肖 勇，李 博，尹家悅，李 波，胡珊珊，廖耀華

（1.南方電網(wǎng)科學(xué)研究院有限責(zé)任公司，廣東廣州 510663；2.廣東省電網(wǎng)智能量測與先進(jìn)計(jì)量企業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州 510663；3.云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，云南昆明 650217；4.云南省綠色能源與數(shù)字電力量測及控保重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，云南昆明 650217）

0 引言

隨著電力系統(tǒng)相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，大量的電子器件和非線性元件投入使用，而這些非線性負(fù)荷在使用過程中會(huì)產(chǎn)生基頻的整次諧波和分?jǐn)?shù)次諧波，對(duì)電網(wǎng)質(zhì)量造成越來越嚴(yán)重的損害。其中產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)次諧波又稱間諧波[1-2]，其具有頻率隨機(jī)和非平穩(wěn)性等特點(diǎn)，是典型的非平穩(wěn)信號(hào)。針對(duì)含有諧波分量的信號(hào)檢測，目前常用的算法主要包括：基于瞬時(shí)無功功率[3]，快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）[4]，希爾伯特黃變換（Hilbert-Huang Transform，HHT）[5]，現(xiàn)代譜估計(jì)[6]，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7-8]，小波變換[9-10]等。基于瞬時(shí)無功功率的諧波檢測法，因計(jì)算變換復(fù)雜且不能檢測間諧波而無法廣泛應(yīng)用。采用加窗插值FFT 進(jìn)行間諧波檢測，常因非同步采樣會(huì)不可避免地引起柵欄效應(yīng)，且不適于分析非平穩(wěn)信號(hào)。HHT由經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）和希爾伯特變換（Hilbert Transform，HT）組成，因EMD 分解時(shí)存在模態(tài)混疊和端點(diǎn)效應(yīng)，無法準(zhǔn)確檢測間諧波?；诂F(xiàn)代譜估計(jì)的算法能精確檢測諧波（間諧波）信號(hào)頻率，但無法準(zhǔn)確提取信號(hào)幅值和相位參數(shù)。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的諧波檢測法，相較于傅里葉變換和小波變換有較強(qiáng)抗干擾能力和較高運(yùn)算速度、精度，但因其構(gòu)造需要大量訓(xùn)練數(shù)據(jù)，還未應(yīng)用在實(shí)際工程中。小波變換應(yīng)用于電力系統(tǒng)諧波檢測，克服了頻譜混疊，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)及暫態(tài)的諧波精確檢測，但不能針對(duì)高頻諧波信號(hào)進(jìn)行檢測分析和未確定應(yīng)用于諧波檢測的小波分解的最優(yōu)小波基函數(shù)。通過上述分析，雖然針對(duì)整次諧波信號(hào)的檢測已有大量的研究，并提出了許多方法，但電力系統(tǒng)因非線性元件的應(yīng)用產(chǎn)生的間諧波提出了新的計(jì)量要求，而上述方案對(duì)間諧波的檢測方法存在算法復(fù)雜、檢測誤差大、高頻諧波檢測受限等局限性，即在穩(wěn)態(tài)和時(shí)變系統(tǒng)未針對(duì)間諧波幅值和相位等重要參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確檢測分析。文中將利用小波可聚焦信號(hào)局部細(xì)節(jié)的特征進(jìn)一步研究電網(wǎng)系統(tǒng)間諧波信號(hào)的檢測。

小波函數(shù)是時(shí)間函數(shù)，其變換在時(shí)域和頻域都是局部化的，通過伸縮平移運(yùn)算可實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的多尺度細(xì)化，聚焦到信號(hào)的局部細(xì)節(jié)，提高對(duì)諧波的分辨率。近年來基于小波分析理論的小波變換不斷完善，使其在電力系統(tǒng)間諧波檢測分析中有廣泛應(yīng)用前景[11]。文中采用基于小波變換和小波包變換來實(shí)現(xiàn)對(duì)電網(wǎng)信號(hào)間諧波的檢測，并選取不同小波基函數(shù)和采用穩(wěn)態(tài)及暫態(tài)電網(wǎng)信號(hào)進(jìn)行仿真對(duì)比，來證明該方法對(duì)電力系統(tǒng)間諧波檢測具有更優(yōu)的性能。

