趙靜，時偉

（鄭州工程技術(shù)學(xué)院機(jī)電與車輛工程學(xué)院，河南 鄭州 450044）

在永磁同步電機(jī)（permanent magnet synchronous motor，PMSM）伺服系統(tǒng)中，電機(jī)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)性能尤為重要[1-2]。PMSM數(shù)學(xué)模型含有非線性環(huán)節(jié)，這促使學(xué)者們進(jìn)行了一些復(fù)雜控制策略的設(shè)計[3-5]，各控制方案較傳統(tǒng)PI轉(zhuǎn)速控制具有某些方面的改進(jìn)，但同時使復(fù)雜度增加。此外，當(dāng)涉及到內(nèi)嵌式（凸極性）PMSM，則控制律將更為復(fù)雜[6]。因此，標(biāo)準(zhǔn)的磁場定向控制（field-oriented control，F(xiàn)OC）目前仍是PMSM工業(yè)應(yīng)用的主要控制方案[7]。然而，F(xiàn)OC和PMSM數(shù)學(xué)模型中蘊(yùn)含的非線性因素不匹配。另一方面，文獻(xiàn)[8]中提到，盡管兩自由度（two-degrees-of-freedom，TDOF）控制較為古老，但TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器用于電機(jī)伺服系統(tǒng)時，可較好地應(yīng)對參數(shù)不確定性和外部轉(zhuǎn)矩擾動[9]，文獻(xiàn)[10]也將其引入到直線旋轉(zhuǎn)電機(jī)驅(qū)動控制中，獲取了效果極佳的魯棒轉(zhuǎn)速控制性能。但TDOF控制器在設(shè)計和穩(wěn)定性分析過程中忽略了電機(jī)動力學(xué)，將其認(rèn)為是簡單的一階系統(tǒng)[11]。實際上，控制器設(shè)計中考慮到電機(jī)動力學(xué)的穩(wěn)定性分析和證明非常重要，因為經(jīng)過分析才可知道簡化是否合理，以及是否會導(dǎo)致不穩(wěn)定出現(xiàn)[12]。

綜上，本文將TDOF控制引入到PMSM驅(qū)動中，設(shè)計了一種TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器。控制方案中電流內(nèi)環(huán)沿用FOC中的兩個PI調(diào)節(jié)器，而轉(zhuǎn)速控制則針對電機(jī)機(jī)械子系統(tǒng)采用TDOF控制。對控制器的全局指數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行了證明，所得到系統(tǒng)穩(wěn)定條件可作為參數(shù)整定依據(jù)。TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器對表貼式和內(nèi)嵌式PMSM均適用，并對參數(shù)不確定性和外部轉(zhuǎn)矩擾動具有非常好的魯棒性。

1 傳統(tǒng)PI轉(zhuǎn)速控制器分析

圖1為轉(zhuǎn)速PI控制器框圖。圖中，kp，ki分別為比例和積分參數(shù)；k=1/J，a=b/J，其中J，b分別為轉(zhuǎn)動慣量和黏性摩擦系數(shù)；D（s），R（s）和Y（s）分別為擾動、輸入和輸出。

圖1 轉(zhuǎn)速PI控制器框圖Fig.1 Block diagram of the speed PI controller

圖1中擾動至輸出的傳遞函數(shù)如下：

假設(shè)期望閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)為極點為-1/τr的一階系統(tǒng)響應(yīng)，其中τr為所期望的閉環(huán)系統(tǒng)時間常數(shù)，則根軌跡將出現(xiàn)兩種趨勢，如圖2所示，具體取決于零點-ki/kp的位置，圖中黑點代表閉環(huán)極點。圖2a所示根軌跡趨勢1中，為了確保系統(tǒng)響應(yīng)為極點為-1/τr的一階系統(tǒng)響應(yīng)，只需讓靠左側(cè)的閉環(huán)極點起作用，而右側(cè)閉環(huán)極點可用零點-ki/kp進(jìn)行抵消，若-ki/kp的值較小，即ki取值小，則右側(cè)閉環(huán)極點非常接近原點，極點的影響不能被任何零點所抵消，因而擾動抑制非常困難。

