張景卓，姚陸鋒，楊紹華

(海軍工程大學 物理教研室，湖北 武漢 430033)

電磁發(fā)射技術(shù)是一種利用電磁力做功把電磁能轉(zhuǎn)化成機械能并把彈體發(fā)射出去的技術(shù).電磁發(fā)射在科學研究、工業(yè)、航天及軍事等領(lǐng)域有著不可估量的應用潛力，已成為一個研究熱點.電磁發(fā)射一般可分為軌道型、線圈型和重接型.根據(jù)加速機理的不同，線圈型電磁發(fā)射又分為感應型和磁阻型兩種類型[1，2].

磁阻型電磁發(fā)射本質(zhì)上是利用線圈磁場與磁化后的鐵磁性彈體之間的作用力來加速彈體的，具有結(jié)構(gòu)簡單、可控性好、可靠性高等優(yōu)點，在軍事上有著重要應用前景[3].美國Texas大學Austin分校機電研究中心開展了磁阻型電磁發(fā)射的理論和控制策略研究[4]；波蘭的Tomczuk等[5]主要對磁阻型電磁發(fā)射的磁場進行了分析；馬來西亞的Rezal等[6]進行了單級磁阻型電磁發(fā)射的仿真與實驗研究；國防科大的劉元恒等[7]進行了磁阻型電磁發(fā)射的機理和試驗研究.G.William Slade 分別運用電磁系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)法[8]和有限元法[9]對磁阻型電磁發(fā)射進行了建模研究；Zhao Keyi等[10]利用有限元法結(jié)合虛功原理對磁阻型電磁發(fā)射進行建模研究.但是這些分析與建模研究都需要電動力學、分析力學等專業(yè)理論知識，不便于將研究熱點引入大學物理課堂.本文在大學物理理論知識的基礎(chǔ)上，利用磁矩模型對磁阻型電磁發(fā)射進行建模分析和仿真研究，使建模與分析大為簡化，易于理解，其結(jié)果可為單級及多級磁阻型電磁發(fā)射的分析及參數(shù)優(yōu)化提供參考.

1 發(fā)射機理

單級磁阻型電磁發(fā)射原理如圖1所示，發(fā)射線圈為多層密繞直螺線管，彈體為柱狀鐵磁性材料.當開關(guān)撥向a點時，電源向儲能電容器充電；當開關(guān)撥向b點時，儲能電容器向發(fā)射線圈迅速放電，從而激發(fā)瞬變磁場，對鐵磁性彈體進行磁化.磁化后的彈體由于受到發(fā)射線圈磁場的作用而被加速，從而被發(fā)射出去，這一作用相當于磁場對磁矩的作用.

2 建模分析

2.1 發(fā)射模型

磁阻型電磁發(fā)射系統(tǒng)實際上是一個復雜的機電復合系統(tǒng)，為了分析發(fā)射過程的物理本質(zhì)，本文對系統(tǒng)作合理簡化，將磁化的鐵磁質(zhì)彈體等效為具有磁矩的磁介質(zhì).基本假設(shè)如下：1) 多層密繞直螺線管通電后所產(chǎn)生的磁場具有軸對稱性，除端部外，簡化為只有均勻分布的軸向磁場，并假設(shè)端部的磁場軸向小區(qū)域內(nèi)均勻;2) 由于彈體在極短的時間內(nèi)就完成了發(fā)射，為簡化彈體的磁化過程，將彈體整個磁化過程的磁化率假設(shè)為一常數(shù)，它實際上是彈體在變化磁場中的等效磁化率，可以通過實驗來確定.從而假設(shè)鐵磁質(zhì)彈體在均勻磁場作用下小區(qū)域瞬間均勻磁化；3) 磁化的鐵磁質(zhì)彈體等效為具有磁矩的磁介質(zhì)，小區(qū)域磁矩為常數(shù)；4) 為了簡化發(fā)射線圈與彈體的相互作用力的分析，磁化的彈體不影響原磁場；5) 由于本文涉及的發(fā)射線圈的電流及其變化率均較小，可以忽略渦流效應.

2.2 電路模型

由于單級磁阻型電磁發(fā)射系統(tǒng)的發(fā)射線圈具有一定的電阻，因此發(fā)射電路實際為串聯(lián)RLC電路.在本文的實驗條件下，分有無彈體2種情況，測得發(fā)射線圈兩端的電壓UL隨時間t變化的曲線如圖2所示，通過對比可知發(fā)射時磁化的彈體對發(fā)射電路的影響較小，因此可以將發(fā)射電路等效為串聯(lián)RLC暫態(tài)電路，如圖3所示，其中C為儲能電容器的電容，L為發(fā)射線圈的電感，R為發(fā)射線圈的電阻，E為儲能電容器的充電電源.

