周小平

(浙江省杭州市新登中學(xué) 311404)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)重要部分是例題教學(xué)，教師的教學(xué)應(yīng)圍繞核心素養(yǎng)這個(gè)主題，充分發(fā)揮習(xí)題、例題的潛能作用，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生研討一類習(xí)題及推廣、引伸，使其問題變寬、變深、變活，從而起到鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能、完善基本方法、總結(jié)基本經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到形成學(xué)生核心素養(yǎng)的目的，并從中選出好的題目，好的方法，達(dá)到最優(yōu)化的教學(xué).

1 一題多變，在問題的層層推進(jìn)中，滲透數(shù)學(xué)素養(yǎng)

設(shè)計(jì)問題鏈，在問題的層層推進(jìn)中，深化問題，把這個(gè)例題達(dá)到高考的要求，進(jìn)而使學(xué)生“有梯可上，有扶手可抓，步步登高”，形成學(xué)生解決這類問題的思維素養(yǎng)，并能使學(xué)生始終處于愉快的探索狀態(tài)，知識(shí)體系得以鞏固提升.為了達(dá)到高考對(duì)求函數(shù)零點(diǎn)的要求，設(shè)計(jì)了如下問題鏈.

變式1 若g(x)=log2x，判定函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)有____個(gè).

變式2 若g(x)=log2m，判定函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)有____個(gè).

變式3 若g(x)=log2x，判斷F(x)=f[g(x)]-1的零點(diǎn)有____個(gè).

(1)y=f[g(x)]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)方程ag2(x)+bg(x)+2=0有四個(gè)根時(shí)，實(shí)數(shù)a,b的關(guān)系是什么？

通過這幾個(gè)問題鏈， 把零點(diǎn)問題提高到了高考的高度，使學(xué)生在這一系列的問題中，思維層層推進(jìn)，把潛藏的思路、規(guī)律、本質(zhì)發(fā)掘出來，數(shù)學(xué)素養(yǎng)無形中得以形成.

2 一題多法，在問題的多種解答中，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

同一事物或現(xiàn)象，當(dāng)人們站在不同角度來觀看、審視時(shí)，就會(huì)看到不同景觀，正所謂“橫嶺側(cè)峰”.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一題目從不同角度快速聯(lián)想及思考問題，探求解答的不同方案，從而拓寬思路，培養(yǎng)思維的廣度、深度，進(jìn)而讓學(xué)生選擇適合自己的方法，達(dá)到方法最優(yōu)化.

圖1

圖2 圖3

圖4

3 一法多題，在多題的類同解法中，拓展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在高考數(shù)學(xué)試題中，運(yùn)用線性規(guī)劃思想，妙解函數(shù)、不等式、概率、數(shù)列、解析幾何等問題.一法通用，一法通關(guān)，從而達(dá)到熟一法、懂一類的效果，并通過這樣一種方法，尋找各個(gè)知識(shí)模塊之間的聯(lián)系，充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的特性.

例3(2015年浙江文科高考試題)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,(a,b∈R).已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

變式3 已知直線l:2tx+ty+1=0和點(diǎn)A(1,3)和B(5,4)，若直線l與線段AB有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍____.

4 引申變式，在問題的創(chuàng)新轉(zhuǎn)換中，推進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

研究高考問題和課本例題、習(xí)題之間的關(guān)聯(lián)， 通過引申變式，讓學(xué)生看到一題通過多次引伸后如何出現(xiàn)在高考試卷上，讓學(xué)生真正理解高考試題如何“源于課本，高于課本”.數(shù)學(xué)思想達(dá)到最優(yōu)的提升，推進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G，證明：△PQG是直角三角形.

方法小結(jié)第(1)問與課本的例題是一樣的，這體現(xiàn)了高考試題源于課本，第(2)問可以根據(jù)例題加以引申得出結(jié)論，達(dá)到高于課本，達(dá)到高考的要求.

變式2 (2012年湖北理高考)設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|(m>0，且m≠1).當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H.是否存在m， 使得對(duì)任意的k>0， 都有PQ⊥PH？ 若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能是雙基目標(biāo)，隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，在雙基的基礎(chǔ)上加上數(shù)學(xué)的思想方法和數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這就形成了四基.學(xué)生四基的構(gòu)建和形成，自然而然變成了學(xué)生的三維目標(biāo)，進(jìn)而形成學(xué)生的核心素養(yǎng).

總之，指點(diǎn)學(xué)生往哪里走，比教會(huì)學(xué)生怎樣走路更重要，因此知識(shí)引領(lǐng)、能力引領(lǐng)、思想引領(lǐng)、經(jīng)驗(yàn)引領(lǐng)也更加重要.高中數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育課程應(yīng)體現(xiàn)其基礎(chǔ)性、拓展性、發(fā)展性.從期望學(xué)生“學(xué)會(huì)什么”出發(fā)，逆向設(shè)計(jì)“學(xué)生何以學(xué)會(huì)”的過程，作為每一節(jié)課的初衷，設(shè)計(jì)上好每一節(jié)課，給每一位學(xué)生每一天一份適合的禮物，讓學(xué)生有所學(xué)、有所會(huì)、有所懂、有所用，為學(xué)科核心素養(yǎng)的落地指明清晰的路徑.