左亞秋

研究數列，歸根到底是研究數列的通項公式，因此教會學生如何求數列的通項公式，是教學的重要任務之一.筆者在教學中發(fā)現，由于數列的通項公式的求法具有一定的系統(tǒng)性與靈活性，許多學生還是不能完全掌握，如2022年數學高考新課標 I 卷中的第17題：為 的等差數列.（1）求數列an 的通項公式；（2）證明：+ +…+ <2.據不完全統(tǒng)計，近四成的考生因求不出數列的通項公式而痛失分數.那么，求數列的通項公式有哪些“妙招”？現總結如下.

一、利用觀察法

有些選擇題或填空題的題干中只給出數列的前幾項，要求從前幾項的特征中歸納出數列的通項公式.這類問題屬于簡單題，主要考查考生的觀察和歸納推理能力.對于此類問題，需運用觀察法求解.首先仔細觀察與分析數列的前幾項的特征，明確數列的每一項與項數之間的關系；然后歸納出關于項數的表達式，即可求得數列的通項公式.

例1.數列-1，3， -5，7， -9，…，的一個通項公式為（? ） .

A. an =2n -1????????? B. an =（-1）（1n -2n）

C. an =（-1）（2nn -1）????? D. an =（-1）n +1（2n -1）

解：由數列an 的各項分別為-1， 3， -5， 7， -9， … ， 可知各項的絕對值構成一個以1為首項，2為公差的等差數列，

所以|an |=2n -1.

又數列的奇數項為負值，偶數項為正值，所以數列的通項公式為 an =（-1）（2nn -1）.故本題選 C 項.

采用觀察法求數列的通項公式，要注意關注兩點：（1）各項的符號；（2）各項與項數 n 之間的關系.

例2.已知數列an 的前4項分別為 ，， ， ，則它的一個通項公式為（? ） .

通過觀察，可發(fā)現數列的分子1，3，5，7，…是首項為1，公差為2的等差數列，數列的分母2，4，6，8，…是首項為1，公比為2的等比數列，列出關于 n 的表達式，即可解題.

二、運用公式法

公式法是指運用等差數列的通項公式an = a1+（n -1）d （n ∈ N ）* ，等比數列的通項公式 an = a1qn -1（n ∈ N ）解題*.若一個數列是等差數列或等比數列時，只需確定該數列中的某一項的值、首項、公差或公比，就可以直接根據等差、等比數列的通項公式寫出該數列的通項公式.

例3.已知等差數列an 的各項均為正數，其前 n 項和Sn 滿足 = ，則其通項公式 an =_____.

解答本題，需先由已知關系式求得數列的公差和首項，再根據等差數列的通項公式求得數列的通項公式。

例4.已知等比數列an 的前 n 項和 Sn =5n + c ，若 bn = a n（2）+ c ，則數列bn 的通項公式為______.

當已知數列是等差數列或等比數列時，通過解方程求得數列的首項和公差或公比，這不失為一種有效的方法.

三、利用數列前 n 項和 Sn 與通項公式 an 之間的關系

數列的前 n 項和Sn 與通項公式an 之間的關系為含有Sn 與an （即Sn =f（an）），此時就需利用數列前 n 項和 Sn 與通項公式 an 之間的關系求解，將 Sn 、Sn -1作差即可.

例5.若數列{an }的前 n 項和為 Sn = ，則其通項公式為_____.

利用數列前 n 項和Sn 與通項公式an 之間的關系求數列的通項公式雖然簡單，但需注意所求的通項公式是否滿足 n=1時的情形，若滿足，則可用一個式子表示，若不滿足就需分段表示.

四、累加

當題目給出的遞推關系式可以轉化為an +1- an =f（n）的形式時，則需利用累加法（逐差相加法）求解.分別令 n=1，2，3，…，n-1，再將這 n-1個式子相加，通過累加，消除中間互為相反數的項，從而求得an 的表達式，求得數列的通項公式.

例6.已知在數列{an }中，a1=1， an +1= an + ，則 a5=_____.

利用累加法求數列的通項公式時，必須注意兩點：（1）檢驗首項是否滿足所求得的通項公式；（2）在累加求和時，一般采用裂項相消法.

五、采用累乘法

當題設給出的遞推關系式可轉化為 =f（n）的形式時，可利用累乘法（逐商相乘法）求數列的通項公式.分別令 n=1，2，3，…，n-1，再將這 n-1個式子相乘，通過累乘，將中間互為倒數的項抵消，從而求得 an 的表達式，求得到數列的通項公式.

例7.已知數列{an }的首項為1，前 n 項和為 Sn ，且 nSn +1=（n +2）Sn ，則數列{an }的通項公式 an =_____.

利用累乘法求數列的通項公式時，一定要關注在累乘后，余下的項是否對稱.一般來說，留下的分子通常是最小的，分母是最大的，或留下的分子是最大的，分母是最小的.

六、構造輔助數列

運用構造法求數列的通項公式，需通過湊系數、取倒數、分離整式等方式，把數列的遞推關系式轉化為形如等比數列或等差數列通項公式的式子；再根據等比數列或等差數列的通項公式，求新構造數列的通項公式，即可求得原數列的通項公式.

該數列的遞推關系式較為復雜，需在其左右同時 除以 2n + 1 ，構造出數列 { } an 2n 的前后兩項之差的式子； 再根據等差數列的定義，判定新數列為等差數列，便 可根據等差數列的通項公式進行求解.

例9.已知首項為1的數列{an} 的前 n 項和為 Sn ， 且 Sn + 1 = Sn + 12an + 5 ，求數列{an} 的通項公式.

利用構造法求數列的通項公式，關鍵是將已知的遞 推關系式進行合理的變形，有時需用到待定系數法，如， 形如 an + 1 = pan + q （其中p，q均為常數，且 pq（p - 1） ≠ 0 ） 的遞推關系式，需在等式的兩邊加上一個常數，構造 出等比數列.對于同時含有 an、an - 1 、an + 1 的遞推關系 式，都可以采用構造法求數列的通項公式.

掌握以上六種求數列通項公式的常用方法，便能 應對一些常見的求數列的通項公式問題.但在解題時， 學生要善于變通，有時可靈活運用兩種以上的方法， 求得問題的答案.

（作者單位：吉林省磐石市第一中學）