石秀文

(邢臺學院數(shù)學與信息技術學院，河北邢臺 054001)

在“學生中心、產(chǎn)出導向、持續(xù)改進”的OBE理念的指導下，高校師范專業(yè)課程教學改革進一步深化，數(shù)學分析作為數(shù)學師范專業(yè)的核心基礎課，對學生的數(shù)學素養(yǎng)、專業(yè)能力及科學精神的培養(yǎng)起著至關重要的作用。為了進一步提升數(shù)學分析課程的教學效果，從教學內(nèi)容、教學方法、教學評價等多方面探究新理念下數(shù)學分析課程的教學改革與實踐。本文以數(shù)學分析三為例來說明課程教學的創(chuàng)新探究與實施。

一、教學內(nèi)容的探究與實施

在教學內(nèi)容改革的研究中，堅持以學生中心的理念，聚焦學生的課程學習效果，關注數(shù)學分析服務于其他課程的基礎作用，來合理設計教學內(nèi)容。而數(shù)學分析課程的知識體系具有嚴密的邏輯性，課程教學中保證知識體系的完整有助于學生循序漸進的掌握知識，因此在教學安排上，要考慮前后知識的銜接順暢以順應學生的認知結(jié)構(gòu)。同時考慮加強數(shù)學分析與中學數(shù)學的有機銜接、增加相關數(shù)學史內(nèi)容，以提升學生學科素養(yǎng)，體現(xiàn)課程育人的價值。

(一)改革課程內(nèi)容體系，提升教學效果

我院數(shù)學分析三在大二第一學期開設，按內(nèi)容特點可分兩大板塊，第一板塊是隱函數(shù)及其應用與含參量積分，第二板塊是曲線積分、重積分、曲面積分[1]。長期以來一直按照教材的順序，先學習第一板塊，再學習第二板塊。

目前教學中面臨兩個問題，一是按照教材中內(nèi)容的次序，學生先學完含參量積分(課程難點內(nèi)容)后，對接下來的多元函數(shù)積分學(重點內(nèi)容)的學習積極性有所減弱。二是重積分的計算方法是數(shù)學實驗課中必用的方法，數(shù)學實驗課程與數(shù)學分析三同時開課，按照教材的內(nèi)容的順序講授，不利于數(shù)學實驗課程的學習。因此，嘗試調(diào)整兩個板塊的學習次序，先學第二板塊。第二板塊多元函數(shù)積分學是數(shù)學分析三的重點內(nèi)容，學期初始先學，學生積極性比較高，由定積分的復習，引出曲線積分，再過度到重積分、曲面積分，整個過程是由易到難，循序漸進，符合學生的認知結(jié)構(gòu)，實踐說明這樣調(diào)整提升了重點知識的學習效果，同時能及時對數(shù)學實驗課程的學習提供幫助。

調(diào)整內(nèi)容先后次序，課程內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，邏輯關系上主要有兩個問題，其一是二重積分化為累次積分的定理證明中涉及第一板塊含參量積分性質(zhì)的應用，其二是計算空間曲線積分的例題中用到第一板塊求曲線的切向量。在教學中，恰當處理了兩個板塊前后關聯(lián)問題。一是課堂上淡化理論，從幾何意義上來說明二重積分可化為累次積分，學生較易理解，二是指導學生繞過含參量積分性質(zhì)，應用啟發(fā)探究式學習本定理的證明，不影響教學效果。對于空間曲線積分的例題中切向量的問題，明確告訴同學們，這個問題涉及第一板塊內(nèi)容，暫時不講如何得到，重點學習應用兩類曲線積分之間的關系簡化積分計算的解題思想。在后面學習第一板塊中隱函數(shù)的應用后，再把此例題留作課后探究題目，讓學生重新完成。這樣處理后，學生帶著問題去學習空間曲線的切線方程，調(diào)動了學習積極性，通過學生獨立去解決曲線積分遺留的問題，加強了知識的復習與應用，加深了知識理解，收到良好效果。

(二)挖掘教材與中學數(shù)學有關的內(nèi)容

為了培養(yǎng)學生用高等數(shù)學的觀點與思想方法去理解初等數(shù)學的內(nèi)容，挖掘數(shù)學分析與初等數(shù)學相聯(lián)系的內(nèi)容，融入到教學過程中，深化對中學數(shù)學的理解，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

