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        關(guān)于復(fù)分裂四元數(shù)的復(fù)矩陣表示及其求逆方法

        2022-03-13 22:33:07鄧勇
        喀什大學(xué)學(xué)報 2022年6期
        關(guān)鍵詞:定義

        鄧勇

        (喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,新疆喀什 844000)

        0 引言

        Hamilton 對數(shù)學(xué)科學(xué)最杰出的貢獻之一就是在1843 發(fā)現(xiàn)了實四元數(shù).正是因為有了實四元數(shù),所以才找到了一種將復(fù)數(shù)推廣到更高維空間的方法.實四元數(shù)集可表示為

        其中,i2=j2=k2=-1,且ijk=-1.實四元數(shù)集是一個4 維Clifford 非交換可除代數(shù)[1,2].在實四元數(shù)誕生不久,James Cockle 于1846 年又引入了實分裂四元數(shù)集

        其中,i2=-1,j2=k2=1,且ijk=1.實分裂四元數(shù)集也是一個4 維Clifford 非交換代數(shù).但與實四元數(shù)代數(shù)不同的是,實分裂四元數(shù)集包含零因子、冪零元和非平凡的冪等元[3].此外,任何一個實分裂四元數(shù)均可由2×2 復(fù)矩陣表示[4].由于實四元數(shù)乘法的非交換性,所以實四元數(shù)矩陣?yán)碚撘殉蔀檠芯糠墙粨Q代數(shù)的熱點之一.文獻[5]對實四元數(shù)及其矩陣作了簡要討論;文獻[6,7]分別研究了實四元數(shù)矩陣的相似性、標(biāo)準(zhǔn)形和特征值;文獻[8]給出了實四元數(shù)矩陣在復(fù)數(shù)域上依然成立的一些定理.

        實分裂四元數(shù)及其矩陣?yán)碚撌墙鼛啄瓴帕餍衅饋淼难芯績?nèi)容,它為解決量子力學(xué)、量子場論、空間幾何學(xué)、深度學(xué)習(xí)、物理學(xué)、編碼理論、信號處理等領(lǐng)域的數(shù)值計算、空間旋轉(zhuǎn)等問題提供了有力工具[9,10].文獻[11,12]分別研究了實分裂四元數(shù)的矩陣方程.

        本文研究復(fù)分裂四元數(shù),并用i表示復(fù)數(shù)單位,i,j,k表示四元數(shù)單位.

        1 復(fù)分裂四元數(shù)

        定義1.1以復(fù)數(shù)為系數(shù)的分裂四元數(shù)q=q0+q1i+q2j+q3k(q0,q1,q2,q3∈C)稱為復(fù)分裂四元數(shù),其中復(fù)數(shù)單位和四元數(shù)單位的乘法規(guī)則如下:

        表示所有復(fù)分裂四元數(shù)組成的集合.

        定義1.2設(shè)q=q0+q1i+q2j+q3k∈,稱Sq=q0和Vq=q1i+q2j+q3k分別為q的標(biāo)量部分和向量部分.若Sq=0,則稱q為純復(fù)分裂四元數(shù);若Vq=0,則q成為一個復(fù)數(shù).

        對?q=q0+q1i+q2j+q3k∈,其中ql=al+ibl(al,bl∈R,l=0,1,2,3).q還有另外兩種表示形式:

        由于復(fù)分裂四元數(shù)q的復(fù)形式可借助實分裂四元數(shù)的特性,所以在各種問題的討論中復(fù)形式的運用更為常見.

        定義1.3設(shè)p=p0+p1i+p2j+p3k,q=q0+q1i+q2j+q3k∈HCS.若pl=ql(l=0,1,2,3),則稱p和q相等,記作p=q.稱

        分別為復(fù)分裂四元數(shù)p與q的和、積以及c與p的標(biāo)量積.顯然,復(fù)分裂四元數(shù)的加法、乘法和標(biāo)量積關(guān)于封閉.

        復(fù)分裂四元數(shù)與實分裂四元數(shù)的區(qū)別之一是,它有三種不同類型的共軛,即

        分別為q的四元數(shù)共軛、復(fù)數(shù)共軛和全共軛.

        2 基本代數(shù)性質(zhì)

        命題2.1對?p,q∈和?c∈C,下列性質(zhì)成立:

        由于復(fù)分裂四元數(shù)環(huán)是一個非交換代數(shù),所以它具有以下一些有別于復(fù)代數(shù)的性質(zhì),即

        命題2.2對于?p,q∈.一般地,下列性質(zhì)成立:

        證明取p=(1+i)j,q=(1+i)+(1+i)j∈.通過直接計算即可驗證.

        定理2.1對?q=q0+q1i+q2j+q3k∈,它總可以用一個4×4復(fù)矩陣來表示.

        證明定義上的映射

        不難證明,此映射是線性同構(gòu)映射,并且基元1,i,j,k在fq下的作用結(jié)果為

        事實上,對?q=q0+q1i+q2j+q3k∈,再定義映射

        由于fq是同構(gòu)映射,進而χ也是同構(gòu)映射,因此本質(zhì)上相同,即由此可見,研究復(fù)分裂四元數(shù)的問題可等價地轉(zhuǎn)化為處理相應(yīng)的4×4復(fù)矩陣.

        定義2.1設(shè)q=q0+q1i+q2j+q3k∈,稱

        證明(1)和(3)的證明可由定義2.1 直接驗證獲得.下面只給出(2)的證明.由于

        因此,由復(fù)分裂四元數(shù)的復(fù)矩陣表示,可得

        3 可逆性判定

        由于復(fù)分裂四元數(shù)環(huán)是非交換代數(shù),所以一般地,有qp≠pq.然而,如下命題卻成立.

        命題3.1設(shè)q,p∈.若qp=1,則pq=1.

        證明令q=q0+q1i+q2j+q3k,p=p0+p1i+p2j+p3k(ql,pl∈C,l=0,1,2,3).于是,結(jié)合命題2.3的證明可得

        將這四個方程合并為一個矩陣方程

        由于矩陣方程(*)是一個復(fù)矩陣方程,所以其中的兩個復(fù)矩陣可交換,即(*)也可寫為

        由(**)又可以得到如下四個方程

        命題證畢.

        定理3.1設(shè)q=q0+q1i+q2j+q3k∈.于是,qC可逆?q可逆.

        證明“?”若qC可逆,則存在(qC)-1∈M4×4(C),使得

        因det(qC)=13 ≠0,故qC可逆,并且

        “?” 按照必要性證明的推導(dǎo)方法,不難獲證,在此從略.

        實際上,定理3.1 的證明過程給出了求可逆復(fù)分裂四元數(shù)逆的方法,具體步驟歸納如下:

        (1)寫出q的復(fù)矩陣表示qC;

        (2)求出(qC)-1;

        (3)取(qC)-1第一列的元素p11,p21,p31,p41(∈C),于是

        4 數(shù)值算例

        例求復(fù)分裂四元數(shù)q=1+(1 -i)i+(-1+2i)j+(1+2i)k的逆.

        解令q=q0+q1i+q2j+q3k,其中q0=1,q1=1 -i,q2=-1+2i,q3=1+2i.于是,q的復(fù)矩陣表示為

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