唐明超

摘? 要：對2020年全國新高考Ⅰ卷第22題從試題解析、題源分析、探究推廣、試題變式、教學(xué)價值等5個方面進行分析，發(fā)現(xiàn)此題的命題背景是圓錐曲線中的定點、定值問題，解決此類問題的基本思想和方法是課程標準要求掌握的通法、常法，結(jié)論可以推廣到拋物線與雙曲線. 基于此，文章呈現(xiàn)了一堂通過問題串驅(qū)動學(xué)生從試題的解答到發(fā)現(xiàn)并提出新問題，進而探究并解答新問題的微專題教學(xué)活動.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;深度學(xué)習(xí);微專題

微專題教學(xué)是指教師在開展日常教學(xué)與反思活動的過程中，挖掘?qū)W生的薄弱環(huán)節(jié)或教學(xué)增長點，并基于典型問題及該問題的同根同源教學(xué)素材，有意識地設(shè)計針對性較強、指向明確的教學(xué)活動. 對某個或某類典型問題從解法探究、拓展推廣、鏈接應(yīng)用等方面展開研究性學(xué)習(xí)，目的在于在完善知識結(jié)構(gòu)的同時建構(gòu)解決一類問題的方法體系，促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí). 讓學(xué)生學(xué)會深度學(xué)習(xí)是教師開展教學(xué)活動的重要目標，通過探尋知識聯(lián)系、加強師生交流互動、借助問題引領(lǐng)等方式幫助學(xué)生跨越知識與技能的積累深入到思維提升的層面，從掌握具體思想方法過渡到一般性思維，進而提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)揮學(xué)習(xí)的主體意識和功能，實現(xiàn)能力與素養(yǎng)的雙重提升.

一、確定教學(xué)課題

在研究2020年全國新高考Ⅰ卷第22題的過程中發(fā)現(xiàn)，動直線[AB]恒過定點，自然去思考該問題的結(jié)論是否具有一般性，在雙曲線和拋物線中是否也可以得出類似的結(jié)論. 基于此，先嘗試從歷年高考試題中尋找與之同根同源的試題進行分析，發(fā)現(xiàn)該結(jié)論不僅對特殊的橢圓成立，而且在特殊的拋物線中也成立，進一步思考能否將該結(jié)論一般化并嘗試給予證明，得到三個重要性質(zhì);再對試題進行變式，全方位解讀試題中隱含的問題本質(zhì);最后梳理整個試題的研究過程.

可以認為整個試題的研究過程符合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，不僅可以進一步夯實圓錐曲線的基礎(chǔ)知識，而且可以強化學(xué)生解決問題的基本技能，同時還能夠深化學(xué)生解決圓錐曲線定點、定值問題的基本思想，并有效積累探究活動經(jīng)驗. 整個探究過程目標明確、主線清晰，對發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題、思考并解決問題的能力具有很好的促進作用，同時可以引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

二、擬定教學(xué)目標

基于學(xué)生的元認知發(fā)展水平，首先，本節(jié)課要引導(dǎo)學(xué)生在正確解答試題的基礎(chǔ)上利用類比思想嘗試解決與之同根同源的兩道高考試題;其次，要基于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合問題解決經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)三道試題結(jié)論的相似性，進而引發(fā)探究結(jié)論是否具有一般性的思考;最后，引導(dǎo)學(xué)生遵循從特殊到一般的探究思路對所提出的問題開展探究活動，進而得出結(jié)論，總結(jié)課堂生成.

從知識與技能的角度看，本節(jié)課的教學(xué)目標要求學(xué)生在正確解答給定問題的過程中深化對圓錐曲線定義及基本性質(zhì)的理解，掌握解決一類定點、定值問題的基本方法;從核心素養(yǎng)發(fā)展的角度看，能夠用好類比及從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想開展探究活動，逐步發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考問題、用數(shù)學(xué)語言表達問題的關(guān)鍵能力.

