董 健, 李云章

(北京工業(yè)大學(xué)理學(xué)部， 北京 100124)

近年來, Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1-3]的理論成果在聯(lián)想記憶和最優(yōu)化計(jì)算等方面有了廣泛的應(yīng)用, 因此對(duì)于Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究越來越多地引起了人們的關(guān)注[4-7]. 在Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的常微分方程模型被提出之后, 學(xué)者們就將有限時(shí)滯和無窮時(shí)滯引入到模型中, 以求更精確地模擬現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象. 而時(shí)滯的出現(xiàn)會(huì)很大程度地影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì), 使網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)變得更加復(fù)雜.

在文獻(xiàn)[3]中, 一類具有有限時(shí)滯的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

(1)

被提出, 并對(duì)系統(tǒng)(1)的線性化系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析. 此外, 亦有許多學(xué)者對(duì)上述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了研究, 給出了在不同條件下系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的判據(jù)[4,8]. 而相比具有有限時(shí)滯的系統(tǒng)，含有無窮時(shí)滯的系統(tǒng)在一定程度上更能準(zhǔn)確地描述神經(jīng)元之間實(shí)際的相互作用. 因此，無窮時(shí)滯被引入到Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中.

Gopalsamy等[4]研究了具有無窮時(shí)滯的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

(2)

并給出了解存在和解趨向于平衡點(diǎn)的判據(jù). 在文獻(xiàn)[9-10]中, 對(duì)于滿足不同條件的激勵(lì)函數(shù), 通過Lyapunov泛函方法給出了系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)與滯量無關(guān)的全局漸近穩(wěn)定的充分條件. 而對(duì)于其他具有無窮時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)亦有諸多學(xué)者進(jìn)行了深入的研究. Liao等[11]通過構(gòu)造合適的Lyapunov泛函給出了具有有限和無窮時(shí)滯的Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)全局吸引的判據(jù). Zhao等[12]利用Lyapunov方法和線性矩陣不等式技術(shù)給出了一類雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正不變集和全局指數(shù)吸引集存在的一些代數(shù)準(zhǔn)則, 并對(duì)全局指數(shù)吸引域作出了估計(jì). 趙洪涌等[13]給出了一類具有分布時(shí)滯的雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡態(tài)一致穩(wěn)定和全局漸近穩(wěn)定的充分條件. 鐘守銘等[14]對(duì)細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了研究, 給出了平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的幾個(gè)判據(jù). 此外, 廖曉峰等[15-16]對(duì)2類帶連續(xù)分布時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在具有強(qiáng)核和弱核的情況下的漸近穩(wěn)定性進(jìn)行了研究. 然而, 對(duì)于系統(tǒng)(2), 亦有學(xué)者考慮其具有S分布時(shí)滯的動(dòng)力學(xué)性質(zhì). 鄧瑾等[17]、馬亞鋒等[18]給出了系統(tǒng)(2)具有S分布時(shí)滯的不變集、吸引集和全局漸近穩(wěn)定性的判據(jù). 而諶紅美等[19]則利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理, 通過構(gòu)造Lyapunov泛函, 結(jié)合Hardy不等式和推廣的Halanay時(shí)滯微分不等式, 給出了一類具有S分布時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件. 再有，盧文聯(lián)等[20]研究了一類具有S分布的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(亦稱Grossberg-Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))殆周期解的存在唯一性和全局穩(wěn)定性. 此外, 還有許多學(xué)者對(duì)具有S分布時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了大量的研究[21-27]. 然而在以上的研究中更多地是通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)或泛函的方法來得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性質(zhì), 但是事實(shí)上構(gòu)造Lyapunov函數(shù)或泛函并不是一件容易的事. 本文考慮具有S分布時(shí)滯的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

(3)

式中：t≥0；ai、bij是實(shí)值常數(shù)；Kij(s)是(-∞,0]上的單調(diào)不減的有界變差函數(shù)；函數(shù)fj(u)在(-∞,∞)上是連續(xù)可微的.

