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        一種求解信賴域子問題的多割線折線算法

        2022-02-22 01:31:42
        寧夏師范學(xué)院學(xué)報 2022年1期

        李 亮

        (華中師范大學(xué)附屬息縣高級中學(xué),河南 息縣 464300)

        在無約束優(yōu)化問題的研究中,信賴域算法不僅具有較好的可靠性,而且具有較強的收斂性,受到無約束優(yōu)化研究界的高度重視,成為優(yōu)化研究界的一個研究熱點.

        無約束優(yōu)化問題如下

        minf(x),x∈Rn,

        (1)

        其中f(x)∶Rn→R是目標(biāo)函數(shù),x∈Rn是待求變量.

        因為信賴域算法求解無約束優(yōu)化問題(1)時,每步迭代都必須求解如下形式的信賴域子問題

        (2)

        其中,g∈Rn為目標(biāo)函數(shù)f(x)在當(dāng)前迭代點的梯度,B∈Rn×n為目標(biāo)函數(shù)f(x)在當(dāng)前迭代點的Hessian矩陣,Δ∈R為信賴域半徑,δ∈Rn為待求變量.所以信賴域子問題(2)的求解在信賴域算法中至關(guān)重要.

        目前已經(jīng)提出了很多求解信賴域子問題(2)的方法,比如趙英良等[1]提出的切線單折線法,趙丹[2]提出的混合折線法,陳爭等[3]提出的光滑牛頓法,王希云等[4]提出的雙割線折線法,李亮等[5]提出的分段割線法,文獻[6]提出的隱式分段折線算法,文獻[7]提出的分段切線算法,文獻[8]提出的改進的隱式Euler切線法,賈新輝等[9]提出的改進的平均歐拉切線法,武姝廷等[10]提出的基爾方法等.

        定理1[11]δ*是信賴域子問題(2)的解,當(dāng)且僅當(dāng)存在μ*≥0,使得如下方程組成立

        (3)

        而且(B+μ*I)是半正定矩陣.

        24例動脈瘤患者中CT掃描結(jié)果,小型動脈瘤(<5mm)7例,中型動脈瘤(5~10mm)12例,大型動脈瘤(11~25mm)4例,巨大型動脈瘤(>25mm)1例,24例動脈瘤中21例存在破口。

        由定理1可知,信賴域子問題(2)的精確求解方法即是求解如下方程組

        (4)

        利用牛頓法[11]求解方程組(4)的步驟

        當(dāng)μ=0時,則取δ*=-B-1g;

        因此為了更精確的求解非線性方程φ(μ)=0的近似根,本文利用線性插值法[12]構(gòu)造了一條多割線折線,并提出了一種求解信賴域子問題的多割線折線算法.

        1 多割線折線的構(gòu)造

        對插值節(jié)點(μk,yk),k=0,1,2,…,M采用文獻[12]中的線性插值法構(gòu)造M條直線,每條直線對應(yīng)的一次函數(shù)記為lk(μ),k=1,2,…,M.把構(gòu)造的M條直線連接起來構(gòu)成一條多割線折線,符號記為L=[y0,y1,…,yM].

        2 多割線折線路徑的性質(zhì)

        定理2記多割線折線L=[y0,y1,…,yM]對應(yīng)的分段函數(shù)如下

        (5)

        則L(μ)滿足

        ①L(μ)為連續(xù)單調(diào)增函數(shù).

        3 算法描述

        解信賴域子問題(2)的多割線折線算法的步驟為

        步1 給定梯度g,正定矩陣B,信賴域半徑Δ,步長h.

        步3 令μk=kh,計算yk=f(μk).

        4 數(shù)值結(jié)果

        采用文末附錄中的測試函數(shù),令多割線折線算法中的步長h=0.1,文獻[7]中的歐拉切線算法步長中的參數(shù)k=8,然后進行數(shù)值實驗,把多割線折線算法求解的測試函數(shù)在最優(yōu)解處的函數(shù)值分別與文獻[1]中的切線單折線法和文獻[7]中的分段切線算法求解的測試函數(shù)在最優(yōu)解處的函數(shù)值進行比較,并對數(shù)值實驗結(jié)果進行了分析.數(shù)值實驗結(jié)果分別列在表1和表2中,其中Δ表示信賴域半徑,fTDL表示切線單折線法求解的測試函數(shù)在最優(yōu)解處的函數(shù)值,fSTA表示分段切線算法求解的測試函數(shù)在最優(yōu)解處的函數(shù)值,fMSD表示多割線折線算法求解的測試函數(shù)在最優(yōu)解處的函數(shù)值.哪種算法求解的測試函數(shù)在最優(yōu)解處的函數(shù)值越小,則表明該算法越好.

        表1 測試函數(shù)1的數(shù)值結(jié)果

        表2 測試函數(shù)2的數(shù)值結(jié)果

        ΔfTDLfSTAfMSD3.3-22 316.032 885 48-23 386.275 745 38-23 386.343 192 643.8-22 476.231 429 06-23 416.650 080 99-23 416.680 881 784.3-22 616.807 965 29-23 442.274 587 55-23 442.290 486 984.9-22 766.971 341 43-23 469.004 596 76-23 469.013 302 355.3-22 857.938 076 34-23 484.974 157 06-23 484.979 317 365.7-22 942.494 095 14-23 499.702 926 65-23 499.706 710 636.3-23 058.353 283 21-23 519.738 899 23-23 519.741 167 526.8-23 145.533 588 69-23 534.723 779 98-23 534.725 140 857.3-23 224.657 041 60-23 548.266 788 91-23 548.267 101 817.8-23 296.024 927 90-23 560.440 991 88-23 560.440 577 388.2-23 347.685 789 06-23 569.231 407 96-23 569.230 780 988.7-23 405.613 330 47-23 579.067 428 40-23 579.067 194 459.2-23 456.277 227 86-23 587.653 114 57-23 587.652 425 549.8-23 507.631 575 85-23 596.339 869 59-23 596.339 256 5510.2-23 536.210 666 68-23 601.167 162 89-23 601.166 927 6810.7-23 565.629 335 18-23 606.130 751 82-23 606.130 397 9611.2-23 588.091 984 84-23 609.916 574 35-23 609.916 169 1011.8-23 605.926 946 85-23 612.919 381 27-23 612.919 310 3912.3-23 613.231 507 39-23 614.148 100 54-23 614.148 073 09≥12.59-23 614.333 333 33-23 614.333 333 33-23 614.333 333 33

        文中所用測試函數(shù)如下

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