圖2 系統(tǒng)根軌跡圖Fig.2 Diagram of system root locus

值得注意的是，若假設(shè)上述傳遞函數(shù)中s=0處的零點與右側(cè)閉環(huán)極點相抵消，則會存在由于擾動引起的非零穩(wěn)態(tài)偏差，且只要ki≠0，假設(shè)也將不成立。進(jìn)一步考慮增大積分參數(shù)ki，同時為了消除擾動，將零點-ki/kp分配至更靠左的位置，但如果a≥ki/kp，則抗干擾性能受系統(tǒng)時間常數(shù)的限制。因此，僅當(dāng)a＜ki/kp時，才能實現(xiàn)令人滿意的擾動抑制，那么考慮圖2b中的情況。圖2b中兩個閉環(huán)極點位于零點-ki/kp的左側(cè)，根據(jù)經(jīng)典控制理論，超調(diào)是不可避免的，即使左側(cè)閉環(huán)極點位于-1/τr，也無法實現(xiàn)一階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。

另一方面，也可以通過合理配置兩個所需的復(fù)共軛閉環(huán)極點來改善擾動抑制性能，即通過指定一個帶超調(diào)的閉環(huán)瞬態(tài)響應(yīng)來實現(xiàn)擾動抑制，這允許較大的ki/kp值，如圖2b所示。但從圖2b可清楚地看出，此時由于存在一個無法消除的閉環(huán)零點，這將使得實際系統(tǒng)響應(yīng)與配置復(fù)共軛極點時期望的系統(tǒng)響應(yīng)不符。

綜上可得傳統(tǒng)PI控制器具有的局限性為：當(dāng)輸入所期望的轉(zhuǎn)速指令，同時需抑制外部負(fù)載擾動時，沒有一個較好的PI參數(shù)整定規(guī)律。因此，下面將引入TDOF魯棒控制器方案進(jìn)行轉(zhuǎn)速控制。

2 TDOF魯棒控制器

圖3為TDOF魯棒控制器框圖。

圖3 TDOF魯棒控制器框圖Fig.3 Block diagram of the TDOF robust controller

圖3中控制單元CA（s）和CB（s）的表達(dá)式分別為

其中

式中：P（s），P（ns）分別為實際受控對象的數(shù)學(xué)模型和標(biāo)幺后的數(shù)學(xué)模型；Gr（ys）為R（s）至Y（s）的期望模型；Q（s）為巴特沃思二階濾波器；Jn，Bn分別為電機(jī)的標(biāo)稱轉(zhuǎn)動慣量和黏性摩擦系數(shù)，Jn＞0，Bn＞0；τ1為濾波器參數(shù)，需適當(dāng)選擇以確保系統(tǒng)魯棒性和擾動抑制能力。

因外部擾動至輸出的傳遞函數(shù)均與[1-Q（s）]成正比，而[1-Q（s）]的頻率響應(yīng)可視為零頻率處增益為零的高通濾波器的頻率響應(yīng)，其轉(zhuǎn)折頻率接近于 1/τ1。因此，當(dāng)選擇 1/τ1遠(yuǎn)大于閉環(huán)系統(tǒng)帶寬，即1/τ1?1/τr時，對參數(shù)不確定性和外部擾動都將具有較好的魯棒性。

3 PMSM數(shù)學(xué)模型

PMSM在d-q坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為

式中：ω，TL和Te分別為PMSM轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、負(fù)載轉(zhuǎn)矩和輸出轉(zhuǎn)矩；ud，uq，id和iq分別為d，q軸定子電壓和電流；Ld，Lq，Rs，np和ξM分別為d，q軸電感、定子電阻、極對數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù)。