系統(tǒng)(3)的初始條件為

xi(s)=φi(s)(-∞(i=1,2,…,n)

(3)

式中初始函數(shù)φi(s)(i=1,2,…，n)在(-∞,0]上是連續(xù)的, 并且存在α>0使得

受文獻(xiàn)[5-7]的啟發(fā), 本文利用常微分方程比較原理和一種迭代技巧證明了系統(tǒng)解的有界性, 并基于M-矩陣?yán)碚摵鸵活惙蔷€性代數(shù)方程組給出了系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)全局吸引的一個(gè)充分條件.

1 主要結(jié)論及證明

對(duì)系統(tǒng)(3)做一些假設(shè). 假設(shè)系統(tǒng)(3)滿足下列條件：

條件1ai>0 (i=1,2,…，n).

引理1如果條件1～4成立, 那么系統(tǒng)(3)的任意解(x1(t),x2(t),…，xn(t))T有

(i=1,2,…，n), 其中非負(fù)常數(shù)Mi(i=1,2,…，n)滿足非線性代數(shù)方程組

證明：由條件2和4以及系統(tǒng)(3)可得

(i=1,2,…，n). 由此根據(jù)常微分方程比較原理得到

(i=1,2,…，n). 因此對(duì)于任意充分小的正常數(shù)η>0, 存在一個(gè)充分大的T0=T0(η)>0使得當(dāng)t>T0時(shí), 有

(i=1,2,…，n). 因此, 由條件3和系統(tǒng)(3)可得

(i=1,2,…，n), 其中

(i,j=1,2,…，n). 根據(jù)條件4容易知道

(i,j=1,2,…，n). 根據(jù)常微分方程比較原理得到

(t>T0,i=1,2,…，n). 對(duì)不等號(hào)右端的積分項(xiàng)應(yīng)用洛必達(dá)法得到

(i=1,2,…，n). 由此不等式成立

(i=1,2,…，n). 令η→0, 得到

(i=1,2,…，n). 重復(fù)以上過程, 得到一個(gè)滿足

(4)

(i=1,2,…，n), 那么對(duì)式(4)令k→∞, 就得到

(i=1,2,…，n), 并且

(i=1,2,…，n). 引理1證畢.

引理2[28]令

Zn×n={(fij)n×n|fij≤0,i≠j,i,j=1,2,…，n}

并且F=(fij)n×n∈Zn×n, 則下面2個(gè)命題等價(jià):

1)F的所有主子式非負(fù).

2) 如果x≠0并且y=Fx, 那么存在下腳標(biāo)i使得xi≠0，并且xiyi≥0.

定理1如果條件1～4成立, 且矩陣滿足引理2中的條件1)或2), 那么系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)(0,0,…，0)T是全局吸引的. 其中=(ij)n×n,ii=ai-|bii|,ij=-|bij|(i≠j;i,j=1,2,…，n).

證明：假設(shè)Mi≥0(i=1,2,…，n), 并且滿足非線性代數(shù)方程組

(5)

先來證明Mi(i=1,2,…，n)不可能同時(shí)大于零. 假設(shè)Mi(i=1,2,…，n)同時(shí)大于零, 那么由條件3和式(5)得到

(i=1,2,…，n). 可以寫成矩陣形式

-M<0

(6)

式中M=(M1,M2,…，Mn)T>0. 令x=M>0且y=-M.那么根據(jù)引理2, 存在下腳標(biāo)i使得

這便和式(6)矛盾. 因此Mi(i=1,2,…，n)不可能同時(shí)大于零.

不失一般性,假設(shè)Mn=0, 那么帶有n個(gè)未知量Mi(i=1,2,…，n)的非線性代數(shù)方程組(5)就退化為帶有n-1個(gè)未知量Mi(i=1,2,…，n-1)的非線性代數(shù)方程組

(i=1,2,…，n-1). 再重復(fù)上面的討論，一定存在某個(gè)k(1≤k≤n-1)使得Mk=0. 不失一般性，可以假設(shè)Mn-1=0. 再次重復(fù)上面的過程, 就得到M2=M3=…=Mn-1=0, 并且有

如果b11=0, 那么顯然M1=0. 如果b11≠0并且M1>0, 那么由條件3得到

(a1-|b11|)M1<0

這便和a1-|b11|≥0矛盾. 因此

M1=M2=…=Mn=0

再由引理1, 得到

(i=1,2,…，n). 這就說明系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)(0,0,…，0)T是全局吸引的.

