陳 健，羊新勝，趙 勇

（西南交通大學(xué) 磁浮技術(shù)與磁浮列車教育部重點實驗室、電氣學(xué)院、超導(dǎo)與新能源研究開發(fā)中心，成都 610031）

引言

20 世紀(jì)以來超導(dǎo)體的研究和應(yīng)用一直處于科學(xué)前沿，高溫超導(dǎo)材料及其應(yīng)用被喻為最有希望成為繼互聯(lián)網(wǎng)之后的下一個能夠引領(lǐng)全球產(chǎn)業(yè)革命的技術(shù)。由于超導(dǎo)體獨特的物理特性，近十幾年來，高溫超導(dǎo)體在許多領(lǐng)域得到應(yīng)用。近年來，第二代高溫超導(dǎo)帶材REBCO 受到越來越多的關(guān)注。與第一代Bi 系帶材相比，REBCO 有更好的載流能力，因此REBCO 被廣泛應(yīng)用于超導(dǎo)裝置，國際上開始用來制作高溫超導(dǎo)電纜[1]、高溫超導(dǎo)限流器[2]、超導(dǎo)飛輪儲能裝置[3]等電力設(shè)備。這些設(shè)備具有體積小、重量輕、效率高、能耗低和容量大等優(yōu)點。超導(dǎo)電力設(shè)備相對于現(xiàn)在電網(wǎng)使用的設(shè)備，其電能損耗更小、輸電效率更高、結(jié)構(gòu)更加緊湊，可是交流損耗仍然是關(guān)乎超導(dǎo)體穩(wěn)定運行的重要的因素[4]。目前關(guān)于超導(dǎo)電纜的研究有很多，諸益高等[5]研究了不同排列下高溫超導(dǎo)帶材交流損耗特性，計算三個帶材在水平連接和并聯(lián)堆疊時的交流損耗的數(shù)值，得出并聯(lián)堆疊的交流損耗較大。李曉群[6]通過仿真驗證了不同幅值的平行場和垂直場下的交流損耗的計算，得出垂直場下的交流損耗大于平行場下的交流損耗。NGUYEN 等[7]對反并聯(lián)連接的YBCO 帶材空間間距及錯位間隔對交流損耗產(chǎn)生的影響進(jìn)行了研究。SANCHEZ 等[8]研究了線性數(shù)組排列的矩形截面超導(dǎo)帶材的交流損耗，得出合理排布數(shù)組形結(jié)構(gòu)以減小損耗是有益的。OGAWA[9]對組合超導(dǎo)帶材的交流損耗進(jìn)行了研究，分析了不同排列、傳輸電流方向及電流分布對傳輸損耗測量的影響，理論和實驗結(jié)果顯示結(jié)果具有一致性。現(xiàn)有理論和實驗研究表明，在超導(dǎo)帶材以圓柱形為支撐結(jié)構(gòu)、以多邊形的方式排列時將有效減少互場的影響，從而減小整體交流損耗，因而超導(dǎo)電纜往往都是多層結(jié)構(gòu)以增大傳輸能力。本研究只是基于超導(dǎo)層排列結(jié)構(gòu)分析，同時采用現(xiàn)在主流的有限元分析方法H 公式法，其中雙層正十二邊形、三層八邊形、二層堆疊等類似結(jié)構(gòu)已有人已提出，本研究提出了放射性結(jié)構(gòu)、多層堆疊結(jié)構(gòu)和內(nèi)八外射結(jié)構(gòu)作對比，仿真表明新結(jié)構(gòu)具有一定的優(yōu)勢。

