福建省莆田第一中學(xué) 吳曉明 林清利 （郵編：351100）

解三角形是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要章節(jié)，在新高考解答題的六個(gè)模塊中，解三角形與三角函數(shù)是其中的一個(gè)必選內(nèi)容.其中解三角形題目的設(shè)計(jì)形式比較多樣，有的設(shè)計(jì)成“不良結(jié)構(gòu)”試題，有的是以邊角關(guān)系的常規(guī)試題，還有的是與平面幾何相結(jié)合.在核心的考查上主要是考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).從2020年的八省聯(lián)考和2021年的新高考對(duì)解三角形的考查來(lái)看，考查的力度有所增強(qiáng).在高三復(fù)習(xí)中，復(fù)習(xí)完兩個(gè)解三角形公式：正弦定理和余弦定理，適當(dāng)處理解三角形的個(gè)別微專題，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力的提升是很有幫助的.本文主要探究解三角形與平面幾何圖形相結(jié)合的常見(jiàn)類型及解決方法，具體來(lái)說(shuō)是對(duì)正弦定理或余弦定理的運(yùn)用次數(shù)，可以分為“算一次”和”算兩次”.由于這類平面幾何問(wèn)題一般可以一題多解，除了正弦定理或余弦定理外，有的還可以通過(guò)建系，向量，兩個(gè)三角形的面積關(guān)系等方向切入，具體可參考黃美青[1]，鐘康生[2]等論文，本文就不展開.

1 “算一次”問(wèn)題

常見(jiàn)的平面幾何圖形有兩種類型：一種是由兩個(gè)三角形拼成一個(gè)大三角形，一種是由兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形.所謂“算一次”問(wèn)題，就是只需通過(guò)一次正弦定理或余弦定理就可以把問(wèn)題角或邊長(zhǎng)算出來(lái).

例1如圖1，已知△ABC中∠ABC＝45°，∠ACB＝60°.

（1）求AC的長(zhǎng)；

（2）若CD＝5，求AD的長(zhǎng).

解（1）如圖1所示，在△ABC中，由正弦定理得，

圖1

（2）因?yàn)椤螦CB＝60°，所以∠ACD＝120°，

在△ACD中，由余弦定理得，

例2（安徽省A10聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月段考）如圖2，平面四邊形ABCD是由鈍角△ABC與銳角△ACD拼接而成，且AC·cos∠BAC＝BC·sin∠ABC，

圖2

（1）求∠CAD的大小；

解（1）在△ABC中 ，由AC·cos∠BAC＝BC·sin∠ABC，及由正弦定理得，sin∠ABC·cos∠BAC＝sin∠BAC·sin∠ABC，

因?yàn)閟in∠ABC≠0，所以tan∠BAC＝1，

又∠BAC∈（0，π），即

（2）在△ACD中由余弦定理得，

此時(shí)△ACD為鈍角三角形，不滿足題意，舍去.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)這兩個(gè)例子，（1）認(rèn)識(shí)兩個(gè)平面幾何圖形和訓(xùn)練學(xué)生通過(guò)圖形尋找需要的條件的能力，并在過(guò)程中鞏固正弦定理和余弦定理公式的應(yīng)用.（2）為接下來(lái)進(jìn)一步分析較難的圖形打基礎(chǔ).

2 “算兩次”問(wèn)題

在一些平面幾何問(wèn)題中，所求的角或邊長(zhǎng)放在任何一個(gè)三角形中，由于條件較少，都不可能通過(guò)一次正弦定理或余弦定理求出.那么，可找兩個(gè)三角形，通過(guò)它們的公共邊或角，運(yùn)用兩次正弦定理或余弦定理，就可以解決問(wèn)題，簡(jiǎn)稱“算兩次”.

2.1 求角問(wèn)題

例 3（2013年課標(biāo) Ⅰ·理 17）如 圖3，在△ABC中 ，∠ABC＝為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°.

圖3

（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

解（1）略.

（2）設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得化簡(jiǎn)得所以，即tan

評(píng)注（1）此題觀察發(fā)現(xiàn)在△ABC、△PAB、△PBC、△PCA中任一個(gè)三角形，都無(wú)法單獨(dú)運(yùn)用一次正弦定理（或余弦定理），求出tan∠PBA.但通過(guò)△PAB、△PBC的公共邊PB，運(yùn)用兩次正弦定理，就可以解決問(wèn)題.（2）可以發(fā)現(xiàn)，將PA放在△PAB和△PCA，進(jìn)行兩次正弦定理，或?qū)C放在△PBC和△PCA，進(jìn)行兩次正弦定理，也都可以求tan∠PBA的值.一般地，求三角形某個(gè)內(nèi)角問(wèn)題，可尋找其中的一條邊，對(duì)其放到兩個(gè)三角形，分別運(yùn)用正弦定理或余弦定理，“算兩次”解方程求之.