1 基于小波變換的間諧波檢測

1.1 間諧波的離散小波變換分析

小波變換的時(shí)間-頻率窗口可調(diào)，其實(shí)質(zhì)是將電網(wǎng)信號(hào)與一個(gè)小波基函數(shù)進(jìn)行卷積，對(duì)信號(hào)逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，將信號(hào)分解成位于不同頻段的單個(gè)分量。因此將小波變換理論應(yīng)用于電力系統(tǒng)間諧波檢測是十分合適的。

對(duì)函數(shù)ψ(t)，其傅立葉變換為ψ(ω)，當(dāng)且僅當(dāng)其傅立葉變換滿足小波變換的反演源函數(shù)的條件，如式（1）所示的容許條件[12]，ψ(t)才能被看作是基小波。

定義由參數(shù)a，b和基小波ψ(t)生成的連續(xù)小波函數(shù)族或小波基函數(shù)如式（2）所示：

式中：a為伸縮因子；b為平移因子，t為基小波函數(shù)自變量；且a,b∈R且a＞0。

因信號(hào)能量有限，令所有信號(hào)滿足公式（1）條件的函數(shù)集合為L2(R)，那么對(duì)任一能量有限信號(hào)f(t)∈L2(R)在小波基函數(shù)下進(jìn)行投影分解，稱這種分解為函數(shù)的連續(xù)小波變換（Continue Wavelet Transform，CWT）為Wf(a,b)，表達(dá)式如式（3）所示：

實(shí)際應(yīng)用中，CWT 的系數(shù)是高度冗余的，導(dǎo)致計(jì)算量十分大，因此必須對(duì)信號(hào)加以離散化以消除和降低其冗余性。具體做法是，在CWT 基礎(chǔ)上，將a,b離散，取a=2j,b=ka，其中j，k為將a，b離散化的任意正整數(shù)，且j為分解的層數(shù)。由此得到離散小波變換（Discrete Wavelet Transform，DWT），表達(dá)式如式（4）所示：

1.2 基于Mallat算法的多分辨分析

最初小波變換因存在運(yùn)算過大等缺點(diǎn)而受限，但隨著Mallat 多分辨分析等優(yōu)秀分解算法的提出，可快速將信號(hào)分解為細(xì)節(jié)分量和近似分量，使得基于該快速算法的小波變換諧波提取方法成為目前廣泛應(yīng)用的諧波檢測方法[12-13]，其對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行多分辨率分析的基本原理如式（5）所示：

式中：h為生成的低通濾波器；g為生成的高通濾波器；j為分解的層數(shù)；aj（n）為原始信號(hào)第j層近似系數(shù)，aj-1（k）為原始信號(hào)第j-1 層近似系數(shù)，描述信號(hào)的低頻部分信息；dj（n）為原始信號(hào)第j層細(xì)節(jié)系數(shù)，描述信號(hào)的高頻部分信息。

重構(gòu)算法如式（6）所示：

式中：aj+1為原始信號(hào)第j+1層近似系數(shù)；dj+1（n）為原始信號(hào)第j+1層細(xì)節(jié)系數(shù)。

小波多分辨率[13-14]的基本原理就是對(duì)電網(wǎng)信號(hào)進(jìn)行尺度劃分，得到包含原始信號(hào)不同頻率信號(hào)成分的不同頻段，然后利用各頻段的分解信息對(duì)各子頻段進(jìn)行重構(gòu)，獲得電網(wǎng)信號(hào)中的各次諧波，選擇合適的劃分尺度可以有效提高分解精確度。劃分原理如圖1所示，其中L 代表低頻段信號(hào)，H 代表高頻段信號(hào)。

圖1 離散小波分解Fig.1 Discrete wavelet decomposition

由圖1 可知，當(dāng)基波頻率被劃分到最低子頻段中心時(shí)，則達(dá)到合適分解尺度。分解原理圖顯示小波變換僅對(duì)信號(hào)低頻部分進(jìn)行了深層次劃分，表明小波分解比較適合分析以低頻信號(hào)為主要成分的信號(hào)。

2 基于小波包變換的間諧波檢測

針對(duì)小波變換因高頻頻帶寬，對(duì)高頻信號(hào)檢測頻率分辨率低的問題，提出了以小波變換為基礎(chǔ)的改進(jìn)方法小波包變換。小波包變換[15]的主要分解過程是先對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行分解，得到信號(hào)中各頻率分量的系數(shù)，根據(jù)所得分解系數(shù)信息，重構(gòu)出基波和各次諧波信號(hào)，進(jìn)行諧波檢測與分析[16-17]。小波變換和小波包變換本質(zhì)都是數(shù)字濾波，對(duì)頻帶采用二進(jìn)劃分的方式，兩者的區(qū)別在于小波變換僅對(duì)信號(hào)低頻頻帶劃分，而小波包變換是對(duì)信號(hào)整個(gè)頻帶做劃分。頻帶均勻劃分的實(shí)現(xiàn)，解決了小波變換的局限性，有效提高了對(duì)信號(hào)高頻部分檢測和分析的準(zhǔn)確度。小波包多分辨分解過程如圖2 所示。

