付雪松

（甘肅省中醫(yī)院 設(shè)備管理處，甘肅 蘭州 730050）

0 引言

傳統(tǒng)的動(dòng)力系統(tǒng)主要使用無(wú)刷直流電機(jī)，其運(yùn)行時(shí)具有相應(yīng)的勵(lì)磁電流，并且功率因數(shù)小、力矩慣量比小、效率較低。而永磁同步電機(jī)具有體積小、損耗小、構(gòu)造簡(jiǎn)單，啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩大、工作可靠、調(diào)速性能好、效率高，沒(méi)有換向器和電刷等特征?；赑MSM模型，使電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)具有較大的啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩及功率過(guò)載能力，同時(shí)也具有較高的系統(tǒng)控制精度、頻繁啟停及反復(fù)運(yùn)動(dòng)的能力和較好的動(dòng)態(tài)抗擾性能。綜上，研究高精度控制算法來(lái)控制永磁同步電機(jī)，將整數(shù)階PI控制器替換為分?jǐn)?shù)階PIλ控制器，使其滿足動(dòng)力系統(tǒng)對(duì)電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)快、位置控制精度高、無(wú)振動(dòng)的性能要求。

1 方法

1.1 PMSM模型建立

為了使動(dòng)力系統(tǒng)達(dá)到多輸入、強(qiáng)耦合、非線性系統(tǒng)的要求，對(duì)永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型提出以下要求：首先啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩低，沒(méi)有滯回?fù)p耗和溝槽效應(yīng)，噪音低；其次，轉(zhuǎn)子與定子間無(wú)徑向力；最后，在電機(jī)高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，電感值要很小，這使得電機(jī)啟動(dòng)電壓低，同時(shí)降低電機(jī)的重量，提高功率密度。

對(duì)所研究的電機(jī)作如下假設(shè)：（1）忽略永磁同步電機(jī)鐵芯的飽和；（2）不計(jì)永磁同步電機(jī)中的渦流和磁滯損耗；（3）轉(zhuǎn)子上無(wú)阻尼繞組；（4）永磁同步電機(jī)的電流為三相正弦波電流。

電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型由電壓方程、磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程組成。

電壓方程：

磁鏈方程：

轉(zhuǎn)矩方程：

運(yùn)動(dòng)方程：

在電機(jī)的分析和控制中，首先要對(duì)其模型進(jìn)行解耦，通過(guò)a、b、c三相靜止坐標(biāo)系、?-β靜止坐標(biāo)系和d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系進(jìn)行相應(yīng)變換。在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換中，前后磁動(dòng)勢(shì)和轉(zhuǎn)速嚴(yán)格不變，才能夠把將兩種坐標(biāo)等效。d、q軸以角速度ω1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)兩繞組加直流電壓Ud、Uq，產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的磁動(dòng)勢(shì)F，F(xiàn)和α、β軸坐標(biāo)等效。d軸和α軸的夾角隨d-q坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)而改變。

綜上可得：

當(dāng)三相電流不平衡時(shí)，每相電流中都含有相同的零軸分量i0，定子三相繞組完全對(duì)稱。只要是一個(gè)平衡對(duì)稱系統(tǒng)，無(wú)論三相電流是否對(duì)稱，且永磁同步電機(jī)中心不接地，則有：

永磁同步電機(jī)相關(guān)參數(shù)如下：額定電壓UN=560 V，額定轉(zhuǎn)速nN=5 000 rad/min，定子電阻R=2.875ω，交軸電感Lq=0.009 H，直軸電感Ld=0.008 5 H，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.008 kg·m2，轉(zhuǎn)子永磁磁鏈ψr=0.2 Wb，主轉(zhuǎn)子極對(duì)數(shù)p=4（對(duì)）。

