陳其濤

數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有極強(qiáng)的抽象性、邏輯性，特別是初中階段的數(shù)學(xué)，難度較大，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會遇到很多的困難和阻礙。隨著素質(zhì)教育理念的不斷深入，初中數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育中重要環(huán)節(jié)之一，教師也應(yīng)該對傳統(tǒng)的教學(xué)模式進(jìn)行改革。數(shù)形結(jié)合能夠?qū)?shù)字和圖形進(jìn)行有機(jī)轉(zhuǎn)換，在課堂中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生能夠加強(qiáng)對數(shù)學(xué)知識的整合、融匯，靈活地構(gòu)建系統(tǒng)性的知識結(jié)構(gòu)，在潛移默化的過程中，學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)得到發(fā)展，高效初中數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建目標(biāo)得以落地。

（一）數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合是一種以數(shù)字和圖形為基礎(chǔ)的直觀性教學(xué)方法，主要通過以形化數(shù)、以數(shù)化形、數(shù)形互變等方式，讓學(xué)生能夠更深刻理解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，掌握學(xué)習(xí)技巧、技能。

首先，根據(jù)數(shù)的精確性特點(diǎn)與數(shù)量型的特征，數(shù)將輔助形并突出形所含有的數(shù)學(xué)屬性；根據(jù)形的直觀性特點(diǎn)與幾何型特征，形在數(shù)的問題中的應(yīng)用，將幫助解題者有機(jī)簡化實(shí)際數(shù)學(xué)問題的文本，將抽象數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀圖形、位置關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具象化的應(yīng)用目標(biāo)。

（二）數(shù)形結(jié)合的方式

就數(shù)形結(jié)合的方式而言，具體可以分為三個(gè)方面。其一，以數(shù)化形。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)和形是兩種最基本的形態(tài)，且彼此之間存在著密切的關(guān)聯(lián)，不可分割、相輔相成。形具有極強(qiáng)的直觀性、圖像化特征，能夠引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入具體的情境中。以數(shù)化形的關(guān)鍵則是將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，使學(xué)生獲得直觀的感官體驗(yàn)與啟迪，快速解決數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。其二，以形變數(shù)。雖然形具有直觀性的特點(diǎn)，但是對于定量、精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式而言，則需要借助數(shù)才能夠?qū)崿F(xiàn)由形向數(shù)的轉(zhuǎn)化。通常情況下，在運(yùn)用“以形變數(shù)”這一方法時(shí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)該加強(qiáng)對問題的深入分析，結(jié)合問題所展示的圖表，獲取關(guān)鍵信息，找到相應(yīng)的數(shù)字關(guān)系，用簡潔明了的數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題。其三，數(shù)與形互變。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要靈活實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的有機(jī)轉(zhuǎn)化，動態(tài)轉(zhuǎn)變，將形的直觀性特征與數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性特征緊密結(jié)合，使學(xué)生思維更加靈活。

（一）有助于引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

就初中階段的數(shù)學(xué)知識而言，所囊括的知識范圍比較廣，有大量抽象性、概念性的知識點(diǎn)，晦澀難懂，這無疑給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成了極大的阻礙，逐漸消磨了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，甚至有很多學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了排斥抗拒的情緒。為了有效改善當(dāng)前的現(xiàn)狀，讓學(xué)生重新迸發(fā)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情、動力、激情，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該主動融合滲透數(shù)形結(jié)合思想。比如，可以借助圖片、視頻等方式將抽象的知識具象化呈現(xiàn)，讓學(xué)生獲得直觀的體驗(yàn)、感知，帶給學(xué)生更多的思想碰撞、思維啟迪。同時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用，能夠真正意義上做到化繁為簡，讓學(xué)生不斷攻克數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難關(guān)，重新拾起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信，提升參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性、積極性。

（二）有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

在素質(zhì)教育背景之下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要落腳點(diǎn)之一在于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維層次、強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知能力?；诖?，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的推進(jìn)過程中，應(yīng)該將數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，在潛移默化的過程中促進(jìn)學(xué)生思維的有效發(fā)展，助力學(xué)生形成發(fā)散思維、邏輯思維、抽象思維等，能夠?qū)?shù)與形進(jìn)行靈活、動態(tài)化、有機(jī)的切換，根據(jù)數(shù)學(xué)知識，了解數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)一步挖掘數(shù)學(xué)規(guī)律，走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，在知識的海洋中遨游，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、綜合能力獲得真正意義上的強(qiáng)化，切實(shí)落實(shí)素質(zhì)教育的根本任務(wù)。