1 仿真計算

1.1 數(shù)學(xué)模型

仿真基于麥克斯韋方程：

式中：E是電場強度；B是磁感應(yīng)強度；H是磁場強度；J是電流密度；D是電通量密度；ρ是體電荷密度；引入本構(gòu)方程：

式中，ε0是真空介電常數(shù)，其值為8.85×10-12F/H，μ0是磁導(dǎo)率，其值為4π×10-7H/m。本仿真參考superpower 公司提供的SCS4050 高溫超導(dǎo)帶材，具體系數(shù)見參考文獻(xiàn)[10]。臨界電流密度JC0為3.375×10-10A/m2，擬合指數(shù)n為30，考慮到磁場對臨界電流的影響，本仿真采用了Jc(B)方程來模擬磁場對其影響，具體參數(shù)如下：

式中，B0值為52.5 mT，k值為0.25，α值為0.7。除此之外，由于帶材的特殊電流與電壓特性，僅憑Maxwell 方程組并不能完整地將超導(dǎo)體的特性展現(xiàn)出來，因此本仿真還引入了基于REBCO 帶材實驗數(shù)據(jù)的power-law。

式中，E0和n均為常數(shù)，其中根據(jù)失超判據(jù)E0值為1μ V/cm。本研究所有用來分析高溫超導(dǎo)電磁行為的數(shù)值模型都是建立在二維模型，基于H 公式法求解一系列麥克斯韋方程。假設(shè)當(dāng)超導(dǎo)帶材中只有正弦傳輸電流，而無外施磁場時，模型的邊界條件以逐點約束（pointwise constraints）的形式添加，寫成：

式中，Iext為電流密度在導(dǎo)體橫截面的積分，為傳輸電流的最大幅值，f為傳輸電流的頻率。當(dāng)超導(dǎo)帶材中沒有傳輸電流，僅有正弦變化的垂直外磁場，平行外磁場為零時，在空氣域的邊界需要設(shè)置狄利克雷邊界條件[11]，寫成，

式中：Hext為垂直外磁場的最大幅值；f為以正弦形式變化的磁場頻率。

1.2 幾何模型

為了計算和測量高溫超導(dǎo)帶材的交流損耗，準(zhǔn)備了高溫超導(dǎo)帶材REBCO（SCS4050，非鐵磁基底），利用有限元軟件建模時，只需要建超導(dǎo)層即可。超導(dǎo)層厚度為1 μm，寬度為4 mm。為了比較相同根數(shù)的REBCO 在不同排列下的異性，在建模時考慮特殊內(nèi)外半徑幾乎相同，占空比大致一樣，建立六種不同結(jié)構(gòu)的由24根不同排列的REBCO電纜模型：（a）雙層正十二邊形結(jié)構(gòu)；（b）三層正八邊形結(jié)構(gòu)；（c）二層方形堆疊結(jié)構(gòu)；（d）放射性結(jié)構(gòu)；（e）多層堆疊結(jié)構(gòu)；（f）內(nèi)八外射結(jié)構(gòu)。其中b、c、d 三種結(jié)構(gòu)已經(jīng)被用于研究基于一代高溫超導(dǎo)帶材Bi2223的電纜[12]，引入3種新的結(jié)構(gòu)以便分析比較。

2 結(jié)果與討論

2.1 不同傳輸電流下不同結(jié)構(gòu)交流損耗

為了對比不同傳輸電流下四種不同結(jié)構(gòu)的高溫超導(dǎo)交流損耗，在仿真過程中保證其他變量以及邊界條件設(shè)置相同，采用歸一化電流（P=I/IC）以方便仿真分析，仿真分析了歸一化電流從0.1 到0.9時，不同傳輸電流的交流損耗。此外，仿真過程中截取了不同傳輸電流下磁通密度分布及電流密度分布圖。圖1 所示為四種不同結(jié)構(gòu)交流損耗（傳輸損耗）。圖2 為不同結(jié)構(gòu)在歸一化電流為0.5 且在1/4 周期的磁通密度分布圖。圖3 為不同結(jié)構(gòu)在歸一化電流為0.5 時且在1/4 周期的電流密度分布圖。

