劉天奇，馮一辰，張蒙玥，李 安

(1. 北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875； 2. 北京師范大學(xué) 天文系，北京 100875)

眾所周知，光在兩種介質(zhì)的表面會(huì)發(fā)生透射和反射.如果把空氣視為一種介質(zhì)，并把一種液體視為另一種介質(zhì)，那么光就會(huì)在液體和空氣間的表面發(fā)生透射和反射.我們知道，液體相對于一般制作光學(xué)元件所用的玻璃等材料而言具有更好的可塑性，因此，利用液體制作理想的光學(xué)元件、光學(xué)表面以用于成像也是一種可行的方案.

國際上也有利用旋轉(zhuǎn)的液體表面作為天文望遠(yuǎn)鏡主反射鏡的先例，例如加拿大的大型天頂望遠(yuǎn)鏡(Large Zenith Telescope)就是一款口徑達(dá)到6 m的以旋轉(zhuǎn)的液態(tài)汞作為反射介質(zhì)的天文望遠(yuǎn)鏡[1].當(dāng)然，正如其名稱所言，由于旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的拋物面是由重力和離心力綜合作用而成，因此該望遠(yuǎn)鏡的主光軸與重力加速度方向重合，也就導(dǎo)致了它只能觀測天頂附近的區(qū)域.

本文主要介紹了利用簡單的實(shí)驗(yàn)儀器測量旋轉(zhuǎn)液面的焦距與其轉(zhuǎn)速的關(guān)系，隨后利用液態(tài)金屬鎵作為反射介質(zhì)制成了一個(gè)簡易的望遠(yuǎn)鏡，同時(shí)我們利用在望遠(yuǎn)鏡前加裝折光反射鏡的方式大幅擴(kuò)大了望遠(yuǎn)鏡可以觀測的方向.

1 理論分析

考慮到液體容器口徑較大，我們忽略液體與容器邊緣接觸所產(chǎn)生的邊緣效應(yīng).一個(gè)理想的圓柱形容器繞自身軸旋轉(zhuǎn)，這個(gè)旋轉(zhuǎn)軸沿豎直方向.考慮對稱性，穩(wěn)定后液體各處也均繞這個(gè)軸旋轉(zhuǎn).

如圖1所示,設(shè)圓柱形容器半徑為R，穩(wěn)定狀態(tài)下液體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω，當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間，那么，旋轉(zhuǎn)的液體表面是一個(gè)沿軸線旋轉(zhuǎn)對稱的曲面.我們不妨作一個(gè)過軸線的平面，軸線為z軸，豎直向上為正方向；水平方向設(shè)為r軸，r表示該點(diǎn)到圓柱軸線的距離.取旋轉(zhuǎn)曲面上一個(gè)小質(zhì)元dm進(jìn)行分析.

圖1 旋轉(zhuǎn)液面的受力分析

穩(wěn)定狀態(tài)下，質(zhì)元dm受到重力和垂直于表面該點(diǎn)的支持力dN.這個(gè)支持力與豎直方向的夾角設(shè)為θ，有

(1)

考慮到我們建立的坐標(biāo)架，有

(2)

從而

(3)

從實(shí)際的物理情況可以知道，曲面最低點(diǎn)在z軸上，不妨設(shè)該點(diǎn)為原點(diǎn)(z=0,r=0)，從而有

(4)

得到曲面的方程為

(5)

這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面.從拋物線的性質(zhì)以及費(fèi)馬原理可以知道，焦點(diǎn)所在位置是

(6)

平行光平行于這個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面的軸線入射，則反射光在該處匯聚.考慮到拋物面的頂點(diǎn)為其光學(xué)面的主點(diǎn)，而根據(jù)拋物面的解析式不難看出其頂點(diǎn)與零點(diǎn)重合，因此可以得出該光學(xué)系統(tǒng)的焦距為

(7)

基于上述推導(dǎo)過程，我們就可以通過控制盛有液體的容器繞軸轉(zhuǎn)速來調(diào)整其焦距，并利用這一焦距可調(diào)的拋物面系統(tǒng)來進(jìn)行各種光學(xué)實(shí)驗(yàn)探究.