（三）有助于構(gòu)建高校的初中數(shù)學(xué)課堂

初中數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)教育中非常重要的一門學(xué)科，學(xué)好數(shù)學(xué)對學(xué)生的未來發(fā)展而言具有深遠(yuǎn)意義和重要影響。數(shù)和形是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可避免的兩大要素，教師在實(shí)際的教學(xué)環(huán)節(jié)，要科學(xué)地滲透數(shù)形結(jié)合的思想，將龐大的“形”和虛擬世界的“數(shù)”進(jìn)行連接，這是構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂的關(guān)鍵。教師熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想落實(shí)教學(xué)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決具體的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在不斷學(xué)習(xí)的過程中建立起良好的數(shù)學(xué)思維，在課堂中和同學(xué)、教師達(dá)成有機(jī)的互動，形成多元互動關(guān)系網(wǎng)，循序漸進(jìn)地攻破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，真正意義上提升課堂教學(xué)效率，優(yōu)化課堂教學(xué)效果，凸顯數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的價(jià)值和意義。

（一）在概念教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

在初中數(shù)學(xué)教材中，涉及很多的概念性內(nèi)容，數(shù)學(xué)概念是對數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識的提煉、濃縮。但不可忽視的是，數(shù)學(xué)概念本身也具有極強(qiáng)的抽象性，很多學(xué)生只是處于感性的認(rèn)知層面，難以上升到理性的認(rèn)知高度，這使得學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中受到阻礙和限制。在教學(xué)改革的背景之下，著重強(qiáng)調(diào)教師要加強(qiáng)對初中數(shù)學(xué)教學(xué)模式的創(chuàng)新性探究，特別是針對概念性的內(nèi)容，不能夠一味地以灌輸為主，讓學(xué)生死記硬背，而是應(yīng)該注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的滲透，使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念形成具象化的認(rèn)知，切實(shí)掌握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。

例如，以北師大版九年級下冊“直線與圓的位置關(guān)系”這一模塊知識為例，教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)直線與圓的三種位置關(guān)系的概念時(shí)，可以借助多媒體技術(shù)，將抽象的知識具象化、生動化呈現(xiàn)，借助圖片展示日出，然后讓學(xué)生仔細(xì)觀察太陽升起的整個(gè)過程，牢牢地把握住在這一環(huán)節(jié)中所存在的特殊位置關(guān)系，其中主要涉及三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，老師則可以根據(jù)三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)切入直線與圓位置關(guān)系的教學(xué)，自然而然地滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生能夠更加直觀感知直線和圓之間的位置關(guān)系。學(xué)生可以將圓看作太陽，將線看作地平線，然后根據(jù)太陽和地平線有2個(gè)、1個(gè)、0個(gè)公共點(diǎn)的三種情況，展開具體的探究，讓學(xué)生深刻把握直線與圓的三種位置關(guān)系的定義。就第一種情況而言，太陽和地平線相交，那么學(xué)生則可以利用數(shù)形結(jié)合思想將抽象的事物具象化，這個(gè)時(shí)候直線叫作圓的切線。就第二種情況而言，太陽和地平線有一個(gè)交點(diǎn)，學(xué)生則可以抽象出圓和直線相切，將交點(diǎn)叫作切點(diǎn)。就第三種情況而言，太陽和地平線沒有交點(diǎn)，學(xué)生則抽象出圓和直線相離。基于圖片的直觀化展示，教師可以組織學(xué)生就直線與圓的不同位置進(jìn)行總結(jié)和判定，對相交、相切、相離三種情況進(jìn)行判定。在圓與直線位置關(guān)系的教學(xué)中，教師主要是讓學(xué)生從形的認(rèn)知上著手，然后逐漸過渡到數(shù)的認(rèn)知上，由此讓學(xué)生把握相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)化內(nèi)化遷移能力和應(yīng)用能力，為學(xué)生后續(xù)解決圓與直線位置關(guān)系的實(shí)際問題打牢基礎(chǔ)。