三、設(shè)計教學(xué)過程

由于探究過程具有一定的難度，為了確保探究活動的充分性并有效達成教學(xué)目標，本節(jié)課的教學(xué)計劃分為課前自主學(xué)習(xí)、課堂探究活動和課后鞏固提高三個階段. 課前自主學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)要求學(xué)生在正確解答前述三道試題的基礎(chǔ)上嘗試尋找它們之間的區(qū)別與聯(lián)系;課堂探究活動環(huán)節(jié)先要求學(xué)生分享課前自主學(xué)習(xí)成果，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題、探究并解決問題;課后鞏固提高環(huán)節(jié)在于引導(dǎo)學(xué)生在對試題進行變式的基礎(chǔ)上深化探究成果的運用，鞏固課堂生成.

四、開展教學(xué)活動

1. 課前自主學(xué)習(xí)

要求學(xué)生認真完成以下三道試題的解答，并嘗試回答兩個問題.

題目1 （2020年全國新高考Ⅰ卷·22）已知橢圓[C：][x2a2+y2b2=1 a>b>0]的離心率為[22，] 且過點[A2，1.]

（1）求[C]的方程;

（2）點[M，N]在[C]上，且[AM⊥AN，AD⊥MN，] [D]為垂足. 證明：存在定點[Q，] 使得[DQ]為定值.

題目2 （2017年全國Ⅰ卷·文20）設(shè)[A，B]為曲線[C：y=x24]上兩點，[A]與[B]的橫坐標之和為4.

（1）求直線[AB]的斜率;

（2）設(shè)[M]為曲線[C]上一點，[C]在[M]處的切線與直線[AB]平行，且[AM⊥BM]，求直線[AB]的方程.

題目3 （2017年全國Ⅲ卷·理20）已知拋物線[C：][y2=2x，] 過點[2，0]的直線[l]交[C]于[A，B]兩點，圓[M]是以線段[AB]為直徑的圓.

（1）證明：坐標原點[O]在圓[M]上;

（2）略.

問題1：以上三道試題的呈現(xiàn)方式有何不同，它們有什么相同的幾何背景？

問題2：結(jié)合試題的解答過程，你能提出哪些猜想？

結(jié)合學(xué)生的作業(yè)完成情況，挖掘?qū)W生解決問題過程中的亮點與需要改進的地方，明確課堂教學(xué)的切入點. 整體而言，學(xué)生都能夠自主解答或在合作交流后完成解答，解題方法略有差異.

2. 課堂探究活動

問題3：能否展示你的解題過程及解題收獲？

生1：（具體解答過程略）題目1以橢圓為背景，第（1）小題考查橢圓的定義及其簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，易得橢圓方程為[x26+y23=1;] 第（2）小題由條件[AM⊥AN]可知，[△MAN]為橢圓的內(nèi)接直角三角形;也可以理解為點[A2，1]在以[MN]為直徑的圓上. 由于試題中的基本元素動中有靜，故解決該問題必須化動為靜. 要求證[DQ]為定值，需要先確定點[D]的位置，而點[D]滿足條件[AD⊥MN，] 所以可以先研究直線[MN]的位置關(guān)系. 根據(jù)已知條件聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化簡整理后發(fā)現(xiàn)直線[MN]過定點[P23，-13.] 在[Rt△ADP]中，[D]為直角頂點，斜邊[AP]為定值，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半可知，當點[Q]是斜邊[AP]的中點時，即當點[Q]坐標為[43， 13]時，[DQ=12AP=223.]題目2以拋物線為背景，第（1）小題由點差法可以快速得出結(jié)果;第（2）小題呈現(xiàn)的是拋物線內(nèi)接直角三角形且直角頂點坐標已知的問題，該小題已知直線[AB]的斜率，所以直線方程唯一. 解決該題只需要確定點[M]的坐標即可，最后得出直線[AB]的方程為[y=x+7.] 雖然試題的背景是拋物線，但是問題的本質(zhì)與題目1是相同的. 題目3與題目2互為補充，題目2直接給出內(nèi)接直角三角形的頂點來探究直線方程，題目3則已知直線所過的定點，求證內(nèi)接直角三角形的直角頂點是拋物線上的一個定點. 兩道題目分別從充分性和必要性兩個角度給出拋物線內(nèi)接直角三角形性質(zhì)的特殊情況. 由[OA ? OB=x1x2+y1y2=0，] 可知[OA⊥OB，] 即點[O]在圓[M]上.

