李海鳳，陳康康

(西安工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)學(xué)院物理系，陜西 西安 710021)

一維無(wú)限深方勢(shì)阱是量子力學(xué)教材中詳細(xì)講解的知識(shí)，對(duì)廣大學(xué)生了解量子物理理論具有重要的意義[1-8].雖然它是一個(gè)基本且簡(jiǎn)單的模型，但它的理論結(jié)果在許多實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)中有著非凡的應(yīng)用，比如，低維量子受限系統(tǒng)[2].在大多數(shù)傳統(tǒng)教材中[4-7]，只局限于推導(dǎo)一維無(wú)限深方勢(shì)阱，而二維或三維情況較少涉及[8]，幾乎不講，并且勢(shì)阱的邊界范圍或是(0，a)，或是(-a，a).

教材中，一般利用常規(guī)方法，即勢(shì)阱將空間分成幾個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間求解定態(tài)薛定諤方程，利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，即相鄰兩個(gè)區(qū)域的波函數(shù)在邊界處相等，可以求出該模型體系的能量本征值和對(duì)應(yīng)的本征態(tài).若勢(shì)阱左邊界為0，求解過(guò)程比較簡(jiǎn)單.若勢(shì)阱關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，波函數(shù)將分奇、偶宇稱兩種情況，求解過(guò)程變得不那么簡(jiǎn)單.

本文將超越特殊勢(shì)阱邊界值情況，利用3種不同的方法，推導(dǎo)在任意的勢(shì)阱邊界值情況下，一維、二維、三維無(wú)限深方勢(shì)阱的能量本征值和本征態(tài).

1 三種方法

1.1 常規(guī)方法

一維無(wú)限深方勢(shì)阱是一個(gè)理想的模型.在一定的約束條件下，許多系統(tǒng)都可以近似為一維無(wú)限深方勢(shì)阱問(wèn)題來(lái)處理.質(zhì)量為m的粒子被左、右無(wú)窮大的勢(shì)能限定于一維有限的空間[b，c]中運(yùn)動(dòng).設(shè)勢(shì)能函數(shù)為

(1)

其中x是粒子在勢(shì)阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)，如圖1所示.

圖1 一維無(wú)限深方勢(shì)阱

在阱外其他位置，勢(shì)能無(wú)窮大，粒子不可能有概率出現(xiàn)在該范圍，則ψ(x)=0.

在b

(2)

將上式移項(xiàng)、化簡(jiǎn)得

(3)

(4)

這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程，通解形式為

ψ(x)=Asin(αx+δ)

(5)

根據(jù)波函數(shù)的單值性和連續(xù)性，在勢(shì)阱邊界處，滿足ψ(b)=0，ψ(c)=0，即

ψ(b)=Asin(αb+δ)=0

(6)

ψ(c)=Asin(αc+δ)=0

(7)

則有αc+δ=nπ，αb+δ=0或αc+δ=0，αb+δ=nπ，其中n=1，2，3，…，每組兩式相減，得

(8)

或

(9)

能量本征值為

(10)

將式(8)與式(9)分別代入式(5)得到對(duì)應(yīng)的波函數(shù)：

(11)

或

(12)

式(12)經(jīng)過(guò)如下推導(dǎo)，比較容易發(fā)現(xiàn)與式(11)描述微觀粒子的同一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：

(13)

(14)

或

(15)

勢(shì)阱外波函數(shù)為0.

1.2 駐波方法

下面我們利用一維固定均勻弦振動(dòng)產(chǎn)生駐波的思想，來(lái)解釋一維無(wú)限深方勢(shì)阱模型.式(4)的形式解也可以寫成如下形式：

ψ(x)=Beiα(x-δ′)+B′e-iα(x-δ′)

(16)

這是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向相反的平面波的疊加.

