呂增鋒

(象山縣第二中學(xué)， 浙江 寧波 315731)

在當(dāng)前這個(gè)日新月異的時(shí)代，一大批先進(jìn)的教育理念與教學(xué)技術(shù)脫穎而出，比如，核心素養(yǎng)、單元教學(xué)、深度學(xué)習(xí)、項(xiàng)目化學(xué)習(xí)等，那么如何確保它們?cè)趯?shí)踐中真實(shí)發(fā)生，而且“不跑偏”“不走樣”？這離不開(kāi)“大概念”以及“大概念教學(xué)”理念的支撐。大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價(jià)值[1]，是“居于學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念整合相關(guān)知識(shí)、原理、技能、活動(dòng)等課程內(nèi)容要素，形成有關(guān)聯(lián)的課程內(nèi)容組塊”[2]；而大概念教學(xué)則是以大概念為錨點(diǎn)組織教學(xué)的一種方式，具體說(shuō)，就是以大概念確定教學(xué)的邏輯，圍繞大概念搭建核心觀點(diǎn)框架，依托大概念提升學(xué)生的能力和素養(yǎng)。那么，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科而言，大概念教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)到底有什么區(qū)別呢？下面，筆者就以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”一課為例，談?wù)剬?duì)此的看法。

一、教學(xué)機(jī)理：“先見(jiàn)森林，再見(jiàn)樹(shù)木”與“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”

圖1 大概念教學(xué)圖示

數(shù)學(xué)大概念教學(xué)的基本原理就是以處于學(xué)科中心的各個(gè)層級(jí)的“大概念”為錨點(diǎn)對(duì)核心內(nèi)容進(jìn)行精煉與整合，把碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí)連接成有機(jī)的整體，形成數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法的網(wǎng)狀認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而為學(xué)生提供一個(gè)統(tǒng)籌兼顧、整體規(guī)劃的認(rèn)知體系。大概念教學(xué)的優(yōu)勢(shì)在于引導(dǎo)學(xué)生超越對(duì)知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)，走向那些超越時(shí)空和情境所存在的、可遷移的觀點(diǎn)和思想，從而讓學(xué)生對(duì)什么是數(shù)學(xué)、如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一個(gè)深刻的認(rèn)知。

傳統(tǒng)教學(xué)首先是分析教學(xué)內(nèi)容中有哪些知識(shí)點(diǎn)、每個(gè)知識(shí)點(diǎn)又包含哪些知識(shí)要素。然后，圍繞這些知識(shí)點(diǎn)及其要素開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)。這種以知識(shí)點(diǎn)為單位，逐個(gè)實(shí)施教學(xué)的方式稱為知識(shí)點(diǎn)教學(xué)。最后，通過(guò)知識(shí)點(diǎn)的不斷堆積，獲得想到完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知。同樣，對(duì)于“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”一課，如果采用傳統(tǒng)教學(xué)(如圖2)，“高斯的首位配對(duì)法”與“倒序相減法”就是本節(jié)課的兩大知識(shí)點(diǎn)，這也是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)；接下去，就是圍繞著如何實(shí)現(xiàn)從“高斯的首位配對(duì)法”到“倒序相減法”遷移展開(kāi)教學(xué)設(shè)計(jì)，而對(duì)于這兩種方法是如何想到的、其數(shù)學(xué)本質(zhì)又是什么的問(wèn)題卻往往遭到忽視。

圖2 傳統(tǒng)教學(xué)圖示

傳統(tǒng)教學(xué)對(duì)于“獨(dú)立”知識(shí)的掌握以及考試要求的達(dá)成上具有一定的積極作用，但這種知識(shí)片段的拼湊的做法很難讓學(xué)生自主構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)和理解最本質(zhì)的規(guī)律方法，這也導(dǎo)致隨著時(shí)間的推移，或者訓(xùn)練量的減少，傳統(tǒng)教學(xué)獲得的知識(shí)與技能會(huì)加快遺忘。

二、教學(xué)目標(biāo)：“形成專家思維”與“掌握專家結(jié)論”