在學習二重積分的概念時，需要先研究曲頂柱體的體積計算，在此教師和學生一起回顧祖暅原理，指出定積分計算立體體積的方法就是祖暅原理的體現(xiàn)，提問球體的體積公式如何得到？簡單描述一下利用祖暅原理獲得半球體體積的方法，讓學生知道簡單公式背后的歷史文化，感嘆祖暅原理的妙用，同時復習定積分計算球體體積、橢球體積的方法，加深學生對初等知識的認識，培養(yǎng)學生用高等數(shù)學的思想方法去理解初等數(shù)學問題的意識。然后，設問如果一般空間立體的截面面積函數(shù)未知，如何計算其體積？讓學生有一點想知道的沖動，激發(fā)學生學習的興趣，調(diào)動學生的學習積極性。

在數(shù)學分析三中，有許多與中學數(shù)學關聯(lián)的內(nèi)容。其中求曲線的參數(shù)方程是與中學數(shù)學相關，也是學生的糊涂點。讓學生利用熟悉的圓的參數(shù)方程去尋找相關聯(lián)的一類曲線參數(shù)方程的規(guī)律，由此學生可以輕松得到橢圓的參數(shù)方程，但學生并不清楚橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，指導學生課后進行小組探究獲得答案，加深對橢圓參數(shù)方程的理解。將曲線的切線、曲面的切平面等問題與初等數(shù)學聯(lián)系起來，讓學生再思考、再認識，加強對初等數(shù)學知識的理解。在學習條件極值時，增加中學數(shù)學中的一些不等式、幾何最值、點到直線或平面的距離等問題，讓學生課后用條件極值的方法去解決，使學生認識到可用微積分方法更簡單的處理中學數(shù)學問題，養(yǎng)成建立高等數(shù)學與初等數(shù)學的聯(lián)系以及用高等數(shù)學的觀點、思想、方法理解相關的中學數(shù)學知識的習慣。

(三)增加數(shù)學史內(nèi)容，簡述數(shù)學家故事

微積分的創(chuàng)立被譽為“人類精神”的偉大勝利，“數(shù)學分析是人類思維的偉大成果”，是歷經(jīng)300多年，眾多數(shù)學家辛勤努力、刻苦鉆研的結(jié)果[2]。因此，要充分挖掘與課程內(nèi)容有關的數(shù)學史料，將數(shù)學家的趣事和科學精神滲透教學中，以鼓勵學生發(fā)揚數(shù)學家刻苦鉆研的精神，培養(yǎng)腳踏實地，孜孜不倦的學習習慣。數(shù)學分析三的課程內(nèi)容涉及到多位數(shù)學家，搜集、整理這些數(shù)學家的生平事跡，重點簡介對數(shù)學分析的貢獻、與科學有關的趣事和科學精神，或滲透到課堂中，或推送給學生課外閱讀，提升學生的人文素養(yǎng)。

學習拉格朗日乘數(shù)法時求極值問題時，介紹18世紀歐洲偉大數(shù)學家拉格朗日成才經(jīng)歷與勤奮學習、刻苦鉆研的精神，激勵學生奮發(fā)圖強。讓學生課后搜集數(shù)學分析中以他命名的概念、定理及方法，加強對數(shù)學分析中重要定理、公式的復習，提升對數(shù)學分析的學習興趣。

含參量積分是數(shù)學分析的難點之一，是數(shù)學分析二中多個難點知識的綜合應用。在學習含參量積分一致收斂的概念時，復習函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念及判別法，可以提問最早提出一致收斂概念是哪位數(shù)學家？學生得知是現(xiàn)代分析之父的維爾斯特拉斯，簡述他對數(shù)學分析的重要貢獻，進一步了解“一致收斂”概念產(chǎn)生的意義，能激發(fā)學生對抽象的新概念與理論的學習熱情，加強對基礎知識的鞏固。在學習歐拉積分時，許多學生出現(xiàn)畏難情緒，教師不直接介紹歐拉積分的定義，先和學生一起復習譽為最優(yōu)美公式的歐拉公式，激發(fā)對歐拉的興趣，然后簡介歐拉對數(shù)學的巨大貢獻及科學精神，吸引學生學習歐拉積分的注意力，促使學生產(chǎn)生學習歐拉積分的愿望，培養(yǎng)學生踏實學習、刻苦鉆研的精神。本章學習中，可以布置課外任務，讓學生了解與課程內(nèi)容有關的數(shù)學家柯西, 維爾斯特拉斯、狄利克雷及阿貝爾等科學家的故事、成就及追求真理的科學精神。

學習兩類曲線積分關系時，介紹巴羅的“微分三角形”及數(shù)學史上傳為佳話的“巴羅讓賢”故事[2]，讓學生學習科學家的高尚品格，在學習和工作中要踏實做事、淡泊名利。