2 實(shí)驗(yàn)裝置及方法

(8)

圖2 探究焦距與轉(zhuǎn)速關(guān)系的實(shí)驗(yàn)裝置

采用轉(zhuǎn)臺(tái)帶動(dòng)盛水容器轉(zhuǎn)動(dòng)，將豎直入射的激光擴(kuò)束后照到盛水容器中，用一個(gè)豎直高度可調(diào)節(jié)的小光屏承接激光經(jīng)匯聚后所成的像，測量像距，由于從激光器出射的光可被視為平行光，因此經(jīng)過擴(kuò)束裝置后可被視為一個(gè)點(diǎn)源.所以該系統(tǒng)中的物距始終為擴(kuò)束裝置主點(diǎn)到拋物面頂點(diǎn)的距離，通過改變?nèi)萜鞯霓D(zhuǎn)速測量出不同轉(zhuǎn)速下的像距，根據(jù)高斯公式即可計(jì)算得到在不同轉(zhuǎn)速下拋物面的焦距.

利用相同的原理也可以制成一個(gè)反射式望遠(yuǎn)鏡，在這里我們采用的是牛頓焦點(diǎn)系統(tǒng)反射式望遠(yuǎn)鏡，傳統(tǒng)的牛頓焦點(diǎn)系統(tǒng)構(gòu)型[3]如圖3所示.

圖3 傳統(tǒng)牛頓焦點(diǎn)系統(tǒng)示意圖

我們將主反射鏡替換為轉(zhuǎn)軸與豎直方向重合的旋轉(zhuǎn)液面，此外，在鏡筒外我們添加了一個(gè)用來偏折光線的平面鏡將不同方向的入射光改變?yōu)樨Q直向下(沿系統(tǒng)主光軸方向)的光線.在實(shí)際操作上相對于探究焦距與轉(zhuǎn)速關(guān)系的裝置保持構(gòu)型基本不變，將光源和擴(kuò)束裝置改為偏折鏡，同時(shí)在光路中加裝一個(gè)牛頓式望遠(yuǎn)鏡的鏡筒(即去掉主鏡的支架)，入射光線經(jīng)過偏折鏡、主鏡和副鏡三次反射至成像鏡筒之外的牛頓焦點(diǎn)處，在實(shí)驗(yàn)中，我們既可以利用肉眼直接通過望遠(yuǎn)鏡觀察遠(yuǎn)距離物體，也可通過手機(jī)等拍攝設(shè)備在牛頓焦點(diǎn)處得到物體的像.

在主反射鏡方面，考慮到需要遠(yuǎn)處物體的光強(qiáng)較弱，我們采用了液態(tài)金屬鎵這一反射率遠(yuǎn)高于水的液體.鎵的熔點(diǎn)約為30 ℃，在水浴熔化后將之導(dǎo)入旋轉(zhuǎn)容器，此外在表面鋪上一層透明的液體甘油防止鎵氧化，并利用電機(jī)驅(qū)動(dòng)整個(gè)容器旋轉(zhuǎn)，同時(shí)利用轉(zhuǎn)速計(jì)實(shí)時(shí)顯示當(dāng)前容器的旋轉(zhuǎn)速度，簡單調(diào)節(jié)光路后即可觀察各種遠(yuǎn)處物體.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在探究液面焦距與轉(zhuǎn)速關(guān)系的實(shí)驗(yàn)中，我們將測得的焦距f與轉(zhuǎn)速平方的倒數(shù)ω-2進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖4所示.

圖4 焦距f與轉(zhuǎn)速平方的倒數(shù)ω-2圖像

根據(jù)線性擬合的結(jié)果可以計(jì)算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?.818 m/s2,而北京地區(qū)的重力加速度約定值為9.802 m/s2,相對偏差不到千分之二，由此可見該方法的測量準(zhǔn)確度是很高的，這也從側(cè)面體現(xiàn)了前述理論的適用性.