師：很好！生1思路清晰，語言表達流暢，再請一位同學(xué)來對生1的解答過程進行點評并作出適當補充.

生2：首先，我認同生1的觀點，在解答題目1的過程中，我考慮設(shè)動直線[MN]的方程為[y=kx+m，] 并對斜率是否存在進行了分類討論，最終結(jié)果一致. 但是我有個疑問，在解答題目1的過程中發(fā)現(xiàn)橢圓[x26+y23=1]上以定點[A2，1]為直角頂點的內(nèi)接直角三角形的斜邊[MN]過定點[P23，-13，] 那么在任意橢圓中以橢圓上一定點[Dx0，y0]為直角頂點的內(nèi)接直角三角形的斜邊[MN]是否都過定點？結(jié)合題目2和題目3，雖然試題的載體變成了拋物線，但是所研究的都是圓錐曲線內(nèi)接直角三角形中當直角頂點為曲線上的定點時斜邊過定點的問題. 不難理解，如果內(nèi)接直角三角形的直角頂點是圓上的一個定點，則其斜邊[MN]必過圓心. 能否認為在拋物線和雙曲線上以定點[Dx0，y0]為直角頂點的內(nèi)接直角三角形的斜邊[MN]都恒過定點？

師：生2不僅對生1的分析過程進行了點評，還發(fā)表了自己的見解，同時間接地回答了問題1和問題2. 接下來，就讓我們一起來想辦法解決生2提出的疑問.

問題4：以上三道題目都只說明了在特殊情況下橢圓與拋物線的內(nèi)接直角三角形在直角頂點為曲線上一定點的情況下其斜邊恒過定點，能否利用類比的思想將特殊情況一般化？一般情況下，橢圓與拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊所在直線經(jīng)過的定點坐標又是什么？雙曲線也具有相同的性質(zhì)嗎？大家動手證明一下.

查看學(xué)生的動手操作過程，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生在問題4的指引下并基于以上3個問題的解決經(jīng)驗，都能夠找到證明思路，只是部分學(xué)生在運算推理的過程中陷入了困境，此時教師給予適當點撥，旨在鼓勵學(xué)生將運算進行到底.

師：在同學(xué)們嘗試自主證明的過程中，老師發(fā)現(xiàn)了幾位同學(xué)的證明過程具有較好的代表性，現(xiàn)在請一位同學(xué)展示，其他同學(xué)認真聆聽并積極思考其證明過程中有哪些地方值得借鑒，哪些地方需要優(yōu)化，同時關(guān)注其思考問題的方式與自己思考問題方式的異同.

生3：由于橢圓及雙曲線的方程可以統(tǒng)一為[mx2+][ny2=1]（[mn≠0]且[m]與[n]不同時小于0，下同），只要能證明在曲線[mx2+ny2=1]上猜想成立，則說明橢圓及雙曲線均具有該性質(zhì).

猜想1：若點[Dx0，y0]是曲線[mx2+ny2=1]上的一個定點，則以點[Dx0，y0]為直角頂點的曲線內(nèi)接直角三角形[ABD]的斜邊[AB]恒過定點.

證明：設(shè)[Ax1，y1，Bx2，y2.]

通過作圖可知，直線[AB]的方程斜率不能為0，為避免分類討論，可設(shè)直線[AB]的方程為[x=py+t.]

聯(lián)立[x=py+t，mx2+ny2=1，] 消元，得

[mp2+ny2+2mpty+mt2-1=0.]

