朱國(guó)成 ,徐健 ,趙瑞華

(1.廣東創(chuàng)新科技職業(yè)學(xué)院 科學(xué)技術(shù)協(xié)會(huì)，廣東東莞 523960；2.云安中學(xué)生物組，廣東云浮 527500)

0 引言

相較于猶豫模糊集(Hesitant Fuzzy Sets，HFS)，概率猶豫模糊集(Probabilistic Hesitant Fuzzy Sets，PHFS)由于考慮了決策專(zhuān)家對(duì)于隸屬度的整體認(rèn)可趨勢(shì)，所以能夠更加全面表達(dá)決策信息，概率猶豫模糊集自文獻(xiàn)[1]定義以來(lái)，在理論與應(yīng)用研究方面都獲得了極大豐富與拓展.在理論研究方面，文獻(xiàn)[2]不僅梳理了PHFS 的相關(guān)概念與性質(zhì)，還定義了概率猶豫模糊偏好關(guān)系并初步研究了其一致性；為了減弱概率信息需要滿足的條件，文獻(xiàn)[3]借助證據(jù)推理的思想改進(jìn)了PHFS 的定義；文獻(xiàn)[4]在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了概率猶豫模糊偏好關(guān)系.PHFS 的應(yīng)用方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要從解決決策問(wèn)題的角度出發(fā)進(jìn)行研究，例如，文獻(xiàn)[5]利用概率猶豫模糊數(shù)(Probabilistic Hesitant Fuzzy Num?bers，PHFN)與理想值之間的關(guān)系提出了3 種決策算法，為研究智能系統(tǒng)與專(zhuān)家系統(tǒng)提供了不同的決策視角；文獻(xiàn)[6]將改進(jìn)的雷達(dá)圖與信息數(shù)據(jù)的相似度理論進(jìn)行結(jié)合，建立了一套概率猶豫模糊集多屬性群決策(Probabilistic Hesitant Fuzzy Sets Multi-attribute Group Decision Making，PHFSMAGDM)算法，并成功解決了決策專(zhuān)家針對(duì)屬性的偏好問(wèn)題；文獻(xiàn)[7]利用概率猶豫模糊加權(quán)Maclaurin 幾何對(duì)稱(chēng)平均算子來(lái)解決PHFSMAGDM問(wèn)題中的屬性信息聚合問(wèn)題，基于此建立的算法具有計(jì)算簡(jiǎn)單、靈活可靠且穩(wěn)定性好等特點(diǎn).目前在眾多研究PHFS 理論與應(yīng)用的文獻(xiàn)中，鮮有學(xué)者考慮在PHFS 中隸屬度對(duì)應(yīng)的概率所關(guān)聯(lián)的決策專(zhuān)家權(quán)重問(wèn)題.事實(shí)上，PHFS 中隸屬度發(fā)生的概率反映了決策群體的整體決策意向，與HFS 相比能夠保留更多決策信息數(shù)據(jù)，所以在群決策問(wèn)題中具有更多優(yōu)勢(shì).但一個(gè)不容忽視的問(wèn)題是，決策過(guò)程中對(duì)于決策專(zhuān)家的偏好時(shí)有發(fā)生，此時(shí)PHFS的定義中卻沒(méi)有包含該因素，故反應(yīng)隸屬度的重要性也就無(wú)從談起.針對(duì)該問(wèn)題，本文在PHFS 的基礎(chǔ)上，重新定義了考慮決策專(zhuān)家權(quán)重的PHFS，同時(shí)，PHFN 中的隸屬度值用區(qū)間數(shù)(Interval Num?ber，IN)刻畫(huà)，此時(shí)新定義的PHFS 為考慮決策專(zhuān)家權(quán)重的概率區(qū)間值猶豫模糊集(PIV(W)HFS).在多屬性群決策(MAGDM)問(wèn)題中對(duì)本文定義的PIV(W)HFS 理論進(jìn)行了驗(yàn)證分析，以此來(lái)說(shuō)明在PIVHFS中考慮決策專(zhuān)家權(quán)重的必要性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[7]記非空集合X，二元組H=｛〈x，hx（px）〉｜x∈X｝稱(chēng)為集合X上的PHFS，其中將

稱(chēng)為PHFE，PHFE中的γl表示元素x屬于集合H的隸屬度，pl為隸屬度γl發(fā)生的概率，|h(p)| 表示PHFEh(p)中元素個(gè)數(shù).

定義2記非空集合X，二元組H=｛〈x，hx（px）〉｜x∈X｝稱(chēng)為集合X上的PIVHFS，其中將

稱(chēng)a為區(qū)間數(shù).若0 ≤a-≤a+，則a被稱(chēng)為正區(qū)間數(shù)；若a-=a+，則a退化為實(shí)數(shù).