（二）在數(shù)軸教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想

在初中教育階段，數(shù)軸作為教材中的重要內(nèi)容，具有基礎(chǔ)性作用，學(xué)好這一知識內(nèi)容對學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)會產(chǎn)生直接影響，同時(shí)也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的重要工具。在具體的學(xué)習(xí)探究中，數(shù)軸在學(xué)生學(xué)習(xí)絕對值概念、有理數(shù)運(yùn)算法則的推導(dǎo)以及不等式的求解等領(lǐng)域都發(fā)揮著不可忽視的作用。老師在具體的教學(xué)環(huán)節(jié)，則可以以數(shù)軸教學(xué)作為數(shù)形結(jié)合思想滲透的起點(diǎn)，以數(shù)軸教學(xué)為切入點(diǎn)，將數(shù)與形進(jìn)行有機(jī)轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生能夠深刻認(rèn)識到數(shù)軸在數(shù)學(xué)問題以及生活實(shí)際中的具體運(yùn)用。

以北師大版七年級上冊“數(shù)軸”這一模塊知識為例，首先在課前導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可以從三個(gè)層次出發(fā)實(shí)現(xiàn)情境引入，揭示課程主題。在第1層次中，教師可以讓學(xué)生根據(jù)家鄉(xiāng)地圖，標(biāo)出自己家位于學(xué)校的什么方位。就第2個(gè)層次而言，教師則可以讓學(xué)生在一條直線上畫出各個(gè)物體的相對位置。而就第3個(gè)層次而言，教師則可以讓學(xué)生仔細(xì)觀察溫度計(jì)，認(rèn)識到溫度計(jì)主要是以0刻度為分水嶺，具體劃分為正數(shù)以及負(fù)數(shù)。在這一環(huán)節(jié)中，教師將動手、動口、動腦相結(jié)合，激活學(xué)生的求知欲望，為接下來數(shù)形結(jié)合思想的滲透奠定良好的基礎(chǔ)。而后教師可以引導(dǎo)學(xué)生探究有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系。教師展示溫度計(jì)圖片，提出問題：我們通過觀察可以看到當(dāng)前溫度計(jì)上所顯示的度數(shù)值是多少？溫度計(jì)和數(shù)軸具有哪些相似點(diǎn)？可以將溫度計(jì)看作是一條數(shù)軸嗎？在這一環(huán)節(jié)中，教師提出啟發(fā)性問題，引導(dǎo)學(xué)生將溫度計(jì)看成一條數(shù)軸，在溫度計(jì)上初步建立“由點(diǎn)表示數(shù)，由數(shù)找到點(diǎn)”的數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)軸，強(qiáng)化學(xué)生的圖形識別能力，凸顯數(shù)形結(jié)合的重要應(yīng)用價(jià)值。

（三）在一元二次方程教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)階段非常重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，它是一元一次方程、方程組和不等式等相關(guān)知識的拓展、延伸、深化。以北師大版九年級上冊“一元二次方程”這一模塊知識為例，這一模塊知識的重難點(diǎn)內(nèi)容包括一元二次方程的基本概念、解法以及在實(shí)際問題中的具體運(yùn)用。教師在具體教學(xué)過程中，要善用、巧用、會用數(shù)形結(jié)合的思想，推進(jìn)教學(xué)活動的有序、有效開展，引導(dǎo)學(xué)生全身心地投入一元二次方程的學(xué)習(xí)中，利用已有的知識進(jìn)一步探究一元二次方程的幾種解法。教師在完成教學(xué)任務(wù)之后可以展示具體的例題，讓學(xué)生求解。如：求方程 x2-x-1 = 0 的解。在任務(wù)的導(dǎo)向之下，教師可以將班級學(xué)生劃分為多個(gè)小組，組織小組成員展開深度的探討、研究，在交流、碰撞過程中摩擦出更多的思維火花，尋找不同的解題方法，獲得更多的解題靈感，從不同的視角切入，積極探求解題的路徑。方法一： 利用一元二次方程的求根公式進(jìn)行解答。 學(xué)生可以直接套用公式，這是最方便、最快捷，但也是最死板的解法。方法二：學(xué)生可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，運(yùn)用數(shù)與形之間有機(jī)的轉(zhuǎn)換，完成解題任務(wù)。學(xué)生可以將題目中的方程式變形成為x2 = x+1，然后繪制出函數(shù)圖像： y = x+1 與 y = x2，學(xué)生將兩個(gè)函數(shù)圖像的解繪制出來，得出兩個(gè)函數(shù)圖像相交，而相交的點(diǎn)則是需要求出的方程的解。在這一教學(xué)過程中，教師通過數(shù)形結(jié)合方法的有效運(yùn)用，打開學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生思維的靈活性，同時(shí)帶給學(xué)生更直觀、豐富的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，這樣可以取得事半功倍的教學(xué)效果。