則[y1+y2=-2mptmp2+n，y1y2=mt2-1mp2+n.]

因為[DA=x1-x0，y1-y0， DB=x2-x0，y2-y0，]

所以[DA ? DB=x1x2-x0x1+x2+x02+y1y2-y0y1+y2+]

[y02=0.]

因為[x1x2=py1+tpy2+t=p2y1y2+pty1+y2+t2，x1+][x2=py1+t+py2+t=py1+y2+2t，]

所以[p2+1y1y2+pt-px0-y0y1+y2+t2+x02+y02-][2tx0=0.]

所以[mp2t2-p2+mt2-1-2mp2t2+2mp2tx0+2mpty0+]

[mp2+nt2+x02-2tx0+y02=0.]

將其整理成關(guān)于[p]的方程，得[mx02+my02-1p2+][2mty0p+mt2+nt2-2ntx0+nx02+ny02-1=0.]

因為[mx02+ny02=1，]

所以[m-ny02p2+2mty0p+mt2+nt2-2ntx0+n-mx02=0.]

對式子進行因式分解，得

[m-ny02p2+2mty0p+m+nt-n-mx0t-x0=0.]

再次使用十字相乘法因式分解，得

[y0p+t-x0m-ny0p+m+nt-n-mx0=0.]

當[y0p+t-x0=0]時，可得直線[AB]的方程為[x=py+][x0-py0，]

即[x=py-y0+x0.]

易知直線[AB]過定點[x0，y0，] 此時與[Dx0，y0]重合，不符合題意.

當[m-ny0p+m+nt-n-mx0=0]時，可得直線[AB]的方程為[x=py+t=py+n-mx0m+n-m-ny0pm+n，]

即[x=py-m-ny0m+n+n-mx0m+n.]

所以直線過定點[Pn-mx0m+n， m-ny0m+n.]

符合題意，命題得證.

師：你是怎樣想到要這樣處理的？

生3：橢圓與雙曲線的標準方程在一定條件下可以表示為統(tǒng)一的形式，這樣做可以避免重復(fù)證明橢圓與雙曲線在不同情況下的情形.

師：哪位同學(xué)能夠?qū)ι?的證明過程進行點評和補充？

生4：生3的證明過程確實比較簡潔，但是結(jié)論是否需要討論[m+n=0]的情況？是否需要證明直線[AB]斜率為0的情況？

教室里瞬間引起了討論，教師默默關(guān)注學(xué)生的討論情況.

生5：即使兩種情況下都不成立，我認為還是應(yīng)該嚴格去證明.

師：那你認為應(yīng)該怎樣完善？

生5：如果設(shè)直線[AB]的方程為[x=py+t，m+n=0，]則根據(jù)雙曲線的圖象性質(zhì)可知[p≠0]且[x0≠0.] 當[y0p+][t-x0≠0]時，等價于[m-npy0+x0=0，] 即[py0+x0=0.] 所以[y0≠0.] 從而直線[AB]的方程為[x=-x0y0y+t，] 當點[D]的坐標給定時，直線方程也不確定，此時直線[AB]的位置隨著[t]的變化而變化，不存在定點. 所以我認為應(yīng)該說明[m+n≠0，] 即等軸雙曲線不具備該性質(zhì). 同時，若設(shè)直線[AB]的方程為[y=t，] 可得[mt-y02+nt2=][0 mn≠0.] 所以[t=y0=0.] 此時不構(gòu)成直角三角形.

師：生5的分析很到位，既指出了生3證明過程中不嚴謹?shù)牡胤?，還說明了理由，值得表揚. 生3能夠聯(lián)想到橢圓與雙曲線在特定條件下的一般形式，并從更一般的角度來證明猜想也實屬難得. 可以看出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)既要在解決問題的過程中體會數(shù)學(xué)的簡潔美，還要學(xué)會在嚴謹推理的基礎(chǔ)上將數(shù)學(xué)問題一般化，探究問題本質(zhì). 經(jīng)歷了以上的猜想與證明過程，可以得出以下性質(zhì).