圖2 離散小波包分解Fig.2 Discrete wavelet packet decomposition

3 電力系統(tǒng)間諧波檢測仿真

3.1 小波基函數(shù)對(duì)比分析

小波具有聚焦信號(hào)局部細(xì)節(jié)的特性，該特性是提高電力系統(tǒng)間諧波檢測分析準(zhǔn)確度的理論基礎(chǔ)。小波分析不斷濾除各頻帶上頻率相對(duì)較高分量dj(n)的多分辨率原理，并保存和利用這些分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，這是基于小波分析的電力系統(tǒng)間諧波檢測的基本過程[18-19]。重構(gòu)的信號(hào)即提取出來的諧波和間諧波分量，利用這些信號(hào)實(shí)現(xiàn)對(duì)電力系統(tǒng)間諧波幅頻特性和相位特性的檢測。與離散傅里葉變換相比，多種多樣的小波基函數(shù)ψ(t)，是解決離散傅里葉變換窗口單一性和難確定性的關(guān)鍵所在，而更換不同的小波基對(duì)同一電網(wǎng)信號(hào)進(jìn)行小波分析就能達(dá)到不同的效果。目前判定小波基的好壞主要是通過重構(gòu)信號(hào)結(jié)果與原始信號(hào)理論結(jié)果的誤差分析，并結(jié)合待檢測信號(hào)的特點(diǎn)，來制定選擇小波基的標(biāo)準(zhǔn)[20-22]。文中根據(jù)間諧波這種非穩(wěn)態(tài)信號(hào)的特點(diǎn)，從haar 小波、daubechies 小波、symlets 小波、coiflets 小波和dmey 小波的小波基函數(shù)庫中選出具有正交性、線性相位、對(duì)稱性、一階消失矩、缺陷信號(hào)敏感性和結(jié)構(gòu)噪聲屏蔽性特點(diǎn)的小波基函數(shù)組[23-25]，通過仿真分析，得出各小波檢測間諧波時(shí)頻特性誤差最小的小波基，作為分析電網(wǎng)信號(hào)間諧波的最佳小波基函數(shù)。對(duì)應(yīng)的小波基命名為harr、db8、sym、coif5、dmey。

示例1：給定一個(gè)基波頻率是50 Hz，采樣頻率為5 000 Hz，帶相位偏移?k,(k=1,2,3)的信號(hào)f1(t)，φk取值見表1，其表達(dá)式如式（7）所示：

表1 信號(hào)相位參數(shù)Table 1 Parameters of signal phase（°）

式中：sin(100πt+φk) 為給定的2 次諧波分量；sin(700πt+φk)為給定的14 次諧波分量；sin(180πt+φk)為給定的3.6 次諧波分量；sin(420πt+φk)為給定的8.4 次諧波分量；sin(1300πt+φk)為給定的26次諧波分量。

依據(jù)多分辨率分解的原理對(duì)示例1 所給出的電網(wǎng)系統(tǒng)模擬電壓信號(hào)f1(t)進(jìn)行5 級(jí)小波分解，高頻系數(shù)是CDn(n=1,2,...,5)，頻帶范圍是fs(2n+1)～fs2n，低頻系數(shù)是CAn(n=1,2,...,5)，頻帶范圍是0～fs(2n+1)，其中n代表分解層數(shù)。按照這樣的劃分原理對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析，獲得各小波分解系數(shù)，如圖3 所示。

由圖3 可看出最低子頻帶是低頻系數(shù)CA5 所在頻帶，該頻帶僅含有原始信號(hào)的基波成分，所以由低頻系數(shù)CA5 重構(gòu)可得基波分量，CD5、CD4、CD3 和CD2 等高頻系數(shù)所在的頻帶分別包含了原始信號(hào)各諧波分量，由這些諧波成分進(jìn)行各子頻帶信號(hào)重構(gòu)，達(dá)到基波和諧波檢測的目的。

