杜文娟

（揚州市育才小學,江蘇 揚州 225000）

數(shù)學與人類社會生活緊密相連，數(shù)學問題來自對現(xiàn)實生活或具體情境的抽象，通過解決數(shù)學問題達到認識人類社會中事物之間數(shù)量關系，促進社會發(fā)展。數(shù)學是研究數(shù)量關系的學科，數(shù)學問題的解決就是用算式表達題目中的數(shù)量關系。找出問題中的數(shù)量關系包含復雜思維分析過程的數(shù)學模型構建過程。文字雖能較好地描述數(shù)學問題，但是透過抽象的文字難以直接發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)量關系。選擇運用合理的解題策略解構文字信息、發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系、尋求數(shù)學本質、構建數(shù)學模型才是解決問題的關鍵。圖形策略是小學階段重點講解的問題解決策略，其本質是利用具有一定結構形式的直觀形象的圖形展現(xiàn)數(shù)學問題，透過對圖形元素的分析、變化發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題中的數(shù)量關系，解決數(shù)學問題。那如何指導學生掌握“圖形策略”呢？本文筆者將重點探討小學“圖形策略”教學的關鍵環(huán)節(jié)。

一、樹立運用圖形策略解題的意識

所謂圖形策略也就是在解題的過程中，將數(shù)學信息由文字表征轉變?yōu)閳D形表征，用圖形輔助思維過程，通過對圖形元素的分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系，建構數(shù)學模型，解決數(shù)學問題。

文字是人們最熟悉、最常用的媒介符號。在小學數(shù)學課的教學中，絕大多數(shù)的數(shù)學信息（概念、問題等）都是通過文字表述。小學生通過閱讀文字可以獲取數(shù)學問題中最基本的問題情境、對象數(shù)量等基本信息。但是，小學兒童思維的基本特點是從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式，但這種抽象邏輯思維在很大程度上是直接與感性經驗相聯(lián)系的，仍然具有很大成分的具體形象性。所以小學生很難從閱讀抽象的文字信息開啟思維過程，尋求解題思路，構建問題解決的數(shù)學模型。

在現(xiàn)實生活匯中，圖形也是一類重要媒介符號，可以直觀形象地表征客觀對象，透過圖形“繪制”的概念化世界，人們可以更加全面深入地認識客觀世界。在表征客觀信息時，圖形可以彌補文字的不足。在數(shù)學教學中，教師要引導學生樹立“求解于圖形”的意識，充分運用圖形解題。圖形可以直觀形象地呈現(xiàn)抽象的數(shù)量關系，有助于學生深入理解數(shù)學信息、抓住數(shù)學問題中的關鍵數(shù)量關系。如在行程問題中，通過線段圖可以清晰表征兩（多）物體的運動信息，通過繪制長（正）方形可以幫學生解決現(xiàn)實世界中花圃面積、周長等問題?？傊?，通過圖形中的基本元素（點、線等）可以清晰表示數(shù)學信息，表征題目中的數(shù)量關系，讓抽象繞人的文字變成直觀形象的由點、線等元素構成的圖形，并且利用圖形描述信息，借助圖示的直觀特點可以讓繁雜的數(shù)學問題變得簡潔、形象，此時通過對直觀形象的點、線等圖形元素的變換分析構建數(shù)學模型，解決數(shù)學問題。

比如，有道數(shù)學題：改變一個長方形，第一次將它的長增加5 厘米，第二次將它的寬增加5 厘米，哪種變化增加的面積大？

在教學中，筆者發(fā)現(xiàn)，大部分小學生在閱讀題目后，會認為題目缺少條件而無法解答。這就充分暴露了抽象的文字信息會直接阻礙小學生的思維過程，學生難以通過文字信息直接展開思考。但如果用圖形表征數(shù)學信息后，見圖1，幾乎所有的學生都能從圖形中脫口而出：小明增加的面積大。圖形可以給學生以直觀的面積增大的感受，激發(fā)學生的進一步思考。