定義5[9]設(shè)a=[a-,a+],b=[b-,b+]為2 個(gè)正區(qū)間數(shù)，則有如下運(yùn)算：

定義7[12]設(shè)2 個(gè)區(qū)間數(shù)a=[a-,a+],b=[b-,b+]，a,b的相離度用D(a,b)表示為

D(a,b) 越大，a，b相離的程度越大；特別地，當(dāng)D(a,b)=0時(shí)，有a=b，即區(qū)間數(shù)a，b相等.

定義8令ai(i=1,2,…,n)為一組非負(fù)實(shí)數(shù)，且有r=1,2,…,n.若

則稱(chēng)（1）式為Maclaurin 對(duì)稱(chēng)平均算子，這里i1,i2,…,ir為遍歷組合1,2,…,n中的一切r元組為二項(xiàng)式系數(shù).容易驗(yàn)證Maclaurin 對(duì)稱(chēng)平均算子具有下列性質(zhì)：

定義9在MAGDM 問(wèn)題中，決策專(zhuān)家集Z={z1,z2,…,zl,…,zH}，其權(quán)重用ωzl(l∈{1,2,…,H}) 表示，且方案集A={a1,a2,…,ai,…,aM}(i∈{1,2,…,M})和G={g1,g2,…,gj,…,gN}(j∈{1,2,…,N})為屬性集，屬性權(quán)重用符號(hào)表示且未知，第l個(gè)決策專(zhuān)家給予第i個(gè)方案的第j個(gè)屬性的評(píng)價(jià)信息用IN 信息數(shù)據(jù)表示，具體表示形式為本文研究的屬性類(lèi)型皆為效益型.根據(jù)定義9有如下定義：

定義10將由PIVHFS 構(gòu)成的決策信息數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為PIV(W)HFS，其中

plij的計(jì)算方法采取文獻(xiàn)[1]中的方法；

定義11根據(jù)定義10，PIVHFS 中的元素PIVHFE 及PIV(W)HFS 中的元素PIV(W)HFE 分別定義如下：

（3）式中的符號(hào)“?”類(lèi)似與集合關(guān)系中所使用的包含符號(hào)“?”，因?yàn)榈冉詾镮N，故不能直接用符號(hào)“?”描述IN之間的包含關(guān)系.

2 屬性權(quán)重計(jì)算方法

根據(jù)屬性之間信息數(shù)據(jù)差異程度來(lái)確定屬性權(quán)重的方法——熵值法，該法為計(jì)算屬性權(quán)重的主流方法之一.其算法具體步驟如下:

步驟1 由定義9 至定義11，將決策信息評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為PIV(W)HFS決策矩陣；

步驟2 根據(jù)定義12，計(jì)算各方案的屬性綜合值，即PIV(W)HFE()的綜合值為

3 決策算法

由定義5可知，各方案ai的綜合值|ai|仍為IN；

步驟5 利用定義6 對(duì)各方案ai的綜合值|ai|進(jìn)行兩兩測(cè)度，建立積型模糊互補(bǔ)判斷矩陣

4 數(shù)值算例

教師教學(xué)水平的評(píng)價(jià)問(wèn)題其實(shí)是一個(gè)MAGDM 問(wèn)題，為了突出教師教學(xué)水平評(píng)價(jià)的公平性與專(zhuān)業(yè)性，針對(duì)某學(xué)科對(duì)教授該學(xué)科的所有老師進(jìn)行評(píng)價(jià).現(xiàn)有4 位教師(決策方案)需要被評(píng)教，用符號(hào)ai(i=1，2，3，4)表示，分別從教學(xué)態(tài)度(g1)、教學(xué)內(nèi)容(g2)、教學(xué)方法(g3)和教學(xué)效果(g4)等4個(gè)因素(屬性)進(jìn)行評(píng)價(jià)，權(quán)重分別用(j=1,2,···,N)表示.評(píng)價(jià)主體由學(xué)生(z1)、教學(xué)督導(dǎo)(z2)、同事(z3)和學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)(z4)組成(決策專(zhuān)家組)，其權(quán)重分別為=0.5、=0.25、=0.15=0.1，教學(xué)評(píng)價(jià)主體針對(duì)4 位教師教學(xué)水平的評(píng)分值經(jīng)過(guò)技術(shù)處理以區(qū)間數(shù)表示（詳見(jiàn)表1），并利用本文知識(shí)對(duì)4位教師教學(xué)水平進(jìn)行排序.

表1 教師教學(xué)評(píng)價(jià)評(píng)分表

4.1 計(jì)算屬性權(quán)重

步驟1 根據(jù)定義11，將表1轉(zhuǎn)換為PIV(W)HFS決策矩陣

步驟2 根據(jù)定義12 計(jì)算各方案的屬性綜合值分別為

步驟5 計(jì)算在屬性gj上的熵值Sj與(j=1,2,3,4)分別為

4.2 算法步驟

由計(jì)算屬性權(quán)重可知，步驟1、步驟2 已經(jīng)完成，現(xiàn)直接進(jìn)入步驟3.