大概念教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)最大的差別在于目標(biāo)的不同。大概念教學(xué)的目標(biāo)指向的是單元教學(xué)目標(biāo)，體現(xiàn)的是單元教學(xué)的整體性和系統(tǒng)性，回答的是如何根據(jù)單元的內(nèi)容和地位，為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法的掌握形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)認(rèn)知，提供一個(gè)統(tǒng)籌兼顧、整體規(guī)劃的場(chǎng)域[3]，達(dá)成的是如何讓學(xué)生“形成專家思維”，從而學(xué)生能夠“像專家那樣思考”。“專家思維”有兩大特點(diǎn)：一是專家的頭腦中知識(shí)是靠“大概念”組織起來(lái)的，反映的是專家對(duì)學(xué)科的理解深度；二是專家的頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的“關(guān)聯(lián)性”，能夠根據(jù)知識(shí)間的關(guān)系以及知識(shí)與現(xiàn)象、與情境的關(guān)聯(lián)程度，把知識(shí)有序地“安放”在結(jié)構(gòu)框架中，進(jìn)而能夠根據(jù)任務(wù)需求，能夠熟練調(diào)用相關(guān)的知識(shí)。不僅杜威和布魯納強(qiáng)調(diào)“專家思維”的重要性，加德納也認(rèn)為“只有理解學(xué)科思考世界的獨(dú)特方式，未來(lái)才有可能像一個(gè)科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、藝術(shù)家、歷史學(xué)家一樣去創(chuàng)造性地思維與行動(dòng)”。當(dāng)然，大概念教學(xué)的目標(biāo)最后還需要按照一定的邏輯，細(xì)化為課時(shí)目標(biāo)，從而有序地落實(shí)在課堂教學(xué)中。因此，“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”的大概念教學(xué)目標(biāo)可以這樣描述：(1)從數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)出發(fā)，明確數(shù)列求和的實(shí)質(zhì)就是化簡(jiǎn)；(2)從數(shù)與形兩個(gè)視角發(fā)掘數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用性質(zhì)對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和操作；(3)從等差數(shù)列的“對(duì)稱性”出發(fā)，獲得“倒序相加法”操作步驟，知道“倒序相加法”是等差數(shù)列求和的一種方法。其中(1)(2)兩個(gè)目標(biāo)指向大概念教學(xué)的單元目標(biāo)，(3)指向的是課時(shí)目標(biāo)?？梢?jiàn)，教學(xué)目標(biāo)總體設(shè)計(jì)主次分明，層次有序。

傳統(tǒng)教學(xué)的目標(biāo)一般指向課時(shí)目標(biāo)，它回答的是通過(guò)怎樣的路徑、方法、方式在一節(jié)課中讓學(xué)生掌握相關(guān)的知識(shí)與技能。與由大概念教學(xué)目標(biāo)細(xì)化而來(lái)的課時(shí)目標(biāo)相比，直指課時(shí)目標(biāo)的做法會(huì)割裂數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與學(xué)習(xí)過(guò)程的連續(xù)性。并且這些知識(shí)與技能是被挑選和濃縮過(guò)后編入教材的，具有“專家般”的準(zhǔn)確性與權(quán)威性，雖然學(xué)生不用過(guò)多的思考就可以達(dá)到快速掌握大量“專家結(jié)論”的目的，但這會(huì)造成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的形式化、淺表化、碎片化也是不爭(zhēng)的事實(shí)。美國(guó)社會(huì)學(xué)家蘭德?tīng)枴た铝炙咕兔鞔_指出“在工業(yè)時(shí)代，大部分工作對(duì)人的要求并不高，可以到崗位上現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，從而掩蓋了‘學(xué)校教授專家結(jié)論的教育’是低效乃至無(wú)效這一事實(shí)”[4]。因此，“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”一課傳統(tǒng)教學(xué)目標(biāo)往往是這樣描述：(1)在“高斯求和”的故事情境中，經(jīng)歷分類討論、特殊到一般的思維過(guò)程，發(fā)現(xiàn)“首尾配對(duì)法”與“倒序相加法”的聯(lián)系；(2)會(huì)用“倒序相加法”推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用這個(gè)公式解決等差數(shù)列的求和問(wèn)題；(3)知道等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的是沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，繼續(xù)體會(huì)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)?？梢?jiàn)，這些目標(biāo)全部指向的是知識(shí)技能與思想方法，還有比較有用的結(jié)論“倒序相加法”。

三、問(wèn)題設(shè)計(jì)：“挑戰(zhàn)性”與“引導(dǎo)性”