當(dāng)Ld=Lq時，為表貼式PMSM；當(dāng)Ld≠Lq時，則對應(yīng)為內(nèi)嵌式PMSM。

4 PMSM魯棒轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)

其中

式中：α1＞0，β2＞0，α2，α3和β1為實常數(shù)，并有α1+α2+α3=1和β1+β2=1。

若控制律中相關(guān)參數(shù)滿足：

則有：

因此需配置參數(shù)α1，α2，β1和β2滿足式（9）?，F(xiàn)在考慮電流控制律如下：

式中：rd，rq，Rdi和Rqi為正常數(shù) PI參數(shù)；u為控制輸入。

其中

將式（11）代入式（4）可得：

最后閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)由式（10）和式（13）～式（16）所描述，同時若Rs+rd＞0，Rdi＞0，則式（16）中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)關(guān)系式如下：

式（17）表明式（16）中的工作點全局指數(shù)穩(wěn)定，下面僅需分析控制律式（12）作用下，式（10）和式（13）～式（15）的穩(wěn)定性即可。定義狀態(tài)向量式（10）和式（13）～式（15）可寫為矩陣形式如下：

式中：A3為常數(shù)向量；A1，A2（x）具有非零元素。

值得注意的是，式（18）中雙線性項A2（x）id包含了PMSM模型中的非線性項，故A2（x）對x是線性的。從而對有限的正常數(shù)k2，有式（18）所描述非線性微分方程的解為

假設(shè)矩陣A1為Hurwitz矩陣，則對于正常數(shù)γ1＞0 和λ1＞0，滿足因此，取兩邊的Euclidean范數(shù)，并使用式（17）和||A2（x）||≤k2x，以及和 Gronwall-Bellman不等式，可得：

其中

注意到式（20）中，對t＞0，λ＞0 和λ1＞0，有且隨著時間推移將指數(shù)收斂至零，同時有B（t）＞0。故可得到結(jié)論為：若λ＞0和λ1＞0，則x（t）全局指數(shù)收斂至零。

綜上，PMSM施加式（8）、式（11）和式（12）所描述的控制律后構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，若滿足矩陣A1為Hurwitz矩陣，Rs+rd＞0，Rdi＞0和式（9），則系統(tǒng)狀態(tài)x，id和φ將全局指數(shù)收斂為零。至此，完成了魯棒轉(zhuǎn)速控制器的穩(wěn)定性證明，根據(jù)上述穩(wěn)定性分析結(jié)論也可以指導(dǎo)控制器參數(shù)的選擇，從控制律可得：

若黏性摩擦系數(shù)Bn值較小（這在實際電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)中較為常見），則可使用近似于1的β2＞1來滿足式（9）中第1個條件，然后由β1+β2=1，可設(shè)置較小的β1＜0和α2＜0來滿足式（9）中第2個條件。因此，進(jìn)一步必須選擇一個可能較大的α1＞0來滿足式（9）中第1個條件，同時根據(jù)α1+α2+α3=1得到α3。

5 實驗驗證及結(jié)論

為了評估所設(shè)計的用于PMSM驅(qū)動系統(tǒng)的新型TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器，搭建了實驗平臺，平臺構(gòu)成框圖如圖4所示。測試采用與傳統(tǒng)PI轉(zhuǎn)速控制器對比的方式進(jìn)行，其中兩種方案電流內(nèi)環(huán)控制保持了一致，但新方案中配置了TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制律。測試PMSM型號為Estun（EMJ-04APB22），其主要參數(shù)如下：額定功率Pn=400 W，轉(zhuǎn)矩常數(shù)ξM=0.301 N·m/A，額定電流Irms=2.7 A，永磁磁鏈Ψpm=0.061 5 Wb，額定電壓Urms=200 V，額定轉(zhuǎn)速ωn=3 000 r/min，額定轉(zhuǎn)矩Tn=1.27 N·m，極對數(shù)np=4，定子電阻Rs=2.7Ω，定子電感Ld=Lq=8.5mH，標(biāo)稱轉(zhuǎn)動慣量Jn=0.000 031 7 kg·m2，總轉(zhuǎn)動慣量JT=5.2Jn=0.000 167 1 kg·m2，標(biāo)稱黏性摩擦系數(shù)Bn=0.000 052 8 N·ms/rad，總黏性摩擦系數(shù)BT=2Bn=0.000 106 9 N·ms/rad，標(biāo)稱靜摩擦cn=0.028 9 N·m，總靜摩擦cT=1.32cn=0.038 4 N·m。

