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        一類基于保自伴映射的兩體量子態(tài)的糾纏測度

        2022-02-24 04:27:50劉亞雪王銀珠
        太原科技大學學報 2022年1期
        關鍵詞:測度量子性質

        劉亞雪,王銀珠

        (太原科技大學 應用科學學院,太原 030024)

        糾纏是實現(xiàn)量子密碼學、量子隱形傳態(tài)、量子計算等計算信息和通訊任務的重要資源,是量子系統(tǒng)的一個顯著特征,這是經(jīng)典物理學無法解釋的。而量子理論的一個核心問題就是如何在實際操作中檢測和度量糾纏。近些年來,人們付出了很多努力去探討糾纏現(xiàn)象,糾纏已經(jīng)被視為一種很重要的物理資源,與信息、能量、熵和其他基本資源相比同等重要,因此可分性準則和糾纏測度的發(fā)展具有非常重要的意義[1-2],目前在糾纏探測方面,已有很多重要的判據(jù),比如部分轉置判據(jù)(PPT判據(jù)),約化(Reduction)判據(jù),控制(Majorization)判據(jù),重排(Realignment)判據(jù)等,在糾纏測度方面,形成糾纏度(EOF)[3-5]和Concurrence糾纏度[6-15]是定義良好的兩類糾纏度量。但是已有的很多糾纏測度在實際計算時,由于涉及到最優(yōu)化問題,對于混合態(tài)來說,很難給出其具體的糾纏度量。鑒于此,近年來關于Concurrence糾纏度和形成糾纏度的上下界的研究發(fā)展迅速[12-14]。

        眾所周知,量子信息的研究與算子代數(shù)理論緊密相關,因而討論矩陣映射的性質至關重要[16-18]。一個矩陣映射是保Hermitian的,如果對于任意Hermitian矩陣M,(M)是Hermitian的。在兩體系統(tǒng)中,Gao Hao等作者在文獻[19]中定義了一個保自伴的矩陣映射,具體如下:設HA與HB是N維復Hilbert空間,對于任意N×N的矩陣[M]ij=mij,引進如下Hermitian矩陣映射:[(M)]ij=-Mij,i≠j, [(M)]ij=-Mi′i′,i′=i+1modN.則:

        其中{|i〉}為HA與HB的標準正交基,Eij=|i〉〈j|,i,j=1,2,…,N且令V(M)=(V?MV),其中V是任意N×N的酉矩陣。文獻[19]利用此映射給出了兩體純態(tài)的一個糾纏判據(jù)。本文在此基礎上,引進了一個兩體量子態(tài)的基于保自伴映射的糾纏測度,進而研究了其性質。

        1 主要結果

        為了給出主要結果,首先列出如下引理。

        引理1[19]設ρ∈S(H),dimHA=dimHB=N,V是任意的N×N的酉矩陣。則有:

        ‖(V?I)ρ‖≥|tr((V?I)ρ)|=

        |tr(ρ)|=1

        ‖(V?I)ρ‖=tr(V?I)ρ=1.

        反之,因為Ω=(V?I)ρ是Hermitian的,所以其中|λi(Ω)|為Ω的奇異值。假設(V?I)ρ非正,所以λi(Ω)<0,i=1,2,…,k

        即證明了當(Ω)=1時,(V?I)ρ≥0.

        引理2[19]設H=HA?HB,dim(H)<+∞.若對于任意N×N的酉矩陣V,ρ為H上的純態(tài),則ρ可分?‖(V?I)ρ‖=1?(V?I)ρ≥0.

        定理1設H=HA?HB,dim(H)<+∞.若對于任意N×N酉矩陣V,ρ∈S(H)且ρ可分,則‖(V?I)ρ‖=1.

        證明:若ρ為H上的純態(tài),則根據(jù)引理2,結果顯然成立。

        ‖(V?I)ρ‖=

        由引理1,對任意態(tài)ρ都有‖V?I‖≥1,所以‖(V?I)ρ‖=1.

        在此映射上定義了一個糾纏測度,并給出其滿足的性質。

        定義1設HA與HB分別是與量子系統(tǒng)相對應的復Hilbert空間,dim(HA?HB) <+∞.定義純態(tài)|φ〉∈HA?HB的相對于保自伴映射的糾纏度為:

        EHer(|φ〉)=‖(V?I)ρ‖-1.

        對于混合態(tài)ρ∈S(H),ρ=∑SPS|φS〉〈φS|,其中∑SPS=1,PS≥0,則其相對于保自伴映射的糾纏度定義為:

        下面證明所定義的糾纏測度EHer(·)滿足作為糾纏度的一些必要條件[15]。

        性質1設ρ∈S(H),dim(HA?HB)<+∞.則EHer(ρ)≥0,且ρ可分?EHer(ρ)=0.

