(上海飛機制造有限公司，上海 201324)

隨著我國飛機裝配技術的持續(xù)發(fā)展,飛機裝配技術已經從傳統(tǒng)的人工裝配，渡過半自動化裝配，進入了數字化裝配進程，并在持續(xù)應用過程中形成了一套完整的數字化裝配技術體系[1]。飛機裝配是一項涉及多學科、多領域的集成性技術，它具有技術難度大、復雜程度高的特點，而且也對飛機產品的制造成本、生產周期和裝配質量有著重要的影響[2]。飛機裝配的工作量較其他產品不同，占比高達飛機制造總工作量的50%～60%左右，而一般的機械制造中裝配的工作量只占到總工作量的20%左右[3]。

為研究飛機部段調姿與對接過程，搭建調姿對接實驗平臺,面向對接試驗平臺開展了相關調姿算法、運動等方面的研究[4]。相關研究基于現有成熟軟件與數控系統(tǒng)，完成算法優(yōu)化，模擬調姿。

民用飛機部段的調姿與對接采用柱式或塔式數控定位器，每臺定位器與機體部件單獨相連，由伺服電機驅動在3個方向上移動，用于支撐、調姿、對接飛機大部段[5]。飛機自動對接系統(tǒng)架構如圖1所示，通過激光跟蹤儀進行建站，將局部坐標系與全局對應。對比測量點與數模理論位置，通過測量與姿態(tài)解算軟件解算姿態(tài)并反饋對應旋轉矩陣。按照工程與工藝要求，不同測量點位置需滿足不同精度要求，需要加入權重。通過權重的調整與優(yōu)化，實現不同精度工藝要求的最優(yōu)實現。通過解算進行路徑規(guī)劃與運動控制系統(tǒng)交互，進行柔性自動化對接控制，實現低應力柔性飛機裝配。

圖1 飛機部段自動對接系統(tǒng)架構

SA(Spatial Analyzer)是民機裝配中常用的解算工具軟件，但作為封裝完整的成熟軟件，面對的用戶是黑箱狀態(tài)。當根據現場工藝需求修改、微調算法時，無法通過修改軟件算法以達到需求。在現場只能根據經驗微調各個軸以達到工藝要求，不僅浪費時間成本還需有經驗的技術人員在場指導，浪費人力成本。因此，本文基于姿態(tài)解算數學理論，完成Python環(huán)境下的姿態(tài)解算驗證，并基于目標函數實現帶權重姿態(tài)解算、帶工程約束或優(yōu)化的姿態(tài)解算。

1 帶權重與約束的姿態(tài)解算

如圖2所示，飛機部段上的測量點提供飛機的當前姿態(tài)，通過定位器的三坐標運動控制飛機部段的姿態(tài)。部段在調姿裝配過程中簡化為剛體，理想的剛體運動保證飛機部段運動過程柔順。因此剛體運動的姿態(tài)解算結果為運動參數設置提供了柔性解，從而降低調姿對接過程中應力大小與應力變化速度。

圖2 機翼對接示意圖

剛性部件上不在同一條直線的3個點可以確定平面與姿態(tài)，剛體姿態(tài)解算基礎為3點定位法：測量剛體上不同線的3個點，并建立一個局部坐標系。這個部件坐標系就可以表達剛體的姿態(tài)。當使用這種方法計算姿態(tài)時，其誤差與坐標系的建立方法相關。當測量點超過3個點時，所有測量點不能同時參與計算。所以，當測量點多于3個點時，需要構建最小二乘目標函數，并對其進行優(yōu)化與解算。四組元法、奇異值分解法、正交矩陣法、雙四組元法、線性子空間法等都是求解點匹配問題的常用算法。Eggert等[6]對前4種算法的精度與穩(wěn)定性做了比較，表明以上算法都是非迭代的，而且不需要提供附加的初始值。

1.1 SVD分解姿態(tài)解算

SVD(Singular Value Decomposition)分解[7-8]，即奇異值分解法，是姿態(tài)解算的常用方法。在本文的代碼實現中運用SVD通過點匹配解算姿態(tài)，其解算出的結果為旋轉矩陣。該算法的輸入是一組飛機部件上確定位置測量點的理論位置Ptheory，即n×3的矩陣，分別對應的是n個測量點的X,Y,Z的全局坐標理論位置。與之對應的，另一組通過測量飛機部件上對應實際的測量點的位置矩陣Pshice。其解算結果為旋轉矩陣RSVD和平移向量TSVD。

在獲得兩組點陣后，根據這組點陣分別求解其位置中心建立局部坐標系。通過計算Ptheory和Pshice給出的坐標系的平均值計算重心μtheory,μshice，從而可以計算出局部坐標系下測量點位置的Qtheory和Qshice。其公式為

Qtheory=Ptheory-μtheory

(1)

Qshice=Pshice-μshice

(2)

Umeyama[8]提出最小二乘法問題通過奇異值分解求解旋轉矩陣的問題。其表達式為

[U,S,VT]=SVD(QtheoryQshiceT)

(3)

式中：U與VT分別為行與列的分解矩陣，S為奇異值，并獲得旋轉矩陣R=UVT。

解算結果中旋轉矩陣R的行列式為-1時，會出現結果經過180°的翻轉。因此本文的SS判據為

(4)

當旋轉矩陣R為非半正定矩陣時，需要對旋轉矩陣進行翻轉，將其翻轉后參與運算(其中diag()為對角矩陣)。

綜上，SVD奇異值分解通過飛機測量點實測與理論位置，解算繞局部坐標系的旋轉矩陣與平移向量，獲取一般點匹配問題算法結果。

1.2 權重的姿態(tài)解算

傳統(tǒng)的帶權重的SVD算法可以將重心位置增設權重與約束[9]等。此類算法附加性好、計算量小，例如將重心位置加上重心權重向量wi：

(5)

