浙江大學(xué)附屬中學(xué)丁蘭校區(qū) 陳作國(guó) 施剛良 （郵編：310021）

2019年1 月杭州市高三一模第19題，給高一的學(xué)生當(dāng)做期末復(fù)習(xí)題來(lái)做，應(yīng)該也可以，而且得分率也還不錯(cuò).筆者今年教高三，高一的時(shí)候就給學(xué)生練過(guò)，兩個(gè)班做出來(lái)的同學(xué)還是蠻多的.高一的時(shí)候就可以“做出來(lái)”，經(jīng)過(guò)兩年的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)，到了高三（2019年1月，筆者教高三），在模擬考中考一下，居然“做不出來(lái)了”.這是一件很奇怪的事情，其實(shí)也見(jiàn)怪不怪.這與老師的教和學(xué)生的學(xué)有很大的關(guān)系，學(xué)生在高一沒(méi)有把問(wèn)題訂正或理解透徹，指望靠后面的復(fù)習(xí)將問(wèn)題搞懂，往往是一廂情愿.高一為自己挖的“坑”（這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)沒(méi)有落實(shí)到位所造成的“坑”，就像一顆“定時(shí)炸彈”），終究是要自己來(lái)“填”的，不然掉進(jìn)去的最終還是自己.

1 試題呈現(xiàn)

設(shè)函數(shù)f(x)＝

（Ⅰ）若k＝1，解方程f(x)＝0；

（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f(x)＝0有四個(gè)不同的解，求k的取值范圍.

注第Ⅰ題略，本文主要探討第Ⅱ題.

參考答案依題意0有4個(gè)不同的解，而x＝1是其中1個(gè)解，所以只需要考慮方程只有3個(gè)解.

評(píng)注參考答案的方法是巧妙地將(x-1)2寫成|x-1|2，從而提取公因式|x-1|避免分類討論，再通過(guò)參變量分離整體考慮函數(shù)圖象的位置關(guān)系，有一種行云流水的感覺(jué).參考答案學(xué)生想不到的主要原因是：將(x-1)2寫成|x-1|2，其實(shí)這個(gè)變形在初中就學(xué)過(guò)，在高一教師還會(huì)再?gòu)?qiáng)調(diào)的，但學(xué)生可能還是不會(huì)靈活運(yùn)用.這說(shuō)明學(xué)生的代數(shù)變形能力不強(qiáng)，轉(zhuǎn)化思想欠缺，邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)不高.

2 解法探究

如圖1，當(dāng)相切時(shí)k＝-4，兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以要使得兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，k的取值范圍為k＜-4.

圖1

后來(lái)又有學(xué)生利用另外形式的參變量分離法（將變量與參數(shù)徹底分類）：

圖2

評(píng)注在批卷的過(guò)程中，這樣做法的學(xué)生不多，即使有學(xué)生畫(huà)的圖象也是不準(zhǔn)確的.通過(guò)參變分離來(lái)解決方程根的問(wèn)題，學(xué)生們是非常喜歡的.因?yàn)檫@樣可以避免分類討論，而分類討論是學(xué)生處理方程或零點(diǎn)問(wèn)題的“軟肋”.這樣處理的人數(shù)不多主要是：絕對(duì)值去掉要分類，也就是說(shuō)整體的圖象是幾段圖象拼起來(lái)的；還有就是分母是兩次的分式函數(shù)，對(duì)學(xué)生很有挑戰(zhàn)；兩條漸進(jìn)線也往往沒(méi)有注意到.由此可見(jiàn)學(xué)生畫(huà)圖能力和分類討論能力還有待進(jìn)一步加強(qiáng).綜合上面的分析，這種圖象沒(méi)畫(huà)出來(lái)，說(shuō)明學(xué)生在高一學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)反比例函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合的性質(zhì)（先考慮定義域，再研究對(duì)稱性或單調(diào)性，這是研究函數(shù)圖象的固定“套路”）沒(méi)掌握，這對(duì)以后研究更復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)是有一定影響的.更深層次的原因是學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)不高所造成的.

上述方法都是通過(guò)轉(zhuǎn)化（主要想法就是參變分離或圖象的位置關(guān)系），將問(wèn)題變得易于解決，這是高一講基本初等函數(shù)時(shí)慣用的思想方法.難點(diǎn)就是怎樣通過(guò)分類討論和數(shù)形結(jié)合將問(wèn)題解決.筆者在閱卷時(shí)，還發(fā)現(xiàn)有學(xué)生（這樣做的同學(xué)很多，這也是學(xué)生樸素的想法：看到方程就想解出來(lái)）是通過(guò)直接解方程做的，盡管過(guò)程略顯繁瑣，但利用方程的思想解決問(wèn)題也不失為一種途徑.

（1）當(dāng)k＞0時(shí)，因所以方程①的解為只有一解；因所以方程②無(wú)解.故k＞0不符合題意.

（2）當(dāng)k＜0時(shí)，因所以方程①的解為兩解；因x＝所以方程②只有一解，故k＜0符合題意.

因此，綜上所述，k＜-4.