圖3 小波分解各小波系數(shù)Fig.3 Wavelet decomposition coefficients

文中對(duì)示例1 的仿真分析選用了db8，sym8，haar，dmey 和coif5 五種小波作為小波變換的小波基函數(shù)，分別對(duì)f1()t進(jìn)行5 級(jí)小波分解，獲得各頻帶的小波系數(shù)。采用Mallat 重構(gòu)算法將各諧波和間諧波信號(hào)單支重構(gòu)，并對(duì)重構(gòu)信號(hào)的幅度和相位進(jìn)行誤差對(duì)比分析，如圖4 所示，以獲得分析間諧波的最佳小波基。由圖4 中重構(gòu)間諧波信號(hào)與原始間諧波信號(hào)的幅值特性對(duì)比可看出，采用coif5 小波的間諧波幅值提取干擾最少，對(duì)間諧波信號(hào)的幅值特性分析效果最佳。

圖4 信號(hào)小波分解后對(duì)間諧波幅值提取對(duì)比Fig.4 Extraction and comparison of interharmonic amplitude after signal wavelet decomposition

依據(jù)表1 所對(duì)應(yīng)的信號(hào)相位偏移情況，即信號(hào)相位參數(shù)分別為-23.10°、52.40°、115.60°。對(duì)各諧波信號(hào)相位的誤差分析結(jié)果如表2 所示。將表中各小波基對(duì)應(yīng)的相位誤差求平均誤差，小波基db8、haar、sym8、dmey 的相位平均誤差分別為0.47%、0.90%、0.51%、0.37%，其中采用小波基coif5 的相位平均誤差最小為0.22%。結(jié)合幅值特性的對(duì)比分析結(jié)果可以得出coiflets 小波基函數(shù)coif5 是分析間諧波信號(hào)的最佳小波基函數(shù)。

表2 信號(hào)經(jīng)小波分解后對(duì)重構(gòu)信號(hào)相位誤差分析Table 2 Phase error analysis of reconstructed signal after wavelet decomposition

3.2 穩(wěn)態(tài)信號(hào)的小波變換與小波包變換仿真

為了進(jìn)一步分析諧波分量增加后的諧波檢測能力，采用coif5 小波基函數(shù)對(duì)示例2 信號(hào)進(jìn)行小波變換及小波包變換。

示例2，給定一個(gè)基波頻率是50 Hz，采樣頻率為2 048 Hz，帶相位偏移φk,(k=1,2,3) 的信號(hào)f2(t)，φk取值見表1，其表達(dá)式如式（8）所示：

式中：sin(100πt+φk) 為給定的2 次諧波分量；sin(300πt+φk)為給定的6 次諧波分量；sin(500πt+φk)為給定的10 次諧波分量；sin(700πt+φk)為給定的14 次諧波分量；sin(180πt+φk)為給定的3.6 次諧波分量；sin(420πt+φk)為給定的8.4 次諧波分量。

依據(jù)多分辨率分析的原理對(duì)示例2 信號(hào)分別進(jìn)行4 級(jí)小波分解和小波包分解，利用小波系數(shù)重構(gòu)諧波波形如圖5 和圖6 所示。由圖1 展示的小波分解的頻帶劃分原理可知，小波分解對(duì)于含有頻率相近的諧波信號(hào)或含高頻諧波信號(hào)的提取存在一定局限性。由圖5 和圖6 的波形對(duì)比，可知小波包分解能對(duì)信號(hào)頻帶均勻劃分，克服了小波分解的局限性，其波形重構(gòu)圖相比于小波分解，更準(zhǔn)確地提取了含有間諧波信號(hào)中的各次諧波。

圖5 小波分解對(duì)電網(wǎng)信號(hào)f2(t)各諧波信號(hào)重構(gòu)Fig.5 Reconstruction of each harmonic signal of power grid signal f2(t)based on wavelet decomposition

圖6 小波包分解對(duì)電網(wǎng)信號(hào)f2(t)各諧波信號(hào)重構(gòu)Fig.6 Reconstruction of each harmonic signal of power grid signal f2(t)based on wavelet packet decomposition

信號(hào)f2(t)按照表1 依次改變相位取值，選取dmey 小波、sym8 小波、coif5 小波和haar 小波4 種不同的小波基分別對(duì)f2(t)進(jìn)行小波包分解，獲得各頻帶的小波包分解系數(shù)，采用重構(gòu)算法對(duì)各間諧波信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，并對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行幅度和相位誤差的分析。不同小波基函數(shù)進(jìn)行小波包分解和信號(hào)重構(gòu)，對(duì)比提取的幅值特性仿真結(jié)果如圖7 所示。采用dmey 小波的小波包分解對(duì)間諧波幅值提取干擾最少，對(duì)間諧波信號(hào)的幅值特性分析效果更佳。