圖1 自場下不同結(jié)構(gòu)電纜交流損耗隨歸一化電流的變化

圖2 不同結(jié)構(gòu)電纜磁通密度分布

從圖1中可以清晰地看到交流損耗均隨著自場電流的增大而增大。同樣的傳輸電流下，雙層正十二邊形結(jié)構(gòu)和內(nèi)八外射結(jié)構(gòu)具有較小的交流損耗，在對比條件下具有很大的優(yōu)勢，當(dāng)歸一化傳輸電流大于0.65 時，新提出的內(nèi)八外射結(jié)構(gòu)交流損耗最小。同時可以看到當(dāng)歸一化電流從0.8～0.9 時，除了正十二邊形結(jié)構(gòu)和內(nèi)八外射結(jié)構(gòu)，其他結(jié)構(gòu)的交流損耗上升趨勢更快，交流損耗更大，因此一定要控制傳輸電流大小，否則當(dāng)傳輸電流接近臨界電流時帶材交流損耗更大，更容易引起失超。為了更清楚地說明情況，對比了不同結(jié)構(gòu)在歸一化電流為0.5且在1/4周期的磁通密度分布，從圖2可以清晰地看到磁場均對稱分布，中間深色區(qū)域為超導(dǎo)區(qū)域，模型也體現(xiàn)了超導(dǎo)體的抗磁性；磁通密度幾乎都分布在帶材的邊緣附近，從圖2 中可以看到自場的磁場分量與帶材的排布的關(guān)系。雙層正十二邊形結(jié)構(gòu)外層帶材排布幾乎與磁場分量平行。三層正八邊形結(jié)構(gòu)的磁場分布跟雙層正十二邊形結(jié)構(gòu)具有相似性，但是可以很容易地看到外層磁通模值相比雙層十二邊形結(jié)構(gòu)更大，電流密度分布也更大，因此產(chǎn)生的交流損耗也會相對大一些。二層方形堆疊結(jié)構(gòu)的磁通模值分布在邊緣，且上下兩層磁通密度很大，可以看到磁場分量與上下帶材夾角很大。放射狀結(jié)構(gòu)的磁通分量幾乎與YBCO 帶材呈現(xiàn)垂直分布，且?guī)缀趺扛鶐Р亩纪确植?，故此結(jié)構(gòu)交流損耗相對其他排列就會更大。多層堆疊結(jié)構(gòu)的邊緣磁場占比很大，既有平行于帶材的磁場，也有垂直帶材的磁場，磁通模型很大，交流損耗與放射性結(jié)構(gòu)的分布和大小幾乎重合；內(nèi)八外射結(jié)構(gòu)的磁通模值從顏色可以看出是最小的，從模型結(jié)構(gòu)來說，磁場相抵消，相比來說模值分布很小只分布在最外層邊緣附近。同理圖3 的解釋和圖2 可以很好地吻合，也很好地解釋了圖1的分布規(guī)律。

圖3 不同結(jié)構(gòu)歸一化電流為0.5且1/4周期電流密度分布圖

2.2 不同外加垂直場下不同結(jié)構(gòu)交流損耗

為了得到不同外磁場下不同結(jié)構(gòu)的高溫超導(dǎo)電纜損耗，禁用逐點約束條件即傳輸電流，啟用狄利克雷邊界條件，因平行場對其臨界電流的影響比較小，故只設(shè)置了垂直磁場。仿真實踐表明，磁場過大會使計算時間加長甚至不能收斂，考慮實際情況，外加磁場從0.01 T～0.1 T 變化。圖4 是在未通傳輸電流僅在外加垂直磁場下的交流損耗分布圖。相應(yīng)的磁通密度分布圖（外加垂直場為0.5 T時且1/4周期）如圖5所示。