(17)

利用邊界條件ψ(b)=0，ψ(c)=0，即

(18)

(19)

求解上面兩式，可以得δ′=b和B′=-B，或者δ′=c和B′=-B.最終對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)為

(20)

或

(21)

與式(13)推導(dǎo)思路相似，比較容易得到式(20)與式(21)描述相同的量子態(tài)，這里可以將虛單位“i”吸收到波函數(shù)前面的歸一化因子中，這樣我們就得到與第一種方法相同的結(jié)果.

1.3 坐標(biāo)系平移方法

根據(jù)量子力學(xué)傳統(tǒng)教材[4-7]，勢(shì)阱范圍x∈(0，a)，一維無(wú)限深方勢(shì)阱模型能量本征值和對(duì)應(yīng)的定態(tài)波函數(shù)為

(22)

(23)

其中n=1，2，3，….定義新的變量x′=x+b，它的范圍是從b到a+b.若c=a+b，則x′∈(b，c).經(jīng)過(guò)變量替換x=x′-b，比較容易得到

(24)

(25)

當(dāng)然，若我們將傳統(tǒng)教材中波函數(shù)的結(jié)果用另外一個(gè)勢(shì)阱邊界值表示

(26)

則經(jīng)過(guò)上述變量替換，可以得到任意邊界情況下一維無(wú)限深方勢(shì)阱波函數(shù)的等價(jià)描述：

(27)

綜上所述，3種方法得到的結(jié)果彼此之間相互等價(jià).第1種方法，比較中規(guī)中矩，嚴(yán)格求解定態(tài)薛定諤方程.第2種方法，利用經(jīng)典駐波思想，比較直觀形象，可加深理解無(wú)限深方勢(shì)阱模型的結(jié)果.第3種方法，基于已有結(jié)果，通過(guò)坐標(biāo)變換，比較容易得到任意邊界條件下的結(jié)果.通過(guò)上述3種方法，我們比較容易看出，一維任意邊界條件無(wú)限深方勢(shì)阱的能量本征值和本征波函數(shù)均與阱寬相關(guān).

如圖2所示，左邊3幅子圖，勢(shì)阱范圍是x∈(0.2 nm，0.4 nm)，右邊3幅子圖，勢(shì)阱范圍是x∈(0.3 nm，0.7 nm)，自上而下n分別取1，2，3，縱軸是概率密度，即單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)微觀粒子的概率.從左至右，阱寬增加，概率分布形狀輪廓不變，峰值降低，變得越來(lái)越平緩(或非局域).相反，從右至左，阱寬減小，概率分布形狀輪廓不變，峰值升高，變得越來(lái)越陡峭(或局域).

圖2 一維任意邊界無(wú)限深方勢(shì)阱前3個(gè)概率密度

通過(guò)無(wú)限深方勢(shì)阱模型能量本征值公式，顯而易見(jiàn)，隨著阱寬增加，能量本征值減少，而隨著阱寬減小，能量本征值升高.

除此之外，任意邊界無(wú)限深方勢(shì)阱模型的本征波函數(shù)與邊界值有關(guān)，正弦三角函數(shù)可以寫成坐標(biāo)變量減去勢(shì)阱左邊界值，也可以寫成坐標(biāo)變量減去勢(shì)阱右邊界值，兩種表述等價(jià)，描述微觀粒子相同的量子態(tài).由于波函數(shù)求歸一化因子時(shí)，只能得到歸一化系數(shù)的模，其具體表達(dá)式不唯一，存在相因子eiφ的不確定性，其中φ∈[0，2π]，相因子可任意取值，例如，取±1，±i等.

最終，我們得到任意邊界值條件下一維無(wú)限深方勢(shì)阱模型的能量本征值和對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)的通式：

(28)

(29)

或

(30)

2 二維和三維無(wú)限深方勢(shì)阱

2.1 二維無(wú)限深方勢(shì)阱

二維無(wú)限深方勢(shì)阱是典型的二維受限系統(tǒng)，我們將一維固定均勻弦振動(dòng)產(chǎn)生駐波的思路拓展到二維情況，將其看成x和y兩個(gè)維度固定均勻弦振動(dòng)，在空間相互疊加形成的駐波現(xiàn)象.