盡管大概念教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)都強(qiáng)調(diào)以問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)進(jìn)程，但兩者在問(wèn)題設(shè)計(jì)上的理念是不同的。大概念教學(xué)中的問(wèn)題與大概念的目標(biāo)相配套，一般與真實(shí)世界相關(guān)，并且答案具有開(kāi)放性，指向于理解專家思維方式，因此具有很大的“挑戰(zhàn)性”。神經(jīng)科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，“挑戰(zhàn)性”的問(wèn)題能夠加速大腦中“網(wǎng)狀激活系統(tǒng)”的運(yùn)行，讓大腦分泌更多的“多巴胺”，讓學(xué)生持續(xù)保持高度興奮的學(xué)習(xí)狀態(tài)[5]。在這種狀態(tài)下，不僅問(wèn)題解決的進(jìn)程得到加速，而且會(huì)有更多的奇思妙想從學(xué)生頭腦中涌現(xiàn)出來(lái)，會(huì)促使學(xué)生提出新的問(wèn)題，而新的問(wèn)題又會(huì)驅(qū)使學(xué)生進(jìn)一步的探索。于是，知識(shí)就在“解決問(wèn)題—提出問(wèn)題—解決問(wèn)題……”的循環(huán)驅(qū)動(dòng)下高效地進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)。在“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”中，可以提出這樣的問(wèn)題：“數(shù)列求和的原理是什么，以前有沒(méi)有類似的經(jīng)歷？”這個(gè)問(wèn)題指向的是“所有的數(shù)列”，無(wú)法從教材中找到現(xiàn)成的答案，極具有“挑戰(zhàn)性”。但這個(gè)問(wèn)題會(huì)驅(qū)動(dòng)學(xué)生搜索頭腦中已有的“求和”經(jīng)驗(yàn)，比如在“多個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算與化簡(jiǎn)”中，可以是直接運(yùn)算，也可以借助合并同類項(xiàng)、提取公因式等技巧提升運(yùn)算效率。把這個(gè)經(jīng)驗(yàn)遷移到數(shù)列就是：對(duì)于項(xiàng)數(shù)比較少的數(shù)列直接求和就可以了，但對(duì)于項(xiàng)數(shù)比較多的數(shù)列就要講究“技巧”，而“技巧”直指數(shù)列的性質(zhì)，那么“等差數(shù)列的具有怎樣運(yùn)算性質(zhì)”？由此自然生成了第二個(gè)問(wèn)題。以此類推，還會(huì)生成第三個(gè)、第四個(gè)……

四、教師角色：“研究者”與“傳遞者”

顯然，傳統(tǒng)教學(xué)中教師傳遞書(shū)本知識(shí)的角色定位已經(jīng)無(wú)法適應(yīng)大概念教學(xué)的要求。教師不僅要對(duì)教學(xué)內(nèi)容有深刻的理解，而且要知道為什么而教授這些內(nèi)容；教師不僅要懂教學(xué)，而且要懂學(xué)生，懂得如何用專業(yè)的設(shè)計(jì)豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生走向深度理解；教師不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，而且自己還要作為終身學(xué)習(xí)的“表率”，用自己的點(diǎn)滴進(jìn)步去感染每個(gè)學(xué)生。要做好這些事情，教師必須要從知識(shí)的“傳遞者”向教育教學(xué)的“研究者”轉(zhuǎn)變，使自己成為專家，只有當(dāng)教師自己成為專家時(shí)，才能更好地向?qū)W生展現(xiàn)專家思維的真實(shí)面貌，為學(xué)生提供專家思維的范式。比如，“倒序相加法”只是等差數(shù)列求和的一種特殊方法，方法本身的適用范圍極其有限。如果從高階等數(shù)列角度進(jìn)行分析的話，還有更加一般化的方法：

這種方法體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)中的“升維”思想，即把一階等差數(shù)列上升到二階等差數(shù)列來(lái)求和，把二階等差數(shù)列上升到三階等差數(shù)列來(lái)求和，依次類推；采用的運(yùn)算技巧是“裂項(xiàng)相消”，所以運(yùn)算過(guò)程非常簡(jiǎn)潔。12+22+32+…+n2、1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)、13+23+33+…+n3等數(shù)列的求和問(wèn)題都可以采用這種方法。教師如果不去研究，就不會(huì)發(fā)現(xiàn)還有這么好的方法；如果進(jìn)行深入研究，還會(huì)體會(huì)到隙積術(shù)、垛積術(shù)、招差術(shù)等古代數(shù)列求和方法的精髓。

綜上所述，與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)相比，大概念教學(xué)更是追求大道至簡(jiǎn)，幫助學(xué)生少而精地學(xué)習(xí)最有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生提綱挈領(lǐng)地構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，因此，大概念教學(xué)更加有助于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地，更加適合新時(shí)代學(xué)生發(fā)展的需求?！?/p>