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        源于教材 高于教材
        ——例談ex≥x+1在高考導(dǎo)數(shù)題中的應(yīng)用

        2022-02-24 13:38:34符強(qiáng)如
        數(shù)理化解題研究 2022年1期
        關(guān)鍵詞:題意圖象單調(diào)

        符強(qiáng)如

        (新疆烏魯木齊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 830026)

        1 源于教材的不等式

        人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修2-1)》第32頁習(xí)題1.3B組第1題第(3)題:利用函數(shù)單調(diào)性,證明不等式ex>x+1,x≠0,并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證.

        這個(gè)不等式的證明比較簡單,只需構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x-1(x≠0),則f′(x)=ex-1.

        當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,則

        f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,

        當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0,則

        f(x)在x∈(-∞,0)上單調(diào)遞減.

        故x≠0時(shí),f(x)>f(0)=0.

        不等式ex>x+1,x≠0得證.

        函數(shù)圖象如圖1.

        圖1 圖2 圖3

        這個(gè)不等式亦可以這樣表述:當(dāng)x∈R時(shí),ex≥x+1(當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立).其可稱為“指數(shù)基本不等式”,其活躍在近幾年高考真題、各地模擬考試題和競賽題中.它可演繹出很多經(jīng)典不等式,為解決函數(shù)大小問題、導(dǎo)數(shù)含參問題等提供一種簡潔高效的解題視野.

        2 級(jí)數(shù)背景

        3 不等式演繹

        對(duì)于ex≥x+1,兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)可得x≥ln(x+1)(x>-1),易得x-1≥lnx(x>0),當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).圖2為其圖象視野,即函數(shù)y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=x-1.

        4 應(yīng)用舉例

        例1(2020年全國卷)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1,求a的取值范圍.

        解法1 由ex≥x+1,易得x-1≥lnx.

        由ex≥x+1可得aex-1=elna+x-1≥lna+x-1+1.

        由x-1≥lnx可得-lnx≥1-x.

        故f(x)≥lna+x-1+1+1-x+lna≥2lna+1.(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))

        由題知f(x)≥1,所以2lna+1≥1,解得a≥1.

        解法2改頭換面進(jìn)行合情合理放縮.故此題也可以從這個(gè)角度去解決,

        由ex≥x+1可得aex-1≥ax.

        由x-1≥lnx可得-lnx≥1-x.

        因?yàn)閒(x)=aex-1-lnx+lna≥1,

        所以ax-x+1+lna≥1.

        所以(a-1)x≥-lna恒成立.

        當(dāng)a≥1時(shí),(a-1)x≥-lna恒成立,

        當(dāng)a<1時(shí),(a-1)x<-lna,與題意不符.

        綜上a≥1.

        例2(2017年全國卷)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

        (1)若f(x)≥0,求a的值.

        解析(1)定義域?yàn)閤∈(0,+∞).

        由題知f(x)≥0,即x-1≥alnx.

        易知函數(shù)y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=x-1,如圖2.

        對(duì)于x-1≥alnx左右兩邊函數(shù)都過定點(diǎn)(1,0),

        當(dāng)a=1,x-1≥lnx(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))恒成立.

        當(dāng)a<1時(shí),在[1,+∞)必存在一根x0使x0-1=alnx0,

        所以x∈(1,x0),x-1

        同理,當(dāng)a<1,x∈(0,1),x-1

        綜上可得,a=1.

        當(dāng)n≥3時(shí),

        故所求m的最小值為3.

        評(píng)注根據(jù)不等式特征,利用指數(shù)基本不等式ex≥x+1進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)來解決問題.其實(shí)本題是有一個(gè)遞進(jìn)關(guān)系的導(dǎo)函數(shù)問題,通過導(dǎo)數(shù)解決問題(1)中的不等式的恒成立,利用不等式x-1≥lnx(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),再利用對(duì)數(shù)性質(zhì),對(duì)不等式進(jìn)行變形放縮處理即可,具體解法如下:

        x∈(1,+∞)時(shí),lnx

        故m的最小值為3.

        證明要證f(x)≥0,即證aex-lnx-1≥0.

        只需證ex-1-lnx-1≥0.只需證ex-1-1≥lnx.

        易知ex≥x+1.故ex-1-1≥x-1+1-1.

        即ex-1-1≥x-1.知x-1≥lnx.

        故ex-1-1≥lnx(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))恒成立,

        評(píng)注對(duì)于例3的解法諸多,有的是通過設(shè)而不求的方法,判函數(shù)y=f(x)的最小非負(fù);有的是根據(jù)f(x)≥0通過分參或分類的方法求出a的范圍從而證得f(x)≥0;還有的是通過構(gòu)造函數(shù)或者放縮證明,但對(duì)運(yùn)算能力和思維能力有一定要求.其實(shí)本題的命題者是站在函數(shù)y=ex在x=0處的泰勒展開式的背景下進(jìn)行命題的,站在高處來俯視高中數(shù)學(xué)問題,若教師與學(xué)生能夠領(lǐng)會(huì)命題者的意圖,就能快速準(zhǔn)確地找到解決問題的方向與方法.

        評(píng)注根據(jù)前面的解題,此題的解法思路清晰,放縮也有章可循,操作性強(qiáng),可一步到位.

        導(dǎo)函數(shù)證明不等式方向有很多,一般通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,遇到不可求的極值點(diǎn)時(shí),可選擇代換,再由單調(diào)性證明不等式.有時(shí)遇到指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)不等式證明時(shí),指數(shù)基本不等式是一種可以快速解決的方法.

        5 不等式鏈的拓展

        通過ex≥x+1可以延拓得到另外的一些相關(guān)不等式鏈.(可以用求導(dǎo)來證明,過程略)

        ln(x+1)

        通過上面一系列的例題,我們可以很清楚看到它們有相同的源頭,即源于教材的不等式ex≥x+1,其演繹變形出豐富有用的不等式鏈,是解決高考某些導(dǎo)函數(shù)不等式問題的有力工具,其不同于教材,不拘于教材,又高于教材.這啟示高三復(fù)習(xí)回歸教材是正道,回歸教材不是簡單閱讀教材、不是簡單羅列知識(shí)、不是簡單梳理方法、不是對(duì)教學(xué)過程的簡單重現(xiàn),而是對(duì)學(xué)科知識(shí)脈絡(luò)的建構(gòu)、對(duì)教材編者意圖的領(lǐng)悟、對(duì)教材隱性知識(shí)的挖掘、對(duì)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)的把握.不能僅局限于教材正文部分,還應(yīng)拓展教材習(xí)題部分和閱讀材料.對(duì)教材中間接隱含的一些結(jié)論需要開發(fā),這些結(jié)論往往會(huì)成為高考命題的重要素材,是解答高考試題的重要工具,對(duì)平時(shí)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生要尋“根”究“本”有重要啟示作用,唯有如此復(fù)習(xí)便高質(zhì)有效.

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