1.2 PI控制

速度調(diào)節(jié)器可以使轉(zhuǎn)速n快速跟隨給定的電壓而變化，這是速度調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的主調(diào)節(jié)器。采用（廣義）PI調(diào)節(jié)器，可實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差調(diào)速；輸出的限幅電流限制了電動(dòng)機(jī)的最大允許電流，同時(shí)對(duì)負(fù)載變化的影響起到良好的抗干擾作用。在調(diào)節(jié)外環(huán)速度的同時(shí)，其作用是使電流緊密跟隨其給定電壓即外環(huán)調(diào)節(jié)器的輸出而變化，對(duì)電網(wǎng)電壓的波動(dòng)進(jìn)行抑制，起到抗干擾作用。當(dāng)電機(jī)過(guò)載甚至堵塞時(shí)，將最大電樞電流做一個(gè)限幅，在保護(hù)電機(jī)的同時(shí)還能起到快速準(zhǔn)確的自動(dòng)調(diào)節(jié)作用。當(dāng)故障消失后，系統(tǒng)可以較穩(wěn)定地恢復(fù)到正常運(yùn)轉(zhuǎn)，加快了動(dòng)態(tài)過(guò)程。

如圖1所示，ACR為電流環(huán)控制器，比例參數(shù)為kcp，積分參數(shù)為kci，采樣時(shí)間為10-6s，τi是調(diào)節(jié)器的超前時(shí)間常數(shù)，輸出上下限為650、-650，輸出電流環(huán)的控制對(duì)象是兩個(gè)時(shí)間常數(shù)相差較大的雙慣性控制對(duì)象，采用PI型的電流調(diào)節(jié)器；ASR為速度環(huán)控制器，ksp設(shè)置為比例參數(shù)，ksi設(shè)置為積分參數(shù)，采樣時(shí)間同樣為10-6s，tn是調(diào)節(jié)器的超前時(shí)間常數(shù)，輸出上下限為10、-10。

圖1 PI控制系統(tǒng)

經(jīng)計(jì)算，取ASR轉(zhuǎn)速環(huán)PI控制器中Kp=0.1、Ki=2。

1.3 分?jǐn)?shù)階控制

分?jǐn)?shù)階控制器理論和PID控制器整定理論融合后，開(kāi)辟了一個(gè)新的研究方向。這個(gè)分?jǐn)?shù)階控制器的一般格式為PIλDμ，取λ階積分，μ階微分，相比于一般PID控制器，多了2個(gè)可整定的參數(shù)。當(dāng)這些階次取分?jǐn)?shù)時(shí)，即不是傳統(tǒng)意義上的微積分。

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器相對(duì)于整數(shù)階PID控制器來(lái)說(shuō)，增加了2個(gè)可調(diào)參數(shù)λ和μ，作為不同的微積分階次，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階控制器

分?jǐn)?shù)階PIλ控制器運(yùn)用到速度控制環(huán)中，取得了較好的控制效果。由于分?jǐn)?shù)階PIλ控制器中引入了積分階次λ，使控制器參數(shù)的選取范圍變得更加靈活。本論述未涉及微分及其階次μ，下文不再贅述。

分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)設(shè)置是設(shè)計(jì)研究中非常重要的部分，各種參數(shù)的選擇和計(jì)算直接關(guān)系到控制器的控制效果。各種參數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的影響：首先，Kp為比例項(xiàng)，它可以對(duì)放大控制器輸入值的誤差進(jìn)行一定放大，用于誤差靈敏度的調(diào)節(jié)。如果增大比例系數(shù)Kp，可對(duì)出現(xiàn)的誤差做出更為迅速的反應(yīng)，從而加快系統(tǒng)的整體響應(yīng)速度；其次，積分項(xiàng)Ki的主要作用是在系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，對(duì)其進(jìn)行調(diào)節(jié)。當(dāng)系統(tǒng)存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，由于積分項(xiàng)的累加性質(zhì)，輸出誤差逐漸減小，最終減小到0，從而提高了系統(tǒng)穩(wěn)定的精度；Ki值的大小直觀地反應(yīng)出了積分作用的強(qiáng)度，如果積分作用太弱，對(duì)系統(tǒng)的影響就會(huì)太小，增加系統(tǒng)消除靜差的時(shí)間，而作用過(guò)大可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，故Ki的大小對(duì)系統(tǒng)性能的影響有著兩面性。對(duì)于分?jǐn)?shù)階次λ，使用濾波算法程序，進(jìn)行如下化簡(jiǎn)：

算法中參數(shù)為：λ、N、ωω、T，l表示分?jǐn)?shù)階的階次，N為所需逼近的精度，ωω表示擬合頻率的上下限。由于算法可能具有一定的局限性，選擇ωb·ωh=1。