性質(zhì)1：若點[Dx0，y0]是橢圓[mx2+ny2=1 m>0，n>0]上的一個定點，則以點[Dx0，y0]為直角頂點的內(nèi)接直角三角形[ABD]的斜邊[AB]過定點[Pn-mx0m+n， m-ny0m+n.]

性質(zhì)2：若點[Dx0，y0]是非等軸雙曲線[mx2+ny2=1][mn<0，m+n≠0]上的一個定點，則以點[Dx0，y0]為直角頂點的內(nèi)接直角三角形[ABD]的斜邊[AB]過定點[Pn-mx0m+n， m-ny0m+n.]

問題5：上面證明了在橢圓與雙曲線中的情形，接下來哪位同學(xué)能展示一下在拋物線中的證明過程？

生6：證明的思想和方法與前面一樣，雖然拋物線的標準方程有四種情形，但是根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點知道，只需證明其中的一種情況，其余情況可以考慮根據(jù)輪換對稱得出結(jié)論.

猜想2：若點[Dx0，y0]是拋物線[y2=2px p>0]上的一個定點，則以點[Dx0，y0]為直角頂點的內(nèi)接直角三角形[ABD]的斜邊[AB]過定點.

證明：設(shè)[Ay122p，y1，By222p，y2，]

則[DA=y122p-x0，y1-y0， DB=y222p-x0，y2-y0.]

由[DA ? DB=y122p-x0y222p-x0+y1-y0y2-y0=0，] 得

[y122p-y022py222p-y022p+y1-y0y2-y0=0，]

即得[y1+y0y2+y0+4p2=0.]

整理，得[y1y2+y0y1+y2+y02+4p2=0.]

設(shè)直線[AB]的方程為[x=my+n，]

聯(lián)立[x=my+n，y2=2px，] 消元整理，得

[y2-2pmy-2pn=0.]

所以[y1y2=-2pn，y1+y2=2pm.]

所以[y02+2pmy0+4p2-2pn=0.]

所以[n=y022p+my0+2p.]

所以直線[AB]的方程為[x=my+y022p+my0+2p.]

所以[x=my+y0+y022p+2p，]

即[x=my+y0+x0+2p.]

所以直線[AB]過定點[Px0+2p，-y0.]

結(jié)論得證.

其他情況根據(jù)輪換對稱性可以得出，所以拋物線具有如下性質(zhì).

性質(zhì)3：（1）若點[Dx0，y0]是拋物線[y2=2px]上的一個定點，則以點[Dx0，y0]為直角頂點的內(nèi)接直角三角形[ABD]的斜邊[AB]過定點[Px0+2p，-y0.]

（2）若點[Dx0，y0]是拋物線[x2=2py]上的一個定點，則以點[Dx0，y0]為直角頂點的內(nèi)接直角三角形[ABD]的斜邊[AB]過定點[P-x0，y0+2p.]

頓時教室掌聲齊鳴.

師：掌聲說明大家對生6的證明過程是高度認可的，也反映出大家在自主學(xué)習(xí)的過程中不僅解決了實際問題，還深入思考了問題的本質(zhì)，這樣的學(xué)習(xí)習(xí)慣希望大家繼續(xù)保持.

3. 課后鞏固提高

問題6：通過本堂課的探究學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線內(nèi)接直角三角形的一個重要性質(zhì). 學(xué)以致用，同學(xué)們是否可以基于上述三道高考試題的呈現(xiàn)方式，并圍繞探究成果對其進行適當改編，生成新題給同桌解答？

結(jié)合學(xué)生的試題改編情況，篩選了具有代表性的幾個變式題展示如下.

變式1：已知雙曲線[C： x2a2-y2b2=1]的離心率為2，且過點[A2， 3.]

（1）點[M，N]在[C]上，且[AM⊥AN，] 證明直線[MN]恒過定點;

（2）若[AD⊥MN，D]為垂足. 證明：存在定點[Q，]使得[DQ]為定值.

