胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué) 730900)

極值點(diǎn)偏移問題，一般利用通過原函數(shù)的單調(diào)性，把與自變量有關(guān)的不等式問題轉(zhuǎn)化與原函數(shù)的函數(shù)值有關(guān)的不等式問題，也可以引入第三個(gè)變量，把不等式的問題轉(zhuǎn)化為與新引入變量有關(guān)的不等式問題.最常見的方法有對(duì)稱構(gòu)造法、比值換元法、對(duì)數(shù)不等式法以及放縮法，下面通過2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷的極值點(diǎn)偏移題，來看這四種方法的應(yīng)用.

題目(2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷(22)) 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

解析(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，又f′(x)=1-lnx-1=-lnx，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).

因?yàn)閤∈(0,1)時(shí)，f(x)=x(1-lnx)>0，x∈(e,+∞)時(shí)，f(x)=x(1-lnx)<0，所以1

故原不等式等價(jià)于2

方法1(對(duì)稱構(gòu)造法)

先證：x1+x2>2.

若x2≥2，x1+x2>2必成立.

若x2<2， 要證：x1+x2>2，即證x1>2-x2，

而0<2-x2<1，

故即證f(x1)>f(2-x2)，

即證：f(x2)>f(2-x2)，其中1

設(shè)g(x)=f(x)-f(2-x),1

則g′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)].

因?yàn)?

故-lnx(2-x)>0，所以g′(x)>0，

故g(x)在(1,2)為增函數(shù)，所以g(x)>g(1)=0，故f(x)>f(2-x).

即f(x2)>f(2-x2)成立，所以x1+x2>2成立.

綜上，x1+x2>2成立.

再證：x1+x2

又00，且f(e)=0，當(dāng)x→0，h(x)→0，且h(1)=f(1)-f(e-1)>0，所以h(x)>0，即f(x1)=f(x2)

評(píng)注對(duì)稱構(gòu)造法解決極值點(diǎn)偏移最為常見，一般步驟:(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性并求出f(x)的極值點(diǎn)x0，由f(x1)=f(x2)得出x1，x2的范圍；(2)構(gòu)造輔助g(x)=f(x0+x)-f(x0-x)(根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成g(x)=f(x)-f(2x0-x)的形式)；(3)通過求導(dǎo)g′(x)討論g(x)的單調(diào)性，判斷出g(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x0+x)與f(x0-x)的大小關(guān)系；(4)通過f(x)的單調(diào)性，f(x1)=f(x2)，f(x0+x)與f(x0-x)的大小關(guān)系得出結(jié)論.

方法2(比值換元法)

先證明一個(gè)不等式：ln(x+1)≤x.

所以(t-1)ln(1+t)+(t-1)-tlnt

所以(t-1)ln2<(t-1)ln(1+t)+(t-1)-tlnt.

評(píng)注比值換元法，將一個(gè)雙變量的比值形式用一個(gè)單變量來代替 ，用比值代換解極值點(diǎn)偏移問題方便、快捷.

方法3(對(duì)數(shù)不等式法)

評(píng)注用對(duì)數(shù)不等式法解決極值點(diǎn)偏移問題步驟：

(1)根據(jù)f(x1)=f(x2)建立等量關(guān)系；

(2)等量關(guān)系中如果含有參數(shù)，可考慮消參；如果含有指數(shù)式，可考慮兩邊取對(duì)數(shù)；

(3)通過恒等變形轉(zhuǎn)化出對(duì)數(shù)不等式，代入對(duì)數(shù)平均不等式求解．

方法4(放縮法)

先證：x1+x2>2.

=x2(1-lnx2)

即(x1-x2)[2-(x1+x2)]>0.

所以x1+x2>2.

再證：x1+x2

因?yàn)閤1

所以x1

極值點(diǎn)偏移問題是導(dǎo)數(shù)中常見的題型，處理極值點(diǎn)偏移問題時(shí)，不僅要會(huì)常見的解決方法，更要通過這些方法體會(huì)數(shù)學(xué)思想，如對(duì)稱構(gòu)造法強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想、比值換元強(qiáng)調(diào)消元思想及消元后函數(shù)思想，對(duì)數(shù)不等式法強(qiáng)調(diào)形式的配湊，放縮法強(qiáng)調(diào)一些常見的不等式的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)過程中掌握基本方法，注重通解通法.