評(píng)注這種解法盡管學(xué)生很容易想到，或多或少都能寫一點(diǎn)，但真正能做出來(lái)的不多.主要原因還是要對(duì)有解的情況加以分類，通過(guò)k的范圍進(jìn)行分類，對(duì)解進(jìn)行篩選來(lái)確定個(gè)數(shù)，而不是簡(jiǎn)單地將之解出就完事，這對(duì)學(xué)生的思維有較高的要求.對(duì)這種問(wèn)題處理的思想方法，學(xué)生在高一都碰到過(guò)，關(guān)鍵還是沒(méi)有將之消化吸收.其實(shí)，如果再進(jìn)一步觀察方程①與方程②，我們發(fā)現(xiàn)方程①與②的兩根之和都為3，而方程②的根要滿足x＜1，故方程②至多一個(gè)解.而方程①與②的解總共要3個(gè)，這樣只能方程①有2個(gè)，方程②只有1個(gè).接下來(lái)的思考過(guò)程同下述函數(shù)觀點(diǎn)，此處從略.

如果我們觀點(diǎn)站得高一點(diǎn)，從函數(shù)思想的角度思考的話，解決起來(lái)可能要簡(jiǎn)潔得多.

因此，綜上所述，k＜-4.

評(píng)注利用函數(shù)思想解決方程問(wèn)題在高一肯定是重點(diǎn)講過(guò)的，學(xué)生只抽象理解函數(shù)，這樣就“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”.如果將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)直接構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)圖象，使得問(wèn)題的解決變得相對(duì)容易，產(chǎn)生一種居高臨下的感覺(jué).不在根的解法上糾纏，整體研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，使得根的分布變得清清楚楚.這樣才能真正體現(xiàn)出學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

3 反思

這道貌似高一學(xué)生做的練習(xí)題，為什么給高三學(xué)生當(dāng)作模擬題來(lái)考，最后考得卻不理想呢？筆者談?wù)勛约旱膸c(diǎn)想法：

（1）函數(shù)思想在高一（乃至整個(gè)高中）是非常重要的，學(xué)生沒(méi)有掌握函數(shù)思想將影響整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).教師在具體的教學(xué)實(shí)踐中，沒(méi)有將研究函數(shù)的“基本套路”講明白，就會(huì)導(dǎo)致昏昏的教師教不出昭昭的學(xué)生.這也是我們沒(méi)有將學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)沒(méi)有落實(shí)到位的原因.于是乎學(xué)生似懂非懂，沒(méi)有將之消化吸收，到高三復(fù)習(xí)時(shí)不見(jiàn)得就會(huì)有好轉(zhuǎn)，所以模擬考一考還是做不來(lái)，這也是情理之中的.

（2）方程思想同樣在高一（乃至整個(gè)高中）是非常重要的，學(xué)生對(duì)方程樸素的理解就是將之解出來(lái)，這樣做往往會(huì)比較復(fù)雜，其實(shí)高中階段的方程主要還是研究方程解的性質(zhì)或通過(guò)韋達(dá)定理利用設(shè)而不求、整體代換來(lái)解決，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有較高的要求.能很好地體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心思想.教師在具體的教學(xué)實(shí)踐中，碰到方程問(wèn)題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的觀點(diǎn)，將解的性質(zhì)放到圖象中研究，這樣可能會(huì)使抽象的方程問(wèn)題形象化，這也是數(shù)形結(jié)合思想的核心所在.事實(shí)上，學(xué)生會(huì)利用數(shù)形結(jié)合考慮方程問(wèn)題，但由于對(duì)解的個(gè)數(shù)情況往往要分類討論，所以最終又半途而廢.

（3）分類討論思想是學(xué)生在高一數(shù)學(xué)中非?！皯峙隆钡?，這也是學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)難學(xué)的一個(gè)重要原因，數(shù)學(xué)中許多有點(diǎn)難度的題目往往都要分類討論.可以說(shuō)，分類討論這種思想的掌握，不可能一蹴而就，往往需要我們?cè)诰唧w問(wèn)題的解決過(guò)程中慢慢滲透，所以在高一練好“童子功”就顯得很有必要.要練好“童子功”，分類討論沒(méi)有固定套路可走，這就需要學(xué)生具體問(wèn)題具體分析，其實(shí)有些“真功夫”就是這樣練出來(lái)的.正因?yàn)闆](méi)有固定套路，所以學(xué)生才認(rèn)為它難學(xué).難學(xué)不是借口，關(guān)鍵還是要掌握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，這樣才會(huì)不重不漏.這樣才能將邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心思想落到實(shí)處.

高三復(fù)習(xí)不是將高一階段（和高二）的基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法“炒一下冷飯”，但沒(méi)有高一階段（和高二）的基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法作為“飯”，想炒出一盤色香味俱全的“飯”也是非常困難的.所以，要使學(xué)生能在模擬考試中考出自己的水平，教師必須在高一階段（和高二）將基礎(chǔ)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思想方法滲透到教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生能在具體解題過(guò)程中靈活地加以運(yùn)用，師生兩方面著力，這樣復(fù)習(xí)階段的有效性才能凸顯出來(lái).“萬(wàn)丈高樓平地起”，只有將高一階段（和高二）的基礎(chǔ)夯實(shí)了，高三的復(fù)習(xí)與?？疾拍堋按綐蝾^自然直”.