在利用旋轉(zhuǎn)液面制作反射式望遠(yuǎn)鏡的實(shí)驗(yàn)中，我們將通過望遠(yuǎn)鏡觀察的景象與通過手機(jī)直接放大拍攝的景象放在同一張圖中進(jìn)行對比，如圖5所示(左為利用望遠(yuǎn)鏡拍攝，右為利用手機(jī)直接放大拍攝).

圖5 望遠(yuǎn)鏡成像與手機(jī)直接拍攝的對比

由于系統(tǒng)仍存在抖動(dòng)，且在轉(zhuǎn)速控制上受到現(xiàn)有裝置的限制，成像質(zhì)量與手機(jī)直接拍攝仍有一定差距，但我們?nèi)匀荒軌蛎鞔_地分辨出圖中的物體.

為了進(jìn)一步定量探究其放大效果與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，我們保持望遠(yuǎn)鏡指向的物體不變，固定拍攝用的手機(jī)位置不動(dòng)，通過調(diào)整容器的轉(zhuǎn)速，在每個(gè)轉(zhuǎn)速下重復(fù)拍攝三張照片，測量在不同轉(zhuǎn)速下相同景物上相同兩點(diǎn)間的像素距離并對三張照片取平均值，以此可以反推出當(dāng)前轉(zhuǎn)速下望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的像放大率.

我們假設(shè)被攝物距為|s1|，望遠(yuǎn)鏡的主點(diǎn)到手機(jī)鏡頭光程為L，鏡頭到CMOS距離為d，每次拍攝時(shí)均為對焦清晰的狀態(tài)，那么利用成像公式和被攝物到主鏡的光程遠(yuǎn)大于L這一條件和式(7)，可以推導(dǎo)出橫向放大率為

(9)

(10)

比例系數(shù)是一個(gè)無量綱常數(shù).改變?chǔ)夭y出對應(yīng)的α,取x=ω2從而可以對有理函數(shù)：

(11)

經(jīng)實(shí)驗(yàn)測量出望遠(yuǎn)鏡的(相對)橫向放大率與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，在不同轉(zhuǎn)速下拍攝的圖像如圖6所示.

圖6 不同轉(zhuǎn)速下同一目標(biāo)的像(從左至右轉(zhuǎn)速逐漸減小)

從上圖不難看出隨著轉(zhuǎn)速減小，主鏡焦距[4]增加，放大率增加的趨勢.

圖7 (相對)橫向放大率與ω2有理函數(shù)擬合

與此同時(shí)，我們粗略測量了望遠(yuǎn)鏡主點(diǎn)到手機(jī)拍攝點(diǎn)的距離[由于手機(jī)很薄，因此該距離可被看作式(9)中的L]約為1 m.擬合結(jié)果中有q2=-4.957,取g=9.801 m/s2，計(jì)算得L=0.98 m，與測量值接近.

4 對于像質(zhì)的討論

在本實(shí)驗(yàn)中，最終成像的像質(zhì)受到諸多因素的影響，其不完美性體現(xiàn)在兩部分：一部分是理想拋物面(也就是鏡面誤差在波長量級的理想狀態(tài)，可以忽略鏡面本身的誤差)帶來的像差，另一部分是產(chǎn)生的反射面本身與理想拋物面之間還存在一定差距，這也就是鏡面誤差，拋物面誤差和鏡面誤差共同組成了該系統(tǒng)的像差.考慮到旋轉(zhuǎn)液面的形成機(jī)理，鏡面誤差的成因可以歸因到某類外界的力的擾動(dòng).