按照上述理論設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階模塊，同時(shí)進(jìn)行控制變量使得Kp=0.1，Ki=2，與PI控制中參數(shù)相同。Fractiona模塊是將濾波算法的M文件進(jìn)行調(diào)用，加入一個(gè)Saturation模塊，目的是將輸入信號(hào)限制在飽和上限和下限。

分?jǐn)?shù)階次為l，下文將對(duì)其取值進(jìn)行仿真研究；逼近階設(shè)置為0.92；頻率范圍滿足ωb·ωh=1。分?jǐn)?shù)階仿真同樣采用id=0的控制策略。

2 結(jié)果

2.1 PI控制階躍響應(yīng)結(jié)果

經(jīng)仿真后，PI控制階躍響應(yīng)曲線如圖3所示，電磁轉(zhuǎn)矩波形如圖4所示。

圖3 PI控制階躍響應(yīng)曲線

圖4 PI控制器階電磁轉(zhuǎn)矩波形

2.2 PI分?jǐn)?shù)階控制階躍響應(yīng)結(jié)果

通過(guò)上述計(jì)算得l=-0.01，在MATLAB中運(yùn)行該程序，并在Simulink中仿真后，得響應(yīng)曲線如圖5所示，電磁轉(zhuǎn)矩波形如圖6所示。

圖5 分?jǐn)?shù)階控制階躍響應(yīng)曲線

圖6 分?jǐn)?shù)階控制電磁轉(zhuǎn)矩波形

3 討論

3.1 PI控制分析

PI控制仿真數(shù)據(jù)如圖7所示。

圖7 PI控制響應(yīng)數(shù)據(jù)

經(jīng)過(guò)仿真計(jì)算，轉(zhuǎn)速最大值為5 086 rmp，上升時(shí)間為0.085 s，最大轉(zhuǎn)速到給定轉(zhuǎn)速的調(diào)節(jié)時(shí)間為233.333 ms，超調(diào)量為2.727%，轉(zhuǎn)速?gòu)?到穩(wěn)定在5 000 rmp的時(shí)間為311.961 ms。電磁轉(zhuǎn)矩在電機(jī)啟動(dòng)時(shí)間較大，在0.1 s以后，逐步趨于穩(wěn)定，表明電機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在5 000 rmp。三相電流在啟動(dòng)時(shí)較大，運(yùn)行在-10～10，當(dāng)轉(zhuǎn)速趨于穩(wěn)定時(shí)，電流減小，運(yùn)行在-3～3。d軸電流基本穩(wěn)定在0附近，符合預(yù)設(shè)控制策略，這就保證了輸出轉(zhuǎn)矩最大化，且只與定子電流（iq）的幅值成正比。

由于反電動(dòng)勢(shì)代表了轉(zhuǎn)速輸出對(duì)電流環(huán)的影響，它與轉(zhuǎn)速成正比關(guān)系。通常系統(tǒng)的電磁時(shí)間常數(shù)Tl遠(yuǎn)小于機(jī)電時(shí)間常數(shù)Tm，所以電流環(huán)的變化比轉(zhuǎn)速環(huán)快得多，而且反電動(dòng)勢(shì)對(duì)電流環(huán)來(lái)說(shuō)，是個(gè)較慢的擾動(dòng)。綜上，在電流的瞬時(shí)變化中，反電動(dòng)勢(shì)基本不變。

3.2 分?jǐn)?shù)階控制分析

分?jǐn)?shù)階控制響應(yīng)數(shù)據(jù)如圖8所示。

圖8 分?jǐn)?shù)階控制響應(yīng)數(shù)據(jù)