如果勢(shì)阱是二維的，那么勢(shì)能函數(shù)為

(31)

根據(jù)定態(tài)薛定諤方程：

(32)

設(shè)定態(tài)波函數(shù)和能量本征值為

ψ(x，y)=φ(x)φ(y)，E=Ex+Ey

(33)

利用分離變量法：

(34)

通過(guò)一維無(wú)限深方勢(shì)阱的結(jié)果，比較容易得到二維任意邊界無(wú)限深方勢(shì)阱的能量本征值：

(35)

和對(duì)應(yīng)的本征態(tài)：

(36)

其中n1，n2=1，2，3，…，x方向阱寬c1-b1，y方向阱寬c2-b2.對(duì)于二維無(wú)限深方勢(shì)阱波函數(shù)公式，我們只展示了其中一種表達(dá)式，當(dāng)然也可以用另外一個(gè)邊界值表示，或者兩個(gè)邊界值均展現(xiàn)在表達(dá)式中.

如圖3所示，勢(shì)阱范圍x∈(0.2 nm，0.4 nm)并且y∈(0.1 nm，0.5 nm)，圖3(a)n1=1，n2=2，圖3(b)n1=2，n2=1，圖3(c)n1=2，n2=2，圖3 (d)n1=3，n2=3.綜上，我們可以看出不論勢(shì)阱是長(zhǎng)方形，還是正方形，二維受限系統(tǒng)的概率分布圖，仍然是駐波圖，只是概率分布范圍，以及波峰值(概率密度最大值)不同.

圖3 二維任意邊界無(wú)限深方勢(shì)阱概率密度

2.2 三維無(wú)限深方勢(shì)阱

如果勢(shì)阱是三維的，那么勢(shì)能函數(shù)為

(37)

可將三維無(wú)限深方勢(shì)阱模型看作一個(gè)在盒子中運(yùn)動(dòng)的微觀粒子，盒子內(nèi)粒子感受的勢(shì)能為0，盒子外粒子感受到的勢(shì)能為無(wú)窮大，粒子完全被束縛在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng).

與上述計(jì)算過(guò)程類似，求解得出三維任意邊界無(wú)限深方勢(shì)阱的能量本征值為

E=Ex+Ey+Ez=

(38)

和對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為

(39)

其中n1，n2，n3=1，2，3，….c1-b1是x方向阱寬，c2-b2是y方向阱寬，c3-b3是z方向阱寬.

研究三維無(wú)限深方勢(shì)阱，有助于研究高維受限量子系統(tǒng)，并且這類精確可解模型的結(jié)果，為發(fā)展近似方法提供了比較的基準(zhǔn).

3 結(jié)論

本文通過(guò)3種不同方法推導(dǎo)了一維任意邊界情況下無(wú)限深方勢(shì)阱模型的本征問(wèn)題，求解了能量本征值和對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)，不同方法得到的結(jié)果，彼此之間互相等價(jià).本文的重要結(jié)果，得到了一維任意邊界無(wú)限深方勢(shì)阱模型能量本征值和本征態(tài)的通式，這兩個(gè)重要的物理量均與勢(shì)阱寬度有關(guān)，并且本征波函數(shù)與邊界值有關(guān).基于一維情況的結(jié)果，我們拓展得到了二維和三維任意邊界無(wú)限深方勢(shì)阱模型能量本征值和本征態(tài).

這3種方法對(duì)于深刻理解無(wú)限深方阱模型具有重要意義.對(duì)于簡(jiǎn)單量子系統(tǒng)模型的研究，為今后研究復(fù)雜量子系統(tǒng)奠定了理論基礎(chǔ).希望本文對(duì)量子理論的課堂教學(xué)及學(xué)生對(duì)量子力學(xué)抽象概念的理解和掌握具有較大幫助.