由于系統(tǒng)采用反射式拋物面，因此原理上不存在球差和色差.同時(shí)，觀察圖5中左右兩張圖不難看出，左圖相對右圖而言中心部分更加清晰而周邊的部分沒有那么清晰，這是很明顯的場曲.當(dāng)然，如此嚴(yán)重的場曲不完全是因?yàn)閽佄锩嬉鸬?，鏡面誤差在其中也扮演著很重要的角色.至于彗差、像散、畸變這三種像差，在當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)條件下其它的干擾因素已經(jīng)將它們掩蓋，無法直接從拍攝樣張中看出，在未來提升了硬件水平后會(huì)有更直觀的體現(xiàn)以及更詳細(xì)的分析.

而鏡面誤差是本系統(tǒng)中影響成像質(zhì)量的主要因素，在干擾來源方面，它主要是由系統(tǒng)中的高頻振動(dòng)導(dǎo)致的液面抖動(dòng)以及轉(zhuǎn)速的不穩(wěn)定性構(gòu)成.電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)、外界風(fēng)的擾動(dòng)等都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生頻率較高但振幅不大的振動(dòng)，這體現(xiàn)在反射面上就是表面會(huì)以拋物面為基準(zhǔn)進(jìn)行小幅的漲落.在圖5的下半部分，由于圖像較亮，因此很容易看出這并不是一個(gè)非常清晰的像，而是有一定波紋擾動(dòng)的效果，這正是這種抖動(dòng)的體現(xiàn).同時(shí)，該抖動(dòng)不但會(huì)影響成像結(jié)果，而且會(huì)影響整體的對焦，對焦質(zhì)量則直接影響著最終的成像水平；除此之外，轉(zhuǎn)速的不穩(wěn)定(這里的“不穩(wěn)定”指的是容器轉(zhuǎn)速存在幅度比抖動(dòng)更大，但頻率很低的緩慢變化)也會(huì)使得焦點(diǎn)位置上下飄動(dòng)，從而對最終成像的結(jié)果造成干擾.

5 小結(jié)與展望

1) 利用旋轉(zhuǎn)的容器創(chuàng)造了一個(gè)可以用來聚光的液體拋物面，探究了焦距與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，并利用此原理較準(zhǔn)確地測量了當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?

2) 采用旋轉(zhuǎn)的液態(tài)金屬鎵作為牛頓焦點(diǎn)系統(tǒng)的主反射鏡制成了一臺(tái)簡易望遠(yuǎn)鏡，同時(shí)利用偏折平面鏡擴(kuò)大了望遠(yuǎn)鏡可觀察的角度范圍，解決了旋轉(zhuǎn)液面望遠(yuǎn)鏡只能觀察天頂?shù)膯栴}.

3) 測量了旋轉(zhuǎn)液面望遠(yuǎn)鏡的像放大率與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，并與理論的推導(dǎo)進(jìn)行了對照，在數(shù)據(jù)走勢上與理論推導(dǎo)高度一致，分析了數(shù)值上與理論的偏差.

4) 分析了旋轉(zhuǎn)液面望遠(yuǎn)鏡成像像質(zhì)的影響因素，分析了該望遠(yuǎn)鏡存在的像差，明確了未來的改進(jìn)方向.

從對像質(zhì)的討論中不難看出，外界的高頻振動(dòng)以及電機(jī)轉(zhuǎn)速不穩(wěn)定是該系統(tǒng)現(xiàn)階段的主要問題，經(jīng)過調(diào)研后，未來我們將采用空氣軸承作為轉(zhuǎn)臺(tái)與外部的連接裝置，它能夠有效地減弱外界抖動(dòng)向容器的傳遞，同時(shí)將改用轉(zhuǎn)速更為穩(wěn)定的電機(jī)如步進(jìn)電機(jī)等，相信一系列改進(jìn)后，整個(gè)裝置的成像質(zhì)量將有更大的提升.

致謝：感謝北京師范大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心提供的器材支持、物理學(xué)系的白在橋老師與王愛記老師對本實(shí)驗(yàn)的支持，以及天文系張文昭老師提供的實(shí)驗(yàn)場地和部分實(shí)驗(yàn)設(shè)備.