學習二重積分的概念時，讓學生了解祖暅原理及球體的體積計算，增加學生的民族情懷，調(diào)動學生學習積極性；學習高斯公式，介紹數(shù)學王子高斯的典型趣事，激發(fā)學生對高斯公式的學習熱情，同時讓學生學習高斯愛動腦思考的良好習慣，勇于探索復雜未知問題的科學精神，堅持不懈的毅力，吃苦耐勞、艱苦奮斗的品質(zhì)。

二、教學方法與學習方式的改革

(一)課程的教學方法

在OBE理念的指導下，以發(fā)展學生的思維能力、提升課程的學習效果為目的，從學生的角度去思考課程怎么講、學生如何學的問題。在課堂教學中，變革以前的講授法，以啟發(fā)式教學為主，同時針對課程內(nèi)容特點結(jié)合學情選擇適合的教學方法。對于在理論或方法上有相似之處的內(nèi)容，采用對比學習法以提升學習效率。對于重點的抽象的理論知識，將其分解為幾個簡單的具體問題，采用引導探究法降低學習難度，通過學生的思考、探究來加深對知識的理解，培養(yǎng)學生的思維能力。 對于應用性強的知識采取問題驅(qū)動法，提升學生分析問題、解決問題的能力。

對比式教學法是引導學生聯(lián)想已學過的與其相似、相關或相反的知識,并進行對照分析、比較,以求尋找它們的共性和差異,從而使學生獲得準確、深刻的認識。對含參量反常積分一致收斂性概念、性質(zhì)及判定方法，應用對比式教學法，引導聯(lián)想函數(shù)項級數(shù)，對照比較，尋找共性，歸納總結(jié)的異同，加強了對新知識理解，同時鞏固了已學知識。第一型曲線、曲面積分、重積分的學習采用對比教學法，與定積分進行對照比較學習，提升了學習效果。

運用引導探究法來學習重點與難點知識。在學習隱函數(shù)存在條件分析、格林公式、高斯公式時，將復雜問題設計成幾個簡單問題，引導學生自己探究解決每個簡單問題，獲得結(jié)論。通過引導探究法，讓學生參與思考，加強了知識的理解，培養(yǎng)學生解決復雜問題的信心和能力，同時體驗到數(shù)學家的思維活動，有助于培養(yǎng)創(chuàng)新思維意識。

運用問題驅(qū)動法學習條件極值概念與拉格朗日乘數(shù)法。學習條件極值概念時，教師提出無蓋魚缸的設計問題，學生分組討論，各組提出自己解決方案，教師歸納總結(jié)，完善解決方案，引出條件極值概念，進一步引導學生分析一般條件極值解決方法，歸納總結(jié)，得到拉格朗日乘數(shù)法。問題驅(qū)動法將學生被動學習轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生主動去分析、解決問題，充分調(diào)動了學生學習的積極性，體現(xiàn)了“學生中心”的基本理念。

(二)課程學習方式的改革

課前、課上、課后相結(jié)合的學習模式。針對一些簡單內(nèi)容，教師列出詳細學習提綱，在提綱的引導下，學生自學相關內(nèi)容。針對課程難點問題，不難發(fā)現(xiàn)“難”的原因之一是基本概念和理論的綜合運用，“難”的原因之二是學生對已有概念和定理及其應用的方法出現(xiàn)遺忘，因此，通過分解難點，列出與其有關的概念、定理及典型的應用例題，讓學生課前復習學習。學生可以根據(jù)自己的情況有選擇的復習相關的基礎知識，同時學生隨時通過學習通、QQ平臺與教師討論，為課堂學習做鋪墊、清障礙，提升課堂的學習效果，節(jié)省了課堂的教學時間，部分課后作業(yè)變?yōu)殡S堂練習，從而可適當減少課后作業(yè)，能讓學生課后有時間去復習、閱讀、思考，并逐漸形成良性循環(huán)，發(fā)揮學生學習主體作用，培養(yǎng)學生良好的學習習慣。

線上線下混合模式。課堂教學采用板書教學為主，結(jié)合線上進行隨堂練習與檢測，線上布置學習任務，課后作業(yè)線上限時提交，教師及時批閱，學生可以及時糾正作業(yè)中錯題，并要求學生作業(yè)必須線下、課前提交，以促使學生獨立完成。增加線上學生互評作業(yè)方式，為學生提供相互學習、相互比較、理性分析自我、評價自我的機會。