變式1（2016年課標(biāo) ⅠⅠⅠ·理8）在△ABC中，邊上的高等于則sinA＝（ ）

解 方法一設(shè)BC邊上的高為h，則BC＝3h，在 直 角 △ACD中得AC＝在△ABC中，由正弦定理，得即，聯(lián)立方程組，消去AC，可解得 tanA＝-3，得

方法二設(shè)BC邊上的高線為AD，則BC＝3AD，DC＝2AD，所以由正弦定理，知解得，故選D.

變式2（2021年佛山一模）如圖4，在梯形ABCD中，AB//CD，AB＝2，CD＝5，

圖4

（2）若AC⊥BD，求tan∠ABD.

解（1）略

評(píng)注設(shè)AC∩BD＝O，該題第二問(wèn)也可能過(guò)以下兩種方法求得：（1）對(duì)邊長(zhǎng)BD＝BO+DO，可分別求出2cosα，DO＝5cosα，代入可求AC＝AO+CO，接下來(lái)與（1）做法一樣.

設(shè)計(jì)意圖上述三個(gè)例子，結(jié)合性較強(qiáng)，解題入口較寬，可以從不同角度切入，一題多解，是訓(xùn)練學(xué)生解題良好載體.對(duì)學(xué)生通過(guò)圖形尋找條件的能力，正余弦定理熟練程度及運(yùn)算和化簡(jiǎn)技巧，都提出了比較高的要求.但是，通過(guò)某條邊長(zhǎng)，進(jìn)行“算兩次”，可操作性較強(qiáng)，淡化技巧性，容易掌握.同時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步加深，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.2 求邊長(zhǎng)問(wèn)題

例4（2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練）在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1.

（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC.

解（1）略

（2）如圖5，設(shè)BC＝x，則AB＝2x，在△ABD中，

圖5

在△BCD中，

由（1）可知，∠BDC＝∠ABD，所以cos∠BDC＝cos∠ABD，即

整理可得x2+2x-2＝0，因?yàn)閤＞0，解得因 此 ，cos∠BDC＝cos∠ABD＝

評(píng)注一般地，求三角形某個(gè)邊長(zhǎng)問(wèn)題:（1）可尋找其中的一個(gè)角，對(duì)其放到兩個(gè)三角形，分別運(yùn)用余弦定理，“算兩次”解方程求之.同樣的命制手法還有2021年新高考19題；（2）邊長(zhǎng)可表示成某個(gè)未知角的正弦或余弦值，如2.1求角問(wèn)題，可先求角的值，代入可得所求的邊長(zhǎng).

變式1（2019年課標(biāo)Ⅰ·理10）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），過(guò)F2的直線與C交 于A、B兩 點(diǎn).若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（ ）

解由橢圓C的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），可 知c＝1，又 因 為|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，可設(shè)|BF2|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝|AB|＝3m，根據(jù)橢圓的定義可知|BF1|+|BF2|＝m+3m＝2a，得所 以面，可通過(guò)兩個(gè)方法求a的值.

方法一在△ABF1中，由余弦定理得：

在△AF1F2中，同余弦定理得：

解得a2＝3，b2＝a2-c2＝2，得 橢圓C的 方程為故選B.

方法二可 知 A（0，-b），根據(jù) 相似可 得代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得a2＝3，b2＝a2-c2＝2，得橢圓C的方程為故選B.

變式2（2019年課標(biāo)Ⅰ·理 12）如圖6，已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E、F分別是PA、AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為（ ）

圖6

解 方法一如圖6，設(shè)PA＝x，在△APC中，由余弦定理得

在△FPC中，由余弦定理得

又AB＝BC＝AC＝2，易知PA、PB、PC兩兩相互垂直，故三棱錐P-ABC的外接球的半徑為，即三棱錐P-ABC的外接球的體積為故選D.

評(píng)注本題也可通過(guò)線面垂直定理的判定來(lái)證明PB⊥平面PAC，進(jìn)而得到三棱錐的三條側(cè)棱PA、PB、PC是兩兩垂直的.

設(shè)計(jì)意圖上述三個(gè)例子，可以發(fā)現(xiàn)，“算兩次”問(wèn)題，不僅僅只是在解三角形這一章節(jié)出現(xiàn)，也可以用在其它帶圖形的問(wèn)題，如立體幾何，圓錐曲線等.體現(xiàn)一題多解的發(fā)散思維，只要方法得當(dāng)，對(duì)相關(guān)題目的解決會(huì)起到事半功倍的效果.

3 結(jié)語(yǔ)

本文以高考題為主探究解三角形與平面幾何相合問(wèn)題的微專題，并得出操作性比較強(qiáng)的方法.在高三復(fù)習(xí)過(guò)程中，確定好的框架范圍內(nèi)，教師通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，發(fā)揮學(xué)生的主作用.同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察，分析，探索發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的途徑，及融入解題思路、規(guī)律等數(shù)學(xué)方法技巧.在此基礎(chǔ)上，提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力，培養(yǎng)其邏輯推理能力，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及清晰的解題思路，由此綜合提升學(xué)生高考備考的能力.