圖7 f2(t)信號(hào)經(jīng)小波包分解1.8次間諧波幅值特性Fig.7 The 1.8th interharmonic amplitude characteristics of f2(t)signal decomposition with wavelet packet

由于文中針對(duì)的是電力系統(tǒng)的間諧波檢測和分析，依據(jù)表1 所對(duì)應(yīng)的信號(hào)相位偏移情況，即信號(hào)相位參數(shù)分別為-23.10°、52.40°、115.60°。并為了表述方便只列出了小波包分解兩個(gè)分次諧波的相位分析，如表3 所示。表3 中可看到采用haar 小波基的平均相位誤差極小，dmey 小波基為0.5%，僅次于haar 小波基。但結(jié)合幅值特性的仿真結(jié)果，dmey 小波基的表現(xiàn)更佳，基于dmey 小波的小波包變換來進(jìn)行電力系統(tǒng)的間諧波檢測準(zhǔn)確度更高。

表3 信號(hào)經(jīng)小波包分解后對(duì)各諧波相位的提取Table 3 Extraction of each harmonic phase after signal decomposition with wavelet packet

3.3 暫態(tài)信號(hào)的小波包變換仿真

在電力系統(tǒng)運(yùn)行中會(huì)受到擾動(dòng)信號(hào)的干擾，文中以示例2 信號(hào)f2(t)為原始信號(hào)，令信號(hào)f2(t)的采樣點(diǎn)N=1024，其余信息與f2(t)信號(hào)設(shè)定一致，對(duì)f2(t)信號(hào)增加的擾動(dòng)信息如下：

在采樣區(qū)間U=[151,400]內(nèi)增加一低頻擾動(dòng)信號(hào)：sig1(t)=-0.2 sin(2πt×90+π4) ；在采樣區(qū)間U=[501,650] 內(nèi)增加一高頻擾動(dòng)信號(hào)：sig2(t)=0.5 sin(2πt×510-π6)；其余區(qū)間內(nèi)的信號(hào)與f2(t)保持一致。文中對(duì)此時(shí)變諧波信號(hào)采用了基于快速FFT 方法和小波包分解算法的對(duì)比分析，仿真結(jié)果如圖8 和圖9 所示。

圖8 基于快速FFT的時(shí)變諧波信號(hào)諧波提取幅值圖Fig.8 Harmonic extraction amplitude of time-varying harmonic signal based on fast FFT

圖9 基于小波包分解的時(shí)變諧波信號(hào)諧波重構(gòu)波形圖Fig.9 Harmonic reconstruction waveforms of timevarying harmonic signal based on wavelet packet decomposition

如圖8 所示，基于快速FFT 的時(shí)變諧波信號(hào)檢測，能檢測各諧波成分，但對(duì)擾動(dòng)信號(hào)得幅度檢測誤差較大；如圖9 所示，對(duì)90 Hz 和510 Hz 的2 個(gè)干擾信號(hào)的重構(gòu)波形，都能在對(duì)應(yīng)時(shí)間區(qū)間內(nèi)被準(zhǔn)確檢測，且幅度檢測誤差較小。結(jié)合上述2 個(gè)示例的仿真結(jié)果，再次凸顯基于dmey 小波基函數(shù)的小波包分解能更加有效實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)諧波信號(hào)的檢測分析。

4 結(jié)語

本文以小波變換為基礎(chǔ)對(duì)含有間諧波的電網(wǎng)信號(hào)進(jìn)行小波和小波包分解，利用多分辨率的概念選擇多個(gè)符合標(biāo)準(zhǔn)的小波基函數(shù)進(jìn)行對(duì)比仿真，驗(yàn)證基于小波變換和小波包變換的電網(wǎng)信號(hào)間諧波檢測的有效性，獲得檢測間諧波信號(hào)最佳的小波基函數(shù)。選用coif 小波的小波變換和選用dmey 小波的小波包變換，用于檢測電網(wǎng)信號(hào)的間諧波含量更佳。特別是基于dmey 的小波包變換可更有效地提取各個(gè)頻帶分量，適合間諧波、暫態(tài)信號(hào)的檢測及其時(shí)頻信息提取，對(duì)于應(yīng)用小波變換進(jìn)行電力系統(tǒng)間諧波分析有重要意義和應(yīng)用前景。