察概括引申出分?jǐn)?shù)的另一種含義,對關(guān)系的表示,也就是人們常說的“率”。學(xué)生在分物的情境中進(jìn)行直觀的抽象概括,學(xué)生對表示部分與總體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識就比較深刻,也顯得更加水到渠成,讓學(xué)生在接觸分?jǐn)?shù)之時就明白分?jǐn)?shù)有兩種不同的含義。

        環(huán)節(jié)三:認(rèn)識幾分之一、比較大小

        創(chuàng)造四分之一,怎么得到的?為什么形狀不同都可以用四分之一表示?

        創(chuàng)造幾分之一,這塊月餅還可以怎樣分?

        比較大小。

        幾分之一的大小比較可以借助實物和面積模型直觀進(jìn)行比較,在這節(jié)課結(jié)束之后學(xué)生已經(jīng)對分?jǐn)?shù)的兩種含義有了較全面的認(rèn)識,沒有出現(xiàn)分?jǐn)?shù)無單位問題,對整體與部分關(guān)系表述也很清晰。并設(shè)計如下練習(xí)題進(jìn)行鞏固。

        策略二:及時對比,辨清量與率

        在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識這節(jié)課之后學(xué)生對分?jǐn)?shù)的兩種含義的概念有了初步的感知,這就需要及時深入理解分?jǐn)?shù)。接下來是“分?jǐn)?shù)的簡單應(yīng)用”的第一個例題的教學(xué)。但學(xué)生還沒學(xué)幾分之幾的內(nèi)容,所以教師需要對教材的內(nèi)容進(jìn)行改編,改編后本節(jié)課例題用同一個情境分蘋果。改編一:把第一題改成1 個蘋果平均分成3 份,取一份。第一小題通過回顧再次明確塊蘋果是蘋果的。改編二:第2 題改成6 個蘋果平均分成2份、3 份,6 份取其中一份。在平均分的過程中知道1份蘋果是總數(shù)的,是3 個,1 份蘋果是總數(shù)的,是2 個……這樣設(shè)計是將兩個例題進(jìn)行對比,突出量與率的區(qū)別,加深對分?jǐn)?shù)兩種含義的理解,也順利實現(xiàn)了單位“1”由一個物體自然過渡到一些物體,并設(shè)計針對性習(xí)題:

        策略三:日常滲透,延長認(rèn)識周期

        分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)集中在三年級上冊完成,教材編排上有4 個學(xué)期的空白期,所以教師在教學(xué)實踐過程中必須進(jìn)行日常的滲透,及時鞏固復(fù)習(xí)。首先,在三年級下冊到五年級上冊這四個學(xué)期中教師要有意識地為學(xué)生創(chuàng)造運用分?jǐn)?shù)知識的機(jī)會,可以把日常的解決問題的數(shù)值改編成分?jǐn)?shù)呈現(xiàn)的形式。其次,要思考五年級下冊“分?jǐn)?shù)的意義”如何進(jìn)行才可以和三年級知識巧妙銜接以形成完整的分?jǐn)?shù)概念體系。在實際訪談中很多教師表示“分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生”三年級已經(jīng)學(xué)過,只是量的含義沒有接觸,所以多數(shù)教師采取自學(xué)和簡單講解結(jié)合的形式處理。這顯然不能有效地勾起學(xué)生關(guān)于分?jǐn)?shù)的記憶,筆者認(rèn)為這塊內(nèi)容需添加分?jǐn)?shù)關(guān)系的內(nèi)容,激發(fā)學(xué)生回憶起原有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上再進(jìn)行分?jǐn)?shù)單位的教學(xué)。

        四、結(jié)語

        分?jǐn)?shù)是一個重要的數(shù)學(xué)概念,分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)豐富了數(shù)的概念,是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點。通過對教材的研究和多次的教學(xué)嘗試發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識應(yīng)該雙線并行貫穿始終構(gòu)建完整的概念體系,只有這樣才能解決學(xué)生概念混淆的問題。當(dāng)然文中所述教法未必是最合適的,還需要教師們在教學(xué)實踐中不斷探究思考。

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