加強反思，提升效果。增設期初反思，旨在反省自己上學期數(shù)學分析學習中存在的問題，力求本學期得到糾正；增設期中反思總結(jié)，旨在反思本學期學習中問題，力求及時糾正；增設期末反思總結(jié)，加強學生自我認識，為之后(包括假期)學習做好規(guī)劃，同時提醒自己假期不可懈怠，學習不應間斷，讓學生度過愉快而又充實的假期。通過反思總結(jié)，加強學生的反思意識，養(yǎng)成反思習慣，提高學習的自覺性。

實施助教輔導的學習模式。在數(shù)學分析三教學過程中，嘗試選取高年級四名優(yōu)秀學生做助教，每周搜集學生學習中問題，利用周末進行輔導答疑，也是一種有效的輔助教學方式。

三、教學評價的改進與實施

教學評價是為了檢驗學生的學習效果，檢驗是否實現(xiàn)課程教學目標的達成，同時通過過程評價引導師生反思教學中存在的問題，促使學生改善學習態(tài)度、改進學習方式與學習行為，促進教師優(yōu)化教學過程。為達到此目的，數(shù)學分析教學加強了過程性評價，增加了多種形式的作業(yè)評價，如課前作業(yè)、課后常規(guī)作業(yè)、課后小組合作探究性作業(yè)、章節(jié)思維導圖總結(jié)作業(yè)等，規(guī)范了階段測驗，加強了課堂學習評價。除此之外，還實施了以下評價。

增加肯定性評價。對于學生在課堂上回答問題、參與小組討論積極，隨堂練習表現(xiàn)優(yōu)異、善于質(zhì)疑和思考的學生，教師及時鼓勵、贊揚，在過程考核中適當體現(xiàn)，激勵學生積極進取。

增加線上評價，提升評價客觀性。加強學習通隨堂練習，設計線上提交課后作業(yè)，教師通過學生線上提交的時間、完成的正確度及作業(yè)中體現(xiàn)的獨立思考性和創(chuàng)新思維，從而較為客觀的評價學生的學習態(tài)度、學習積極性、課堂學習效果以及學生的基礎水平，同時便于及時鼓勵優(yōu)秀生再接再厲，及時發(fā)現(xiàn)落后生學習中的問題，督促學生改進，加強了師生互動，從互動中更全面的了解學生的實際情況。

增設學生參與評價活動。對部分網(wǎng)上作業(yè)與測驗，讓學生依據(jù)教師提供的詳細參考答案及評分標準，對作業(yè)、測驗進行互評，為學生提供互相學習的機會。對階段測驗，嘗試讓優(yōu)秀學生做參考答案及評分標準，鍛煉規(guī)范編輯數(shù)學符號的能力，加強對規(guī)范解題過程的認識及獨立解決問題能力。同時，通過階段測驗及作業(yè)互評，能促使學生發(fā)現(xiàn)自己學習中不足與差距，及時調(diào)整自己學習狀態(tài)，端正學習態(tài)度。

增加課程小論文。圍繞課程重點內(nèi)容設計課程小論文題目，以小組的方式完成。有助于學生復習鞏固所學知識，加強應用所學知識分析、思考、解決問題的意識和能力。

四、問題與反思

數(shù)學分析教學改革的探索與實踐體現(xiàn)了“學生中心、產(chǎn)出導向、持續(xù)改進”的師范認證理念，調(diào)動了學生的學習積極性，促進了學生主動參與課堂內(nèi)外的學習，基本實現(xiàn)了讓學生忙起來、學起來、動起來，教學效果也得到提高。

數(shù)學分析課程是數(shù)學師范專業(yè)基礎課中普遍認為難學的一門課，雖然依托師范認證理念，認真、踏實的進行教學改革探索與實踐，但問題仍然不少。比如學生自主獲取知識的能力還不強；學生應用數(shù)學分析理論知識綜合分析、解決較復雜問題的能力不足；仍有部分學生缺乏學習興趣。不同的學生有不同的知識基礎和理解能力，教師如何根據(jù)學生的差異做到更有效的因材施教，使每個師范生的知識、能力與素質(zhì)在各自的基礎上有顯著提高；教學評價如何更精準的對接課程目標，如何做到更加全面、客觀的反映學生的實際情況，提升評價的可信度；教師還需要綜合考慮學生的知識結(jié)構(gòu)、基礎水平、課余可支配的時間等多種因素，從質(zhì)和量上探索合理的設計研究性作業(yè)、探索性作業(yè)、常規(guī)性作業(yè)及其評價量規(guī)等等。因此，今后仍需要在教學實踐中持續(xù)不斷的探索，進一步改進和完善教學方法和考核評價方式，優(yōu)化數(shù)學分析課程的教學過程，提高課程的教學質(zhì)量。