經(jīng)過(guò)仿真計(jì)算，數(shù)據(jù)結(jié)果如圖8所示。分?jǐn)?shù)階控制轉(zhuǎn)速最大值為5 022 rmp，上升時(shí)間為0.08 s，轉(zhuǎn)速?gòu)?到穩(wěn)定在5 000 rmp的時(shí)間為1s，盡管相比PI控制的311.961 ms延長(zhǎng)到了1 s，但超調(diào)量為0.909%。電磁轉(zhuǎn)矩在電機(jī)啟動(dòng)時(shí)間較大，在0.1 s以后，逐步趨于穩(wěn)定，表明電機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在5 000 rmp。三相電流在啟動(dòng)時(shí)較大，運(yùn)行在-10～10，當(dāng)轉(zhuǎn)速趨于穩(wěn)定時(shí)，電流減小，運(yùn)行在-3～3。d軸電流基本穩(wěn)定在0附近，符合預(yù)設(shè)控制策略，這就保證了輸出轉(zhuǎn)矩最大化，且只與定子電流（iq）的幅值成正比。通過(guò)對(duì)比電磁轉(zhuǎn)矩波形，可以看出較PI控制，電機(jī)的啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩波形更為規(guī)則連續(xù)，突變程度小，更快趨于穩(wěn)定，使轉(zhuǎn)矩更緊湊地保持在0附近。

兩種仿真均采用的是id=0的控制策略。這是一種轉(zhuǎn)子磁鏈定向控制，實(shí)現(xiàn)較為容易。因?yàn)殡姌蟹磻?yīng)中，直軸部分沒(méi)有產(chǎn)生去磁分量和去磁效應(yīng)，所以沒(méi)有出現(xiàn)退磁而損壞電機(jī)。對(duì)于永磁同步電機(jī)來(lái)說(shuō)，id=0的控制即為最大轉(zhuǎn)矩電流比控制。由轉(zhuǎn)矩公式可以看出，永磁同步電機(jī)在運(yùn)行過(guò)程中，保證id=0，使定子電流產(chǎn)生的電樞磁動(dòng)勢(shì)與轉(zhuǎn)子勵(lì)磁磁場(chǎng)間的角度為90°，且只與定子電流（iq）的幅值成正比，這就保證了輸出轉(zhuǎn)矩可以達(dá)到最大值。

當(dāng)l增大時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量相應(yīng)減少，穩(wěn)定性持續(xù)提升，但是上升時(shí)間變長(zhǎng)。l過(guò)大時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)失控，穩(wěn)定性差。l減小時(shí)，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間會(huì)變長(zhǎng)，但是響應(yīng)速度比較快。因此，要使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能較好，l的值需合適。當(dāng)l=-0.001時(shí)，超調(diào)量在3次實(shí)驗(yàn)中最小，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，系統(tǒng)穩(wěn)定性最好，所以將l定為-0.001。轉(zhuǎn)速最大值為5 006 rmp，上升時(shí)間為0.08 s，此時(shí)超調(diào)量?jī)H為0.12%。

將該動(dòng)力系統(tǒng)兩種控制模式應(yīng)用于切割骨模型實(shí)驗(yàn)。對(duì)材質(zhì)、形狀等參數(shù)相同的兩塊骨模型同時(shí)進(jìn)行切割，完成后利用3D激光測(cè)量顯微鏡觀測(cè)銑削加工后的骨模型表面質(zhì)量以及利用LEXT軟件測(cè)量銑削槽進(jìn)給方向上的線粗糙度，兩種控制下的切削表面形貌模型如圖9所示。

圖9 切削表面形貌模型

圖9（a）為PI控制下的切削表面形貌，其表面有不同程度的凹凸以及積屑產(chǎn)生；圖9（b）為分?jǐn)?shù)階控制下的切削表面形貌，切削紋理清晰可見(jiàn)，有明顯的切削紋理方向。由此可以得出，不同的控制系統(tǒng)，切削表面質(zhì)量明顯不同，分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的切削情況更為理想。

接下來(lái)，對(duì)分?jǐn)?shù)階控制進(jìn)行優(yōu)化。經(jīng)計(jì)算，如圖10所示：中由上到下依次為紅線l=-0.01、紫線l=-0.007、藍(lán)線l=-0.001。當(dāng)l增大時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間逐漸減少，跟蹤加快，波形更加平穩(wěn)，快速趨于穩(wěn)定。