變式2：已知拋物線[C：y2=2px p>0]上一點[Ax，2]到焦點的距離等于到[y]軸距離的2倍.

（1）點[M，N]在[C]上，且[AM⊥AN，] 證明直線[MN]恒過定點;

（2）若[AD⊥MN，D]為垂足. 證明：存在定點[Q，]使得[DQ]為定值.

變式3：已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的離心率為[22，] 且過點[A2，1.]

（1）求[C]的方程;

（2）點[M，N]在[C]上，若直線過定點[P23，-13，]求[AM ? AN]的值.

學(xué)生改編的試題較多，限于篇幅，此處不予贅述. 對于改編的試題都要求學(xué)生給出正確的解答過程，由于課堂時間有限，對變式題的解答設(shè)置為課后作業(yè). 經(jīng)查，收效很好.

五、教學(xué)感悟

1. 理念的深度決定教的深度

教師對教學(xué)的理解程度在某種意義上是個人教學(xué)理念的顯性表達，而教學(xué)理念的優(yōu)化離不開教師對教學(xué)開展具有深度和廣度的研究. 教師需要緊扣《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》相關(guān)要求理解課程與教材，反思教學(xué)過程中的得與失，找準教學(xué)的切入點和生長點，回答“教什么”的問題;基于學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律理解學(xué)生，掌握基本學(xué)情，找準學(xué)生的元認知發(fā)展水平和最近發(fā)展區(qū)，回答“教到什么程度”的問題;基于《中國高考評價體系》研究歷年高考試題的命題背景，探究高考試題的生成邏輯，尋找解決問題的基本思路，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗優(yōu)化教學(xué)方法，回答“怎么教”的問題.

2. 教的深度影響學(xué)的深度

合理開發(fā)教學(xué)素材并精心設(shè)計教學(xué)過程，貫徹落實生本教育理念，打磨問題設(shè)計，遵循“引入直接，難度循序漸進，問題環(huán)環(huán)相扣，引導(dǎo)適時、適度”的基本原則，強調(diào)學(xué)生思維活動的充分度，以及課堂生成的效度與質(zhì)量，這往往決定著教學(xué)的深度. 注重挖掘問題的本質(zhì)是教學(xué)的關(guān)鍵，設(shè)計合理的問題串. 一方面，可以引導(dǎo)學(xué)生在逐步解決問題的過程中感悟知識的發(fā)生與發(fā)展邏輯;另一方面，有利于學(xué)生的認知建構(gòu)，不僅要解決“是什么”的問題，關(guān)鍵還要解決“是怎么來的”這個關(guān)鍵問題. 教師的教和學(xué)生的學(xué)都追求層級遞進，能力的提升絕不是知識與技能的簡單填充，關(guān)鍵在于掌握知識的發(fā)生與發(fā)展過程，掌握探究的基本方法，以及基于數(shù)學(xué)的基本思想. 教會學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)才是教學(xué)的根本目的.

3. 學(xué)的深度決定素養(yǎng)的發(fā)展程度

探究學(xué)習(xí)的深度不在于課堂活動是否熱鬧，而在于學(xué)生的思維活動是否充分. 衡量指標在于學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，即在于是否有課堂生成，而不在于解決了多少問題，追求課堂教學(xué)質(zhì)量遠比追求解決問題的數(shù)量更重要. 課堂教學(xué)需要教師精心設(shè)計探究活動，讓學(xué)生真正變成課堂的主體和學(xué)習(xí)的主人，真正體現(xiàn)教師在指導(dǎo)，學(xué)生在學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在學(xué)習(xí)的過程中真正得以發(fā)展. 以微專題的形式開展教學(xué)活動，基于學(xué)生的元認知發(fā)展水平設(shè)計銜接順暢、層級遞進的問題串驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)與探究活動，可以有效達成教學(xué)目標，促進課堂生成，在真正意義上實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，助力學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育.

參考文獻：

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