本文算法將帶權重的最小二乘問題加入SVD中直接進行計算。由于規(guī)劃問題對初值的敏感度較高，本文將SVD的解算值作為初值，并采用設定目標函數非線性優(yōu)化的方法考慮權重問題與工程約束。此類算法不僅可以通過將權重加入優(yōu)化函數考慮各個點不同的權重，還能通過在優(yōu)化函數中設置約束條件或直接設置邊界約束，以達成算法效果。

帶權重wi,j的目標函數為

(6)

若將每一點的權重類比成彈簧剛度，目標函數可以被類比成理論剛體位置與經旋轉平移后的實際剛體之間的能量。

Kraft[10]提出的序列最小二乘算法(Sequential Least Squares Programming，SLSQP)，計算機中提供線性優(yōu)化的求解算法。通過Python調用該方法可將上述目標函數進行帶權重的優(yōu)化，以計算出目標函數的最優(yōu)解。該SLSQP梯度方法在近年使用于多領域中，例如飛機機翼設計優(yōu)化[11]、機器學習預測模型[12]、渦輪機熱力學問題[13]中，得到了廣泛穩(wěn)定的應用，具有較高的穩(wěn)定性與收斂性。

1.3 權重與約束的姿態(tài)解算

由于不同的工藝規(guī)范、現場經驗等在不同的工位和工況下會有不同的約束要求，例如對稱性要求、偏差量約束等，SA無法提供對應接口，而本文算法使用非線性優(yōu)化有兩種解決方案：

① 將約束G(x)作為非線性優(yōu)化的目標函數的一部分，并自定義設置權重值Wconstrain，其表達式為

(7)

②將約束G(x)作為非線性優(yōu)化的約束項，其公式為

(8)

式中，bi用于設置所需的約束量值。

這兩種方案各有特點，第①種將約束項加入目標函數，人為設定乘子，可以自由調節(jié)權重來達成不同的定位效果，但不能完全達到強制約束的效果；而第②種方案以犧牲其他優(yōu)化項以達成強約束效果。

2 算法實現

2.1 權重算法結果與對比

由于SA在現場已成熟應用，其結果具有較高可比性。因此，將本文提出的算法與其進行對比分析，比對輸入兩種算法(無權重與帶權重)的解算結果。

飛機部段水平測量參考點的實測位置、理論位置和權重矩陣需要作為算法輸入。將對接過程中一組數據作為輸入，對算法進行測試與比對，如表1所示。

通過對比誤差矩陣中均方根與每點的直接距離，驗證算法的可靠性。結果如表2所示。

表1 輸入數據表

表2 誤差結果比對

表2給出無權重與帶權重算法誤差矩陣的結果，誤差矩陣代表實測姿態(tài)經過算法解算后與理論位置的差值，其單位為mm。通過對比兩種算法的三坐標方向的誤差離散程度與每個測量點誤差的直線距離，可直觀分析兩種算法近似度。

對比本文解算結果與SA算法結果，誤差絕對值小于0.01 mm，且誤差百分比約在2%以內，誤差的量綱遠低于公差。

2.2 約束算法實現

針對不同工位不同產品對象，制定基于工程約束、工藝要求和質量要求的姿態(tài)評價邊界，諸如對稱性要求等。位置精度與公差約束隨著不同工位要求不同，姿態(tài)評價的邊界也不同，因此裝配現場對不同的約束有定制化需求。

對于此類約束，本文在1.3節(jié)提出兩種算法方案。以假設某型飛機機翼的3、4號測量點在X方向的對稱性需不超過0.1 mm為例，對算法進行測試比對，設置約束函數G(x)為誤差矩陣中X3點與X4點的差值。

表3中陰影部分為約束對象。對比無約束情況下的解算結果，優(yōu)化算法與約束條件算法都對約束結果產生影響。

圖3為不同約束算法的結果。第1種優(yōu)化算法中約束權重較小時，優(yōu)化效果較弱，但整體誤差改變較??；權重增大優(yōu)化效果增強，但測量點其他方向的位置誤差增大。第2種約束邊界算法，約束項小于設定值(0.5 mm)，而對比表3，其他測量點的位置誤差大幅增大，此方法在約束邊界過高或矛盾時將出現其他點的誤差過大或丟失物理意義等情況。

表3 約束算法比較 單位：mm

圖3 目標約束項比對

3 結束語

民機部段的調姿對接過程中，姿態(tài)的控制影響飛機的裝配質量。數控定位器的運動控制需要通過姿態(tài)解算獲取，本文提出新的姿態(tài)解算方法為飛機姿態(tài)控制提供算法支持。通過SVD計算無權重姿態(tài)解算的初值，并通過權重與約束加入優(yōu)化算法，實現基于工程約束與權重優(yōu)化的民機部段柔性調姿算法。并通過對比分析算法實現結果，驗證算法的可靠性。

權重的使用已逐漸擴展到飛機裝配過程中，而現階段自動對接系統(tǒng)雖已廣泛應用于民機部段的裝配過程中，但對于不同軟件與系統(tǒng)之間的交互接口仍需進行二次開發(fā)。調姿對接算法軟件通過提供控制系統(tǒng)歐拉角的解算結果，即X、Y、Z、A、B、C三坐標平移旋轉量，通過外部數據處理將電機運動量輸入執(zhí)行系統(tǒng)。在本文中可直接進行數據處理，設置對應接口，為上位系統(tǒng)提供便捷調用功能?？赏ㄟ^算法中使用的過程數據完成路徑規(guī)劃，建立與底層運動控制器的交互，實現柔性自動化對接裝配。