圖10 l取不同值時(shí)分?jǐn)?shù)階控制階躍相應(yīng)曲線

4 結(jié)論

兩種控制模式主要性能參數(shù)對(duì)比見(jiàn)表1所列。

表1 兩種控制模式參數(shù)對(duì)比

表1分別對(duì)兩種情況下的仿真曲線及其特性曲線參數(shù)作了對(duì)比，直觀地反映出了后者較前者而言更為理想，與本論述研究結(jié)論一致。兩種情況相比較，分?jǐn)?shù)階控制的超調(diào)量較PI控制減少了2.067%，上升時(shí)間下降了0.005 s，基于更加穩(wěn)定的響應(yīng)，調(diào)節(jié)時(shí)間卻延長(zhǎng)了688.039 ms。

如圖11所示，P、I參數(shù)相同的情況下，將分?jǐn)?shù)階控制參數(shù)l設(shè)置為-0.01，使兩種控制方法同時(shí)實(shí)現(xiàn)。首先PI控制的超調(diào)量遠(yuǎn)高于分?jǐn)?shù)階控制，高達(dá)2.067%；其次，在穩(wěn)定性方面，分?jǐn)?shù)階控制很快就穩(wěn)定在給定的5 000 rmp。整數(shù)階在相比之下，恢復(fù)穩(wěn)定所需要的時(shí)間大大延長(zhǎng)，分?jǐn)?shù)階整定控制的優(yōu)勢(shì)非常明顯。綜上，分?jǐn)?shù)階PIl控制器的3個(gè)參數(shù)整定為Kp=0.1、Ki=2、l=0.001。

圖11 P、I參數(shù)相同整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階階躍響應(yīng)曲線比較

通過(guò)對(duì)比，對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的電機(jī)進(jìn)行替換并采取分?jǐn)?shù)階調(diào)速控制，從分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)sλ的特性可以看出，通過(guò)不斷改變?cè)擁?xiàng)取值，分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)越小，它對(duì)系統(tǒng)的影響表現(xiàn)為較強(qiáng)的比例作用和較弱積分特征。同樣分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)越大，就導(dǎo)致越偏向分?jǐn)?shù)階積分多一些，故對(duì)其影響越大，該系統(tǒng)將表現(xiàn)出積分較強(qiáng)但比例較弱的特點(diǎn)。最終，使超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間減少，電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)更加穩(wěn)定，響應(yīng)迅速，獲得更為理想的控制效果。

考慮到各種各樣的阻力和擾動(dòng)，所以在電機(jī)的控制仿真時(shí)，假設(shè)在第0.5 s時(shí)同時(shí)給兩種控制模式下的電機(jī)Tm輸入端加入負(fù)載擾動(dòng)，此時(shí)響應(yīng)曲線如圖12所示。

圖12 加入擾動(dòng)后兩種控制響應(yīng)曲線

可以看出在受到同樣的擾動(dòng)后，二者皆有一定程度的偏離。圖12中紅色曲線為分?jǐn)?shù)階控制響應(yīng)。在受到擾動(dòng)后，轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線在發(fā)生很小的下降后以極快的速度使電機(jī)趨于穩(wěn)定運(yùn)行；而整數(shù)階PI控制，先經(jīng)過(guò)很大的下降波動(dòng)，才較為緩慢地恢復(fù)穩(wěn)定。

對(duì)分?jǐn)?shù)階控制器基于濾波算法、期望的幅值裕量Am和相位裕量φm設(shè)計(jì)最優(yōu)PIλ控制器。經(jīng)過(guò)分?jǐn)?shù)階近似優(yōu)化，計(jì)算調(diào)節(jié)該模型的分?jǐn)?shù)階控制器的階次，得到不同的轉(zhuǎn)速響應(yīng)結(jié)果。選擇系統(tǒng)階躍響應(yīng)動(dòng)、靜態(tài)特性相對(duì)最好的曲線，從而確定最后的分?jǐn)?shù)階模型。

我國(guó)動(dòng)力系統(tǒng)方面的發(fā)展剛剛起步，技術(shù)尚不成熟，相關(guān)研究資料及文獻(xiàn)較為匱乏，目前國(guó)內(nèi)市場(chǎng)上多為動(dòng)力系統(tǒng)的維修、保養(yǎng)。底層核心技術(shù)主要還是以國(guó)外引進(jìn)為主，缺乏國(guó)內(nèi)的創(chuàng)新與研發(fā)，本論述正是基于此，對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的核心進(jìn)行了研究。