山東省鄒平市第二中學(xué) 扈希峰 （郵編：256200）

山東省鄒平市教學(xué)研究室 莫靜波 （郵編：256200）

經(jīng)典試題總是給人以啟迪，有些試題初看起來(lái)很平常，實(shí)際上卻散發(fā)著獨(dú)特的魅力，蘊(yùn)含著優(yōu)美的結(jié)論，有豐富的研究空間和教學(xué)價(jià)值.本文從一道高三試題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探究思考，得出三次函數(shù)的一個(gè)有趣性質(zhì)，為進(jìn)一步研究高考試題提供一些思考.

1 試題展示與解法探究

1.1 試題展示

若函數(shù)f（x）＝2x3-ax2（a＜0）在內(nèi)有最大值，則a的取值范圍為_(kāi)___.

1.2 解法探究

由f′（x）＝2x（3x-a），得時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)或x＞ 0時(shí)，f′（x）＞ 0，則f（x）的減區(qū)間為增區(qū)間為從而f（x）在x＝處取得極大值

由f（x）＝-，得

該題的難點(diǎn)在于①式方程的求解，通過(guò)師生互動(dòng)，合作探究，得到以下解法.

解法一顯然是方程2x3-ax2+的解，引入?yún)?shù)m、n，設(shè)

解法二顯然是方程2x3-ax2+的解，利用多項(xiàng)式除法對(duì) 2x3-進(jìn)行因式分解，進(jìn)而求解，可得

函 數(shù)f（x）＝2x3-ax2（a＜ 0）的 極 大 值 點(diǎn)極 小 值 點(diǎn)x2＝0，當(dāng)f（x3）＝f（x1）時(shí)，得，那么x1、x2、x3之間是否存在某種關(guān)系呢？我們易得x3-x2＝2（x2-x1），對(duì)于任意一個(gè)三次函數(shù)是否有類似結(jié)論成立呢？如果成立，就可以通過(guò)該關(guān)系順利求得x3.我們要有意識(shí)地讓學(xué)生從特殊到一般去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，推廣命題，在解答問(wèn)題的過(guò)程中讓學(xué)生享受成功的喜悅，開(kāi)闊視野，拓展思維，也循序漸進(jìn)地揭開(kāi)數(shù)學(xué)試題的面紗，再鏈接高考試題，實(shí)戰(zhàn)演練，演繹精彩課堂.

2 提煉推廣

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過(guò)程，那么就應(yīng)該讓合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢?”學(xué)生在猜想的過(guò)程中新舊知識(shí)的碰撞就會(huì)激發(fā)智慧的火花，鍛煉數(shù)學(xué)思維，發(fā)展推理水平，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

結(jié)論1已知三次函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠ 0）的極值點(diǎn)為x1、x2（x1＜x2）.

若f（x1）＝f（x3），x1≠x3，則x2-x1＝2（x3-x2）；

若f（x2）＝f（x3），x2≠x3，則x2-x1＝2（x1-x3）.

證明不妨設(shè)a＞ 0，f′（x）＝3ax2+2bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)為x1、x2（x1＜x2），則如 圖1，令f（x）＝f（x1），顯然x1是方程f（x）-f（x1）＝0的實(shí)根，結(jié)合圖象，所以ax3+x3）＝0，由 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 得 ，x1+x1+x3＝③，由②③得，

圖1

所以x2-x1＝2（x3-x2）.

同理，可以證明當(dāng)f（x2）＝f（x3）時(shí)，有x2-x1＝2（x1-x3）成立.

我們知道三次函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠ 0）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，而三次函數(shù)f（x）對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)恰好為f″（x）的零點(diǎn).

結(jié)論2已知三次函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠ 0）的極值點(diǎn)為x1、x2（x1＜x2），對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為x0，則x1+x2＝2x0.

證 明f′（x）＝3ax2+2bx+c的兩 個(gè) 零 點(diǎn)為x1、x2（x1＜x2），則所以x1+x2＝2x0.由結(jié)論1和結(jié)論2，我們?nèi)菀椎玫饺魏瘮?shù)圖象上特殊點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間“等距”的性質(zhì)（如圖2）.

圖2

結(jié)論3已知三次函數(shù)

f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的 極 值 點(diǎn) 為x1、x2（x1＜x2），對(duì) 稱 中 心 的 橫 坐 標(biāo) 為x0，若f（x1）＝f（x3），x1≠x3，則x0-x1＝x2-x1＝x3-x2；

若f（x2）＝f（x3），x2≠x3，則x1-x3＝x0-x1＝x2-x0.

3 高考演練

例 1（2020·全國(guó)Ⅲ卷）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+bx+c，曲線y＝f（x）在點(diǎn)處的切線與y軸垂直.

（1）求b；

（2）若f（x）有一個(gè)絕對(duì)值不大于 1的零點(diǎn)，證明:f（x）所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

解

（2）證 明 ：由 （1）知f（x）＝x3-令f′（x）＝0，解 得

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x f′（x ）f（x）（-∞，-1 2）+↗-1 2 0 c+1 4（-1 2，1 2）-↘1 2 0 c-1 4（1 2，+∞）+↗

圖3

綜上，若f（x）有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，則f（x）所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

例 2（2016·天 津 卷）設(shè) 函 數(shù)f（x）＝（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R.

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若f（x）存在極值點(diǎn)x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0＝3；

（Ⅲ）設(shè)a＞ 0，函數(shù)g（x）＝|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值不小于

解（Ⅰ）（Ⅲ）（略），

（Ⅱ）因 為f（x）＝（x-1）3-ax-b，所 以f′（x）＝3x2-6x+3-a，f″（x）＝6x-6，令f″（x）＝0，得x＝1，則f（x）圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為 1，由于f（x）存在極值點(diǎn)x0，且f（x1）＝f（x0），當(dāng)x0為極大值點(diǎn)時(shí)，由結(jié)論 3得：x1-1＝2（1-x0），即x1+2x0＝3，

當(dāng)x0為極小值點(diǎn)時(shí)，由結(jié)論3得：1-x1＝2（x0-1），即x1+2x0＝3，

綜上，x1+2x0＝3.

4 教學(xué)建議

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決有三個(gè)境界，即就題論題，就題論法，就題論道.高三復(fù)習(xí)不應(yīng)是簡(jiǎn)單知識(shí)的羅列和機(jī)械的刷題，而是發(fā)揮題目的價(jià)值.完成一個(gè)數(shù)學(xué)題的解答時(shí)，數(shù)學(xué)問(wèn)題探究卻沒(méi)有結(jié)束，每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的反思和梳理過(guò)程所收獲的東西遠(yuǎn)比純粹地解“數(shù)學(xué)題”來(lái)的更加深刻.增強(qiáng)問(wèn)題探究意識(shí)有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.恰當(dāng)借助信息技術(shù)，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到問(wèn)題解決中，真正實(shí)現(xiàn)就題論法，就題論道.逐步使學(xué)生達(dá)到腦中有形——數(shù)學(xué)直觀，心中有數(shù)——數(shù)學(xué)抽象，手中有術(shù)——數(shù)學(xué)建模，數(shù)據(jù)分析，解題有路——邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.