從圖4 可知，所有結(jié)構(gòu)的交流損耗都是隨著外加磁場強度的變大而變大。在外加磁場小于0.035 T時，內(nèi)八外射結(jié)構(gòu)交流損耗最大，并且可以看到外加垂直磁場對交流損耗影響很大，數(shù)值上升很快，因此一定要做好磁屏蔽。也可以推斷出磁化損耗在YBCO 高溫超導(dǎo)帶材中占比很大，而且當(dāng)外加垂直場大于0.035 T 時，雙層正十二邊形交流損耗最大，也可以看出隨著磁場的增大，增長的趨勢在逐漸減小。在外加垂直場為0.05 T 時，交流損耗最小的是二層方形堆疊結(jié)構(gòu)，最大的是雙層正十二邊結(jié)構(gòu)，新提出的多層方形堆疊結(jié)構(gòu)和放射性結(jié)構(gòu)在外磁場下具有較小的交流損耗。從圖5的磁通模值分布可以解釋，多層方形堆疊結(jié)構(gòu)由于結(jié)構(gòu)的特殊性，在外加垂直場下，既有與磁場垂直的帶材分布也有與外加垂直場平行帶材分布，這樣的交替結(jié)構(gòu)對于外加磁場來說具有很好的屏蔽作用，因此相對來說交流損耗較小。正十二邊形結(jié)構(gòu)的模值分布很大，并且中間有一定的磁場線分布，外部邊緣磁場穿透很厲害，很容易發(fā)生失超，因此需首先保護(hù)外側(cè)的帶材。

圖4 不同結(jié)構(gòu)外場損耗

圖5 不同結(jié)構(gòu)在外加垂直場0.05 T且1/4周期時磁通密度分布

2.3 不同傳輸電流以及外加垂直場時交流損耗

圖6 是不同結(jié)構(gòu)外加磁場為0.03 T 時不同傳輸電流的交流損耗，圖7 是外加垂直場為0.03 T 時，傳輸電流為0.5（歸一化）且1/4 周期的磁密模值分布圖。從圖6可以發(fā)現(xiàn)此時交流損耗與傳輸電流具有較好的線性關(guān)系。當(dāng)傳輸歸一化傳輸電流大于0.4時，可以發(fā)現(xiàn)此時新提出的內(nèi)八外射結(jié)構(gòu)交流損耗相對其他結(jié)構(gòu)來說具有很大的優(yōu)勢，并且該模型增長的速率最小。從圖7可以看到內(nèi)八外射結(jié)構(gòu)的磁密模值分布，左邊18 根堆疊的幾乎全部是超導(dǎo)區(qū)域，只有右邊幾根有磁通穿透。新提出的多層堆疊結(jié)構(gòu)線性分布很好，且相對除二層堆疊結(jié)構(gòu)外具有較小的交流損耗，也具有一定的優(yōu)勢。

圖6 外加垂直磁場0.03 T時不同歸一化傳輸電流交流損耗

圖7 外加垂直磁場0.03 T且歸一化電流為0.5時磁通密度分布

3 結(jié)論

通過有限元仿真分析研究了六種不同結(jié)構(gòu)且相同根數(shù)的基于二代高溫超導(dǎo)帶材的超導(dǎo)電纜自場以及外場交流損耗。對比分析了只在傳輸電流下、僅在外加磁場下以及同時加載傳輸電流和外加磁場下的不同結(jié)構(gòu)交流損耗。雖然對比分析仿真了六種不同類型結(jié)構(gòu)的電纜模型交流損耗，發(fā)現(xiàn)其有一定的規(guī)律：在只考慮自場損耗的情況下，歸一化傳輸電流大于0.65 時，新提出的內(nèi)八外射結(jié)構(gòu)具有最小的交流損耗；而在外加垂直場下，相對來說損耗會相比其他大一點，但是在外加垂直場條件以及通流情況下，該模型具有比其他模型更小的交流損耗。在實際電纜模型中需要綜合考慮傳輸電流以及外部磁場幅值大小對其的影響，各有優(yōu)缺點，因此應(yīng)用的范圍也將不一樣。