（四）在概率教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想

概率問題是很多學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，但同時(shí)也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，教師往往注重理論知識的講解，忽視了和學(xué)生之間的有效互動，也沒有將數(shù)形結(jié)合思想融入其中。隨著教學(xué)改革的推進(jìn)，有效地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠?yàn)椤案怕收n堂”注入更多新鮮的血液。例如，以北師大版教材九年級上冊“概率的進(jìn)一步認(rèn)識”這一模塊知識為例，首先在課前導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可以借助多媒體輔助教學(xué)，通過播放課件的方式創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境：小平、小方、小米三個(gè)人是非常好的朋友，在參加一次比賽中獲得了一張電影票，所以三個(gè)人決定一起通過做游戲的方式選出誰能獲得這張電影票。小平、小方、小米設(shè)置游戲規(guī)則：連續(xù)投擲兩枚相同的硬幣，查看投擲的結(jié)果，如果兩枚硬幣都是正面朝上，那么就由小方去看電影，如果都是反面朝上，那么則由小平去看電影，而如果是一正一反，則由小米去看電影，你覺得這個(gè)游戲公平嗎？在問題的啟發(fā)之下，學(xué)生可以以小組為單位，對于其中涉及的概率問題展開深刻的探究，在批判、質(zhì)疑的過程中解決一系列問題。而為了使得學(xué)生的討論過程可視化，可以借助樹狀圖或者列表法列舉投擲兩枚硬幣可能會出現(xiàn)的結(jié)果。由此使得數(shù)形之間能夠?qū)崿F(xiàn)動態(tài)轉(zhuǎn)變，使得小平、小方、小米獲勝的概率更加直觀、形象，最終得出具體的結(jié)果：小平獲勝的概率是四分之一、小方獲勝的概率也是四分之一，而小米獲勝的概率是二分之一。由此可見小米的獲勝概率是最大的，這個(gè)游戲并不公平。

（五）在三角函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想

三角函數(shù)的應(yīng)用作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，同樣是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，其中涵蓋了以數(shù)化形、以形變數(shù)、數(shù)與形互變的三種數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師往往采取平鋪直敘的教學(xué)方式為學(xué)生講解題目，卻忽視了數(shù)形結(jié)合思想，導(dǎo)致部分學(xué)生在獨(dú)立解題時(shí)不知所措，從而難以獲得理想的教學(xué)效果。以北師大版教材九年級下冊“三角函數(shù)的應(yīng)用”這一模塊知識為例，首先在引領(lǐng)讀題環(huán)節(jié)，教師可以針對題目文本，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用以數(shù)化形的方式將抽象問題具象化，即將題目文本轉(zhuǎn)化為清晰可視化的圖形；而后在圖形辨析環(huán)節(jié)，教師可以針對缺乏數(shù)量關(guān)系的圖形，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意運(yùn)用以形變數(shù)的方式明確圖形中的數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)成形數(shù)互變、學(xué)以致用的教學(xué)目標(biāo)，給學(xué)生指明解題方向，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

總而言之，教師作為整個(gè)教學(xué)活動的組織者、引導(dǎo)者，要積極運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，圍繞著學(xué)生的實(shí)際情況，展開多樣化的教學(xué)活動，讓學(xué)生能夠結(jié)合不同的知識點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的有機(jī)轉(zhuǎn)化，強(qiáng)化自身的邏輯思維能力、解題能力、創(chuàng)新意識，讓整個(gè)課堂呈現(xiàn)出別樣的生氣和活力。