圖1

二、講解“圖形策略”的主要環(huán)節(jié)

（一）畫圖

所謂畫圖即在理解題目字面意思的基礎上，剝離問題中的情境化信息，將語言文字表述的數(shù)學題目“翻譯”成圖形，用圖形符號“畫出”數(shù)學題目中用語言文字表述的數(shù)學條件、基本的數(shù)量關系，實現(xiàn)數(shù)學信息從文字表征到圖形表征的轉變。準確地用圖形元素表示出問題中的對象和數(shù)量參數(shù)是運用圖形策略解題的第一步，其關鍵是要能用圖形全面客觀準確表達題意。在數(shù)學教學中教師要培養(yǎng)學生的畫圖技能，即培養(yǎng)學生選擇合適的圖形元素表征數(shù)學信息的技能。

比如，有一道題：某小學有一長方形魚池，長8米。在校園改建時，魚池的長增加了3 米，這樣魚池的面積就增加了18 平方米。問原來魚池的面積是多少平方米？

這是一道實際應用題，實質是求長方形的面積，關鍵是要知道原來魚池的寬。運用圖形策略解題的第一步是準確用圖形表征題意，同時要把題中的條件和問題都在圖上表示出來。見下圖2。

圖2

（二）識圖

準確地用圖形元素畫出圖形，可以直觀全面展現(xiàn)題目條件、表達題目含義，但畫圖僅僅是解決數(shù)學問題的第一步，更重要的是發(fā)現(xiàn)圖形中各元素之間包含的數(shù)量關系，所以學生還要學會“識圖”。所謂識圖就是識別圖形各要素之間的數(shù)量關系，只有清晰地識別出圖形元素中的數(shù)量關系，才能構建問題解決的數(shù)學模型。識圖是問題解決過程中的重要環(huán)節(jié)，是解題策略的重要組成。數(shù)學是研究數(shù)量關系的學科，在解決數(shù)學問題時，不能孤立地觀察圖形的各個元素（某一條線、某一個邊），而是要用聯(lián)系的眼光從整體上觀察圖形，發(fā)現(xiàn)圖形各元素之間的數(shù)量關系，只有理清了數(shù)量之間的關系才能更好地解決數(shù)學問題。

接上題，通過識圖可以發(fā)現(xiàn)，增加的小長方形魚池與原來的長方形魚池擁有共同的寬，這個就是通過圖形發(fā)現(xiàn)的大小長方形之間的數(shù)量關系。那么，通過增加的小長方形的面積，可以算出大、小長方形的寬（18÷3=4 米），然后即可算出原長方形的面積（8×4=24 米）。

再比如，有一道數(shù)學題：某村有一個寬20 米的長方形田塊。改建后，田塊的寬減少了5 米。這樣田塊的面積就減少了150 平方米?，F(xiàn)在田塊的面積是多少平方米？

運用圖形策略解題，首先要畫出“長方形田塊”，并在圖形中標注相關數(shù)據(jù)，見下圖3。

圖3

在教學中，筆者指導學生仔細觀察圖形，可以直觀發(fā)現(xiàn)“長方形田塊”的“長”沒有發(fā)生變化：原“長方形田塊”、縮小部分、縮小后的“長方形田塊”的長都是一樣的。抓住了這個關系，可以通過縮小部分面積（150 平方米）和減少的寬（5 米）求出“長方形田塊”的“長”：150÷5=30（米），接著就可以求出縮小后的田塊面積。這是常規(guī)的識圖解法。在教學中，筆者可以提問：“同學們請看圖，20 米和5 米（課件紅色強調）之間是什么關系？”進一步引導學生再次仔細觀察圖形，發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏的數(shù)量關系。見下圖4。