圖4 實驗平臺配置框圖Fig.4 Block diagram of the platform configuration

配置無刷直流電機(jī)（brushless DC，BLDC）作為串軸負(fù)載電機(jī)用于施加外部轉(zhuǎn)矩擾動。同時聯(lián)軸器具有一定的質(zhì)量，可有效增加整個系統(tǒng)的慣性，并引入慣性不確定性。控制算法由TI公司的開發(fā)套件TMDSHVMTRPFCKIT實現(xiàn)。電流控制內(nèi)環(huán)采樣周期設(shè)置為100 μs，轉(zhuǎn)速控制外環(huán)采樣周期設(shè)置為500 μs。實驗波形則由型號為MDO3024的Tektronix示波器測得。其中BLDC可在系統(tǒng)中引入轉(zhuǎn)矩擾動，即BLDC與PMSM聯(lián)接時，上述相關(guān)慣性參數(shù)將發(fā)生改變，其中總轉(zhuǎn)動慣量將達(dá)到標(biāo)稱值5倍以上。

首先進(jìn)行了PMSM空載下轉(zhuǎn)速參考階躍測試。將所需的閉環(huán)動態(tài)響應(yīng)設(shè)置為一階系統(tǒng)響應(yīng)，時間常數(shù)設(shè)為50 ms，轉(zhuǎn)速參考ω*從0階躍變至1 500 r/min，兩種方案下的測試結(jié)果如圖5所示。從圖5d的轉(zhuǎn)速波形可以看出，在TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器作用下，實際轉(zhuǎn)速在ω*階躍50 ms后達(dá)到了參考值的63.2%，略高于傳統(tǒng)PI方案的60%。而PI轉(zhuǎn)速控制器參數(shù)已按照第1節(jié)思路進(jìn)行了最優(yōu)整定，兩種控制器的參數(shù)如表1所示，其中TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器的參數(shù)是依據(jù)第4節(jié)中穩(wěn)定性條件設(shè)計的。測試結(jié)果表明了兩種控制器的響應(yīng)均符合預(yù)期設(shè)計。

圖5 轉(zhuǎn)速參考階躍測試結(jié)果Fig.5 Test results of the speed reference step

表1 控制器參數(shù)Tab.1 Parameters of the controllers

進(jìn)一步，將BLDC通過聯(lián)軸器與PMSM聯(lián)接，這使得轉(zhuǎn)動慣量JT=5.2Jn，同時還改變了黏性摩擦系數(shù)和靜摩擦，見前文PWM主要參數(shù)，但測試中BLDC不產(chǎn)生任何轉(zhuǎn)矩。將ω*從0階躍變至1 500 r/min，而兩種控制器參數(shù)均保持不變，測試結(jié)果如圖6所示。其中，圖6a中轉(zhuǎn)速波形顯示TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器較傳統(tǒng)PI控制器上升時間快，調(diào)節(jié)時間小，無超調(diào)，仍能實現(xiàn)預(yù)期動、靜態(tài)性能，驗證了其對轉(zhuǎn)動慣量的魯棒性。