圖2 單級磁阻型電磁發(fā)射的發(fā)射線圈電壓UL隨時間t變化曲線(L=1.9 mH，R=1.07 Ω，C=6600 uf，U=36 V，彈體Φ=8 mm，l=40 mm，m=14.9 g)

圖3 單級磁阻型電磁發(fā)射等效電路

串聯(lián)RLC暫態(tài)電路放電時，當發(fā)射電壓E、電感L和電阻R一定時，電感L中的電流i(t)隨時間t的變化有過阻尼、臨界阻尼和阻尼振蕩3種規(guī)律[11]，如所示圖4.電路處于臨界阻尼狀態(tài)時，電流變化最快，彈體經(jīng)過發(fā)射線圈后半部時阻礙就小，電流最大值為

圖4 發(fā)射電路放電過程中i隨時間t的變化曲線

(1)

為了給發(fā)射線圈通入瞬時大電流，發(fā)射電路必須處在臨界阻尼的狀態(tài)，要求

(2)

由式(1)可知，提高發(fā)射電壓E、減小發(fā)射線圈電阻R可以提高發(fā)射電流.而發(fā)射線圈電感L與電阻R是相互聯(lián)系的，由發(fā)射線圈的結(jié)構(gòu)所決定，發(fā)射線圈一旦確定，電感L與電阻R就確定了.由式(2)計算出電容值C，再求解串聯(lián)RLC暫態(tài)電路方程，便可得到發(fā)射線圈中任意時刻的電流i(t).

當發(fā)射線圈中通入電流i(t)時產(chǎn)生的磁場為

(3)

式(3)中z為發(fā)射線圈中某場點的位置，r0、ri和L分別為發(fā)射線圈的內(nèi)徑、外徑和長度，nz和nr分別為發(fā)射線圈的軸向和徑向匝密度.

2.3 彈體動力學分析

為了分析彈體在發(fā)射線圈磁場中的受力，建立如圖5所示的坐標系，其中OZ軸以發(fā)射線圈中點為原點，發(fā)射線圈軸線為坐標軸，O′ξ軸建立在彈體上，以彈體的中點為原點，彈體的軸線與OZ軸重合.發(fā)射線圈及彈體的尺寸如圖5所示.

圖5 彈體在通電螺線管線圈磁場中的受力分析圖

由于具有磁矩m的磁介質(zhì)在磁場強度為B的磁場中受力[12]為

F=?(m·B)

(4)

設(shè)某時刻彈體中心點O′的坐標為z，根據(jù)上式及所建的模型可導出彈體在磁場中所受的軸向磁場力Fz為

(5)

式中μ0為真空磁導率，χm為彈體材料的磁化率，r和l分別為彈體的長度，Bz和?Bz/?Z分別為發(fā)射線圈軸向磁場強度、軸向磁場強度的梯度.鐵磁質(zhì)彈體在發(fā)射線圈的軸向磁場力Fz的作用下加速并被發(fā)射出去.由式(5)可知：彈體所受軸向磁場力的大小與發(fā)射線圈軸向磁場強度分布、軸向磁場梯度分布、彈體的幾何尺寸、彈體中心的初始位置以及彈體材料的磁化等因素有關(guān).根據(jù)式(3)可知發(fā)射線圈軸向磁場強度分布和軸向磁場梯度分布，除了與所通的電流及場點的位置有關(guān)外，還與發(fā)射線圈本身的結(jié)構(gòu)有關(guān).因此為了提高彈體的發(fā)射效果，必須優(yōu)化發(fā)射線圈的結(jié)構(gòu).通過分析可知，發(fā)射線圈后半部分的磁場梯度為負值，彈體通過發(fā)射線圈中點后即受到一阻礙作用，磁場強度和磁場梯度乘積越小阻礙作用就越小.

設(shè)發(fā)射電路開始發(fā)射時的時刻為t=0，只要知道了彈體在t時刻的位置z，由式(5)便可得出彈體在t時刻所受磁場力的大小.而彈體受到的發(fā)射線圈磁場力又會影響彈體運動狀態(tài)(z(t)、v(t))，因此彈體在發(fā)射線圈磁場中的受力與運動狀態(tài)是相互聯(lián)系的.設(shè)彈體的質(zhì)量為m，發(fā)射時彈體中心處于z0處，初速度為v0=0，忽略彈體加速時空氣阻力、發(fā)射管內(nèi)壁的摩擦阻力，則根據(jù)牛頓力學可得彈體的軸向加速度az、軸向運動速度vz及軸向位移z為

(6)

(7)

(8)

由式(5)、(7)和(8)可知彈體的發(fā)射速度與彈體中心的初始位置z0也有關(guān)系.