在積型模糊互補(bǔ)判斷矩陣[πii′]4×4中，πii′×πi′i≈1是在計(jì)算時(shí)四舍五入造成的；

步驟6 采用式（1）對(duì)πii′進(jìn)行集結(jié)以獲取各方案ai的比較結(jié)果||，分別為

4.3 算法比較

不考慮隸屬度對(duì)應(yīng)的概率所關(guān)聯(lián)的決策專(zhuān)家權(quán)重,在PIVHFS 理論基礎(chǔ)上設(shè)置一種MAGDM 算法，并將算法結(jié)果與考慮隸屬度對(duì)應(yīng)的概率所關(guān)聯(lián)的決策專(zhuān)家權(quán)重算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.按照文獻(xiàn)[1]中的方法，將表1 轉(zhuǎn)換為由PHFS 構(gòu)成的決策矩陣，如上文矩陣[Hij]4×4所示.

在定義9、定義10、定義11 與本文案例的基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)置算法.同時(shí)為了能夠與4.2 節(jié)中的決策算法結(jié)果更好比較，屬性權(quán)重計(jì)算方法參考第2節(jié)內(nèi)容，決策步驟參考第3 節(jié)內(nèi)容，同時(shí)為了提高文章可讀性，這里相關(guān)符號(hào)皆沒(méi)有替換.

4.3.1 計(jì)算屬性權(quán)重ωgj(j=1,2,3,4)

第1步：計(jì)算PIVHFE(hij)的綜合值為

第2步：確定屬性的理想屬性值為

第3步：利用定義7，將PIVHFE(hij)的綜合值與屬性的理想屬性值進(jìn)行測(cè)度，建立相離度矩陣[dij]4×4，并采用文獻(xiàn)[13]中的方法將相離度矩陣[dij]4×4規(guī)范化，得規(guī)范化矩陣[uij]4×4；

第4步：計(jì)算在屬性gj上的熵值sj為

這里規(guī)定若uij=0，則uijlnuij=0；

第5步：求解屬性gj的權(quán)重ωgj為

按照以上5步，可得各屬性權(quán)重分別為

4.3.2 決策算法

第1步：根據(jù)定義9、定義10、定義11 及文獻(xiàn)[1]，將決策信息表轉(zhuǎn)換為由PIVHFE (hij)構(gòu)成的決策矩陣[Hij]4×4；

第2步：由矩陣[Hij]4×4及屬性權(quán)重計(jì)算方法確定屬性權(quán)重ωgj（j∈{1,2,3,4}）；

步驟4：獲取各方案ai的綜合值|ai|為

由定義5可知,各方案ai的綜合值|ai|仍為IN；

步驟5：利用定義6對(duì)各方案ai的綜合值|ai|進(jìn)行兩兩測(cè)度，建立積型模糊互補(bǔ)判斷矩陣

步驟6：采用式（1）對(duì)πii′進(jìn)行集結(jié)以獲取各方案ai的比較結(jié)果||，并根據(jù)||大小對(duì)各方案進(jìn)行排序，這里||大者其對(duì)應(yīng)的方案ai為優(yōu).

根據(jù)以上算法步驟，無(wú)論r取何值(r=1，2，3，4)，皆可得各方案排序?yàn)閍1?a2?a3?a4.

5 結(jié)語(yǔ)

本文從PIVHFS 的定義出發(fā)，考慮了隸屬度對(duì)應(yīng)概率所關(guān)聯(lián)的決策專(zhuān)家權(quán)重計(jì)算問(wèn)題，并在此基礎(chǔ)上建立了一套MAGDM 算法.數(shù)值算例結(jié)果表明，該算法操作簡(jiǎn)單，穩(wěn)定性強(qiáng)，能夠根據(jù)方案的信息數(shù)據(jù)快速取得排序結(jié)果.同時(shí)，在PIVHFS 中考慮決策專(zhuān)家權(quán)重前后所取得的決策結(jié)果差別較大.事實(shí)上，PIVHFS 中概率反應(yīng)的是隸屬度發(fā)生的整體發(fā)生可能性，兼顧到?jīng)Q策專(zhuān)家權(quán)重以后還體現(xiàn)了該隸屬度發(fā)生的重要性，在決策案例中所能包含的信息更加全面，故排序結(jié)果說(shuō)服力更強(qiáng).在PIVHFSMAGDM 問(wèn)題中，隨著PIVHFE 中元素PIVHFN 的隸屬度數(shù)量的增加，其概率信息在集結(jié)時(shí)快速衰減，怎樣解決此類(lèi)問(wèn)題，今后需要進(jìn)行深入研究.