圖6 轉(zhuǎn)動慣量魯棒性測試結(jié)果Fig.6 Robustness test results of moment of inertia

保持前次測試條件，利用BLDC施加轉(zhuǎn)矩擾動，TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器參數(shù)保持不變，以驗證其魯棒性，而PI轉(zhuǎn)速控制器的參數(shù)則調(diào)整為kp=0.14和ki=0.15，以便再次獲得50 ms的時間常數(shù)，調(diào)整的原因是為了對比更為公平。測試中BLDC在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下施加了±0.25 N·m的轉(zhuǎn)矩擾動，圖7為測試結(jié)果，其中圖7b～圖7d示出了PI轉(zhuǎn)速控制器的響應(yīng)，可以看出負(fù)載轉(zhuǎn)矩擾動使轉(zhuǎn)速跟蹤控制惡化，盡管PI轉(zhuǎn)速控制器可實現(xiàn)所需的動態(tài)響應(yīng)，但其無法實現(xiàn)良好的抗擾性。另一方面，圖7e～圖7g給出了TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器的響應(yīng)，正如預(yù)期一樣，轉(zhuǎn)矩擾動并沒有對轉(zhuǎn)速跟蹤有影響，擾動很快得到抑制。綜合圖6和圖7的測試結(jié)果可得到結(jié)論：在應(yīng)對系統(tǒng)參數(shù)不確定性和轉(zhuǎn)矩擾動方面，TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器較傳統(tǒng)PI轉(zhuǎn)速控制器的魯棒性更好。

圖7 負(fù)載轉(zhuǎn)矩擾動魯棒性測試結(jié)果Fig.7 Robustness test results of load torque disturbance

TDOF魯棒控制律與電機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù)直接關(guān)聯(lián)，但實際工程中難以準(zhǔn)確地得到此常數(shù)。為此，在保持BLDC與PMSM通過聯(lián)軸器聯(lián)接情況下，設(shè)置轉(zhuǎn)矩常數(shù)為標(biāo)稱值的2倍和1/2，然后利用BLDC施加轉(zhuǎn)矩擾動進(jìn)行轉(zhuǎn)速參考階躍測試，實驗結(jié)果如圖8所示。圖8對比圖7可看出，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)保持了一致，但當(dāng)高估轉(zhuǎn)矩常數(shù)時，外部轉(zhuǎn)矩擾動將引起一定的系統(tǒng)震蕩，這是因為對于較大的轉(zhuǎn)矩常數(shù)值系統(tǒng)將降低電流指令值，進(jìn)而降低了控制器的魯棒性。但震蕩仍遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)PI轉(zhuǎn)速控制器，僅約為轉(zhuǎn)速參考的7.5%。故新方案仍具有對系統(tǒng)參數(shù)不確定性和對負(fù)載轉(zhuǎn)矩擾動的出色的魯棒性。

圖8 標(biāo)稱轉(zhuǎn)矩常數(shù)不匹配測試結(jié)果Fig.8 Test results of nominal torque constant mismatch

圍繞PMSM的高性能轉(zhuǎn)速控制，設(shè)計了一種TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器?？刂破骷軜?gòu)包含有經(jīng)典電流控制內(nèi)環(huán)和TDOF轉(zhuǎn)速控制外環(huán)，整個控制系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性得到了證明，同時穩(wěn)定性條件為控制器的參數(shù)整定提供了依據(jù)?；赑MSM驅(qū)動測試平臺開展了新方案和傳統(tǒng)PI轉(zhuǎn)速控制器的對比實驗。測試結(jié)果表明，新方案下閉環(huán)系統(tǒng)對參數(shù)不確定性和轉(zhuǎn)矩擾動抑制方面具有較強(qiáng)的魯棒性，可實現(xiàn)預(yù)期動態(tài)響應(yīng)。新型TDOF魯棒轉(zhuǎn)速控制器對兩種類型的PMSM均有效，且實現(xiàn)簡單，綜合性能較優(yōu)，進(jìn)一步的研究將集中于無速度傳感器實現(xiàn)。