        證明:由引理1,設ρ∈S(H),則有‖(V?I)ρ‖≥1,所以對任意態(tài)ρ,都有EHer(ρ)≥0.

        若純態(tài)ρ=|φ〉〈φ|可分,由引理2,可知‖(V?I)ρ‖=1,即EHer(|φ〉)=0.反之,若EHer(|φ〉)=0,則‖(V?I)ρ‖=1,即ρ=|φ〉〈φ|可分。

        若混合態(tài)ρ=∑SPSρS可分,則純態(tài)ρS對每一個S都可分,從而由引理2可知:

        反之,若EHer(ρ)=0,那么存在一組系綜分解{PS,|φS},使得∑SPSEHer(|φS〉)=0,則|φS〉對每個S都可分,即ρ=∑SPSρS可分。

        性質2若U1,U2分別是HA,HB上的酉算子,dimHA=dimHB=N,且dim(HA?HB)<+∞,ρ∈S(H),則:

        其中|λi()|表示其奇異值。又因為奇異值在酉操作下保持不變,故對純態(tài)來說,則:

        而對混合態(tài)來說,根據(jù)凸組合的結構,顯然成立。

        性質3令|φ〉∈HA?HB,dim(A?HB)<+∞.則有EHer(Λ(|φ〉〈φ|))≤EHer(|φ〉〈φ|),其中Λ是局部操作和經(jīng)典通訊(LOCC操作)。

        證明:設|φ〉的Schmidt分解為:

        則:

        ρ=|φ〉〈φ|=

        根據(jù)文獻[20-22],知道每個LOCC操作實質是一種量子運算,其可以表示為:

        其Aσ,Bσ分別為HA,HB上的局部酉操作算子,N為LOCC操作輪回次數(shù),且:

        從而

        EHer(Λ(|φ〉〈φ|))=

        1=EHer(|φ〉〈φ|).

        性質4設H=HA?HB,dim(HA?HB)<+∞.ρ,σ∈S(H),t∈[0,1],則:

        EHer(tρ+(1-t)σ)≤tEHer(ρ)+(1-t)EHer(ρ).

        證明:令ρ=∑ipi|φi〉〈φi|,σ=∑jqj|φj〉〈φj|分別為ρ,σ的系綜分解。用Q1表示tρ的系綜集合,即:

        Q1=t{pi,|φi〉},

        用Q2表示(1-t)σ的系綜集合,即:

        Q2=(1-t){qj,|φj〉},

        tρ+(1-t)σ的系綜集合記為:

        Q={γl,ηl〉},Q1∪Q2?Q.

        其中,tρ+(1-t)σ=∑lγl|ηl〉〈ηl|,則有

        EHer(tρ+(1-t)σ)=

        tEHer(ρ)+(1-t)EHerρ.

        性質5設H=HA?HB,dim(HA?HB)<+∞.若混合態(tài)ρ=∑SPSρS∈S(H),則:

        EHer[Λ(ρ)]≤EHer(ρ),其中Λ是LOCC操作.

        證明:根據(jù)性質3與性質4,有:

        從而

        EHer[Λ(ρ)]≤

        下面給出具體的例子討論其應用。

        EHer(ρ)=‖(V?I)ρ‖-1=

        其中M是Hermitian的實矩陣,那么本征多項式因為總是正的,所以P(x)有一個負根,則存在一個向量|x〉∈HA?HB,使得〈x|(V?I)ρ|x〉<0,因此(V?I)ρ≥/0,根據(jù)引理1有‖(V?I)ρ‖≠1,所以‖(V?I)ρ‖>1,即:

        EHer(ρ)=‖(V?I)ρ‖-1>0.

        2 與Concurrence糾纏度的一個關系

        設H=HA?HB,dim(HA?HB)<+∞.設|φ〉∈HA?HB的Schmidt分解為:

        (1)

        接下來探討所給糾纏度與Concurrence糾纏度的一個關系。

        定理1設ρ=|φ〉〈φ|∈S(H),dim(HA?HB)<+∞,其中dimHA=dimHB=N,則:

        則:

        C(|φ〉)=

        所以:

        3 結論

        定義了有限維復合兩體系統(tǒng)量子態(tài)的一個基于保自伴映射的糾纏測度,我們證明了該糾纏測度具有局部酉不變性、凸性、LOCC單調性,但是對于無限維系統(tǒng),只有很少的糾纏測度[23],是否可以把此糾纏測度推廣到無限維也是一個值得深究的問題。

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