湖南省常德市第三中學(xué) 陸信明 （郵編：415000）

2021年第4期《數(shù)學(xué)通報》刊登了彭翕成老師提供的問題2596號如下：

1 問題呈現(xiàn)

如圖，在△ABC中作中線BM，已知∠ABM＝∠A+∠C，求證

彭老師給出了利用高中正余弦定理以及三角變換等知識的證明過程，現(xiàn)給出兩種利用初中平面幾何知識的證法以及對該問題的推廣.

2 問題證明

證法一如圖1，取AB的中點D，連接DM，因為點M是AC中點，所以DM是△ABC的中位線，

圖1

所以DM∥BC，BC＝2DM，所以∠AMD＝∠C，

因為∠MDB＝∠AMD+∠A，∠ABM＝∠A+∠C，

所以∠MDB＝∠ABM，所以DM＝BM，所以BC＝2BM.

如圖2，過點M作ME⊥AB于點E，

圖2

因為DM＝BM，所以DE＝BE，

因為DA＝DB，所以AE＝3BE，

證法二如圖3，過點A作BC的平行線交BM的延長線于點D，

圖3

因為AD∥BC，所以∠DAM＝∠C，∠D＝∠CBM，

因為AM＝CM，所以△ADM≌△CBM，

所以AD＝BC，DM＝BM，

因為∠DAB＝∠DAC+∠BAM，∠ABM＝∠C+∠A，

所以∠DAB＝∠ABM，所以DA＝DB，所以BC＝DA＝DB＝2BM.

如圖4，取AB中點E，連接ME，連接DE交AC于點F，

圖4

因為DA＝DB，

所以DE⊥AB，

因為點M是BD中點，所以EM是△BAD的中位線，

所以EM∥AD，AD＝2EM，

所以△ADF∽△MEF，所以

3 推廣

如圖，在△ABC的邊AC上有一點M，使得，已知∠ABM＝∠A+∠C，

注類比證法一即可得到證明過程，在此不再贅述.