3 仿真分析

根據(jù)式(5)—式(8)結(jié)合串聯(lián)RLC暫態(tài)電路方程，利用MATLAB編程來模擬單級磁阻型電磁發(fā)射過程，如圖6、圖7、圖8和圖9.其中發(fā)射線圈內(nèi)徑Φ15 mm、外徑Ф28 mm，軸向、徑向匝密度為768匝/m，電感為1.9 mL，電阻為1.07 Ω；根據(jù)式(2)，與發(fā)射線圈匹配的儲能電容C=6639 uF，由2200 uF/450 V的電解電容利用串并聯(lián)組成；彈體為Φ8 mm、長分別為20 mm、30 mm、40 mm和50 mm的柱狀軟鐵，質(zhì)量分別為7.3 g、11.1 g、15 g和18.8 g；發(fā)射管為內(nèi)徑φ=9 mm、外徑φ=15 mm的有機玻璃管.

1. 儲能電容器；2. 開關(guān)；3. 鐵磁性彈體；4. 發(fā)射線圈；5. 電源；6. 發(fā)射管圖1 單級磁阻型電磁發(fā)射原理

圖6中的彈體為長為40 mm、質(zhì)量為15 g，彈體前部剛剛處于發(fā)射線圈入口處，儲能電容器與發(fā)射線圈匹配.由圖6可知，彈體發(fā)射時的典型發(fā)射過程為：在發(fā)射線圈前半部分先經(jīng)歷一個加速過程，在發(fā)射線圈后半部分再經(jīng)過一個減速過程，到達管口時速度穩(wěn)定.這與文獻[8]用拉格朗日函數(shù)法建模分析、文獻[10]用有限元法結(jié)合虛功原理建模分析及文獻[13]、[14]利用Ansoft軟件進行有限元的模擬等結(jié)果非常類似，說明本文的建模方法具有一定的合理性.由圖6可知，減速過程隨發(fā)射電壓變化而變化，發(fā)射電壓越大，減速過程越明顯，發(fā)射電壓越小，減速過程越不明顯，甚至沒有減速過程.彈體的發(fā)射速度與發(fā)射電壓的關(guān)系為非線性關(guān)系.適當提高發(fā)射電壓可以提高發(fā)射速率，但是發(fā)射電壓較高時，減速過程就越明顯，速度的提高就越困難.文獻[15]實驗結(jié)果證實了適當提高發(fā)射電壓可以提高發(fā)射速率.

圖6 彈體在不同發(fā)射電壓時的速度v和時間t關(guān)系曲線

圖7中的彈體為長為40 mm、質(zhì)量為15 g，發(fā)射電壓U=100 V，儲能電容器與發(fā)射線圈匹配c表示彈體前部與發(fā)射線圈入口的距離，c> 0表示彈體前部與發(fā)射線圈入口有一定的間距，c< 0表示彈體前部插入發(fā)射線圈內(nèi)部一定的深度.由圖7可知彈體發(fā)射存在一個最佳的初始位置，略為改變初始位置有可能使彈體的發(fā)射速度發(fā)生明顯的改變.文獻[16]實驗結(jié)果證實了彈體發(fā)射存在一個最佳的初始位置.

圖7 在不同初始位置時的彈體速度v和時間t關(guān)系曲線

圖8中的彈體為長為40 mm、質(zhì)量為15 g，發(fā)射電壓U=100 V，彈體前部剛剛處于發(fā)射線圈入口處.由圖8可知，發(fā)射電路處于臨界狀態(tài)或較小的過阻尼時，彈體的發(fā)射速度較大.發(fā)射電路處于欠阻尼或較大的過阻尼狀態(tài)都不利于彈體的發(fā)射.另外，發(fā)射電路處于欠阻尼狀態(tài)時，電路存在振蕩現(xiàn)象，對儲能電容器產(chǎn)生反向充電，不利于保護由電解電容組成的儲能電容器組.文獻[15]實驗結(jié)果證實了儲能電容器參數(shù)對彈體發(fā)射速率有影響.

圖8 不同發(fā)射電路狀態(tài)時的彈體速度v和時間t關(guān)系曲線

圖9中彈體前部剛剛處于發(fā)射線圈入口處，發(fā)射電壓U=100 V，儲能電容器與發(fā)射線圈匹配，l為彈體的長度.由圖9可知，在發(fā)射線圈、發(fā)射電壓、儲能電容器及彈體初始位置一定的條件下，存在一個最優(yōu)的彈體長度，這與發(fā)射線圈的磁場及磁場梯度分布有關(guān).

圖9 不同發(fā)射電路狀態(tài)時的彈體速度v和時間t關(guān)系曲線

4 結(jié)論

本文建立的單級磁阻型電磁發(fā)射模型，是在一定條件下的簡化.雖然本模型具有一定的局限性，但能說明影響彈體發(fā)射速度的主要因素，可以為磁阻型電磁發(fā)射的參數(shù)優(yōu)化提供參考.