2 數(shù)值模擬與結(jié)論

考慮一維系統(tǒng)

(7)

式中b是常數(shù).

首先，討論系統(tǒng)(7)的平衡點(diǎn). 將x(t)=c(c為常數(shù))帶入系統(tǒng)(7)得

c=btanhc

根據(jù)雙曲正切函數(shù)的性質(zhì), 得到

1) 若b≤1, 則系統(tǒng)(7)只有一個(gè)零平衡點(diǎn).

2) 若b>1, 則系統(tǒng)(7)有3個(gè)平衡點(diǎn), 1個(gè)正平衡點(diǎn), 1個(gè)零平衡點(diǎn), 1個(gè)負(fù)平衡點(diǎn).

其次，分析系統(tǒng)(7)的漸近穩(wěn)定性. 當(dāng)b=0時(shí), 系統(tǒng)(7)退化為常微分方程, 根據(jù)常微分方程理論知(7)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的. 當(dāng)b≠0時(shí), 系統(tǒng)(7)的線性化系統(tǒng)的特征方程為

(8)

將λ=α+iβ代入到式(8)并將實(shí)虛部分離得

(9)

由式(9), 得到特征方程(8)的根的情況:

1) 當(dāng)α+1≤0時(shí), 特征方程(8)無根.

2) 當(dāng)α+1>0且β≠0時(shí), 特征方程(8)無根.

3) 當(dāng)α+1>0且β=0且b<0時(shí), 特征方程(8)無根.

根據(jù)以上分析, 當(dāng)特征方程(8)的根只具有負(fù)實(shí)部時(shí), 即0

最后，通過數(shù)值模擬的結(jié)果來說明定理1的有效性. 容易看出系統(tǒng)(7)滿足條件1～4, 且=(1-|b|). 而矩陣滿足引理2中的條件1)或2)當(dāng)且僅當(dāng)|b|≤1. 因此由定理1知, 如果|b|≤1, 那么系統(tǒng)(7)的平衡點(diǎn)是全局吸引的. 事實(shí)上, 圖1表明, 當(dāng)滿足|b|≤1的條件時(shí), 系統(tǒng)(7)唯一的平衡點(diǎn)是全局吸引的, 這說明了定理1是有效的. 圖2說明, 當(dāng)b>1時(shí), 系統(tǒng)(7)的解趨向于2個(gè)非零的位置, 而不再收斂到零平衡點(diǎn). 實(shí)際上, 當(dāng)b>1時(shí), 系統(tǒng)(7)不再只有唯一的零平衡點(diǎn), 而是衍生出另外的一正一負(fù)2個(gè)非零平衡點(diǎn), 圖2中的解曲線實(shí)際上分別趨向于2個(gè)非零平衡點(diǎn). 而圖3表明, 當(dāng)b取得很小時(shí), 系統(tǒng)(7)唯一的平衡點(diǎn)也是全局吸引的. 本文并未從理論上證明當(dāng)b<-1時(shí), 系統(tǒng)(7)唯一的平衡點(diǎn)是全局吸引的, 但大量的數(shù)值模擬顯示當(dāng)b取得更小時(shí), 系統(tǒng)(7)在不同初始函數(shù)條件下的解曲線仍舊趨向于唯一的平衡點(diǎn).

圖1 當(dāng)b=1、b=-1時(shí), 系統(tǒng)(7)對(duì)于不同初始函數(shù)的解Fig.1 Solution of system (7) corresponding to different initial functions when b=1 or b=-1

圖2 當(dāng)b=1.01時(shí), 系統(tǒng)(7)對(duì)于不同初始函數(shù)的解Fig.2 Solution of system (7) corresponding to different initial functions when b=1.01

圖3 當(dāng)b=-1 000且初始函數(shù)φ=100時(shí), 系統(tǒng)(7)的解Fig.3 Solution of system (7) when b=-1 000 and initial function φ=100