圖4

從圖4 中能清楚地看出這樣的倍比關系：原來的長方形被平均分成4 份，現(xiàn)在長方形的面積占了其中的三份，那縮減后的田塊的面積是縮減部分面積的3 倍，列算式3×150=450（平方米），就可以直接求出現(xiàn)在田塊的面積。這就是通過仔細全面識別圖形，通過圖形發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)量關系，求解問題的策略方法。

（三）換圖

有些復雜的數(shù)學題目即使在深入理解題意、把握題目數(shù)量關系的前提下，仍然沒有解題的思路，這就要進入解題的第三環(huán)節(jié)“換圖”，也就是充分利用圖形本身的結構變換開拓解題思路的策略。比如將長方形的寬與長“拉直”后，長方形的周長就變成了線段的長度，將一個正方形“切割重新拼裝”后可以組合成一個長方形，變形前正方形的面積與變形后長方形的面積是相同的，通過圖形局部結構的“切割”與“變換”發(fā)現(xiàn)圖形整體的數(shù)量關系，在圖形元素的多樣變換中尋求解題的思路與策略。

比如，有一道題目：李奶奶家要擴大一個長10米，寬6 米的長方形花圃，長、寬同時增加2 米，成為一塊新的長方形花圃，面積增加了多少平方米？

首先要準確繪圖。常見的幾種繪圖形式有以下幾種（見下圖5）。

圖5

以上圖形都能準確表達題意，畫出了增加的部分，并用陰影標注了要求的面積。接下來是識圖階段。學生可以將增加的部分分割成2 部分或者3 部分分別求出各部分的面積，通過添加輔助線、借助圖形可以直觀識別增加的小長方形長與寬的數(shù)量關系，最終相加求和，得出最終的增加面積。這是一種解題方法。但是通過換圖，可以更巧妙地求解增加的面積。此時教師可以利用動畫演示，把增加的部分分成兩部分，再進行旋轉和平移，就能變成一個長方形，見下圖6。

圖6

此時，求解增加部分的面積，就直接變成了求解一個長16 米（9+2+5=16 米）寬2 米的長方形的面積，即16×2=36（平方米）。

充分利用圖形的切割、組合會給學生們全面展現(xiàn)一個更加“完整的”圖形，“復雜”的圖形關系在經過仔細的“識別”、巧妙的“轉換”后會變得更形象、直觀，原本復雜的圖形中隱晦的數(shù)量關系可能在巧妙地“轉換”后，直接“暴露”在學生們面前，讓學生們眼前一亮，給人一種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村一種”的豁然開朗的感覺，頓時找到解決問題的方法。

三、小結

“圖形策略”是一種有效的解題策略，教師在講解“圖形策略”的過程中，關鍵要抓住“畫圖”“識圖”“換圖”三個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都非常重要，都會影響到問題的解決：畫圖是前提要準確、識圖是關鍵要全面、換圖是點睛要靈活，尤其是通過“圖形轉化”求解包含復雜數(shù)量關系的數(shù)學題。這就要求教師既要培養(yǎng)學生“畫圖”（客觀表達數(shù)學信息）的能力，又要培養(yǎng)學生“識圖”（識別圖形關鍵數(shù)量關系）的能力，還要進一步培養(yǎng)學生的“換圖”（切割或組合圖形的局部要素）能力，這些都是“化繁為簡”“化不規(guī)則為規(guī)則”等數(shù)學思維與能力的直接體現(xiàn)。

總之，在數(shù)學教學中，教師要教會學生利用圖形策略解決數(shù)學問題。關鍵是要幫助學生樹立一種信念：我們可以利用圖形解題，因為圖形能讓學生更加深入理解題意，把握題目中的數(shù)量關系，圍繞利用圖形解決問題的整個過程。教師還需要培養(yǎng)學生“畫圖”“識圖”“換圖”的基本技能與策略，它們是利用圖形解決問題策略的重要組成部分。通過圖形策略培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提高學生分析問題、解決問題的能力。