張鑫，牟龍華，徐志宇

（同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海嘉定 201804）

0 引言

隨著電力系統(tǒng)繼電保護(hù)技術(shù)的高速發(fā)展，傳統(tǒng)利用工頻信息的保護(hù)技術(shù)已經(jīng)無法滿足電力系統(tǒng)的需求，基于故障暫態(tài)諧波的新原理、新技術(shù)得到了廣泛應(yīng)用和推廣［1-2］。全國各高校電力系統(tǒng)繼電保護(hù)課程已經(jīng)將暫態(tài)保護(hù)原理作為重要的教學(xué)內(nèi)容。

繼電保護(hù)是一門與實(shí)踐相結(jié)合、具有較強(qiáng)的應(yīng)用性、綜合性的專業(yè)課程，相對(duì)比較抽象［3-4］。在繼電保護(hù)教學(xué)中，實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)顯得尤為重要。為加深學(xué)生對(duì)于暫態(tài)保護(hù)原理的理解，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)中設(shè)置相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)科目，拓展學(xué)生故障暫態(tài)數(shù)據(jù)分析能力是非常必要的。這一切的基礎(chǔ)在于故障暫態(tài)諧波電壓、電流數(shù)據(jù)的獲取。

國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)電網(wǎng)故障諧波采集、數(shù)據(jù)壓縮與重構(gòu)領(lǐng)域進(jìn)行了深入地研究，取得了不少的成果，例如快速傅里葉變換［5］、小波包［6］、距離測度［7］、相似性測度［8］等暫態(tài)壓縮方法。這些研究方法都是建立在傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理的基礎(chǔ)之上，以高采樣速率獲取原始數(shù)據(jù)為前提。高速采樣不僅會(huì)增加模數(shù)轉(zhuǎn)換等模塊硬件成本，而且會(huì)得到海量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，給后續(xù)數(shù)據(jù)傳輸和存儲(chǔ)帶來巨大的壓力［9］，勢必使得暫態(tài)保護(hù)實(shí)驗(yàn)設(shè)備成本大幅上升，不利于在高校實(shí)驗(yàn)室的推廣。因此，需要一種全新的方法從根本上解決大量數(shù)據(jù)的采集、壓縮、重構(gòu)等問題，為電力系統(tǒng)暫態(tài)信號(hào)檢測提供新的思路。

壓縮感知（Compressed Sensing，CS）是一種全新的信號(hào)獲取和處理理論［10-11］。在已知信號(hào)稀疏基的條件下，壓縮感知理論能以較少的采樣數(shù)據(jù)準(zhǔn)確提取信號(hào)所含的全局信息，打破傳統(tǒng)先采樣后壓縮的處理方式，將數(shù)據(jù)采樣和數(shù)據(jù)壓縮過程合二為一，這樣不僅可極大地減少采樣裝置的成本，還能減輕后續(xù)數(shù)據(jù)傳輸和存儲(chǔ)的壓力。國內(nèi)外研究人員對(duì)壓縮感知理論進(jìn)行了研究，在信號(hào)的稀疏分解、觀測矩陣的設(shè)計(jì)以及重構(gòu)算法的改進(jìn)等方面做出了一定的貢獻(xiàn)［12-14］。壓縮感知理論在圖像壓縮、雷達(dá)信號(hào)和通信等領(lǐng)域受到了高度的關(guān)注，在電力系統(tǒng)領(lǐng)域還只是初步應(yīng)用，壓縮感知的主要研究內(nèi)容集中在電能質(zhì)量測量方面［15-16］，并未對(duì)故障暫態(tài)諧波信號(hào)采集進(jìn)行專門研究。故障諧波信號(hào)是否滿足稀疏性要求？如何建立合適的測量矩陣？故障諧波信號(hào)能否實(shí)現(xiàn)重構(gòu)？這些都是亟需解決的問題。

針對(duì)信號(hào)稀疏性分析、測量矩陣選擇、重構(gòu)算法設(shè)計(jì)及硬件實(shí)現(xiàn)等壓縮感知關(guān)鍵問題，提出一種基于壓縮感知的電網(wǎng)故障諧波檢測方法。通過對(duì)故障暫態(tài)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，證明故障諧波信號(hào)在頻域符合稀疏條件；建立基于Gram矩陣的優(yōu)化測量矩陣，完整提取出諧波信號(hào)的有效信息；設(shè)計(jì)一種壓縮采樣匹配追蹤算法，在信號(hào)稀疏度未知的情況下準(zhǔn)確重構(gòu)故障諧波信號(hào)；研制可實(shí)現(xiàn)故障數(shù)據(jù)壓縮感知的故障錄波儀。實(shí)驗(yàn)與仿真分析表明，基于壓縮感知的電網(wǎng)故障諧波檢測方法能準(zhǔn)確提取故障信號(hào)的完整信息，具有理想的故障暫態(tài)諧波信號(hào)檢測效果。可用于高校繼電保護(hù)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，還可向電力行業(yè)進(jìn)行推廣，為暫態(tài)保護(hù)發(fā)展應(yīng)用助力。

1 壓縮感知理論

根據(jù)壓縮感知理論，若原始信號(hào)在某個(gè)變換域具有稀疏性，那么可用一個(gè)與變換基不相關(guān)的測量矩陣將高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間，通過求解優(yōu)化問題即可高概率重構(gòu)出原始信號(hào)［17］。

假設(shè)原始信號(hào)x∈RN，根據(jù)線性空間理論，該N維信號(hào)可用N×1 維基函數(shù)｛Ψi｝N i＝0的線性組合表示。若此基函數(shù)ψ1，ψ2…ψN相互滿足正交條件，則信號(hào)x可以表示為［18］：

式中：αi＝〈x，Ψi〉；Ψ ＝［ψ1，ψ2，…ψN］；α為N×1 維矩陣；Ψ為N×N維稀疏基。由此可知，x 是信號(hào)的時(shí)域表示，而α則是信號(hào)在Ψ域的稀疏表示形式。測量時(shí)，利用特定的測量矩陣Φ［Φ為M×N維的測量矩陣（M＜＜N）］對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行觀測，得到觀測向量

通過測量矩陣Φ可將原始信號(hào)x 中的有效信息完整地提取出來，得到觀測向量y。

由式（2）可見，從y直接恢復(fù)x 是一個(gè)病態(tài)方程，存在無窮多個(gè)解。將式（1）代入式（2）可得：

式中，Θ ＝ΦΨ為恢復(fù)矩陣。由于α是稀疏的且具有有限個(gè)未知數(shù)，則可以通過l0范數(shù)優(yōu)化來重構(gòu)原始信號(hào)：

2 基于壓縮感知的諧波檢測算法

2.1 諧波信號(hào)的稀疏性分析

壓縮感知理論指出，當(dāng)原始信號(hào)在某個(gè)特定變換域滿足稀疏條件時(shí)，可用一個(gè)與稀疏變換基不相關(guān)的測量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行線性降維觀測，以較少的采樣數(shù)據(jù)完整包含信號(hào)所蘊(yùn)含的有效信息，再以信號(hào)重構(gòu)算法提取基波及各次諧波分量。由此可知，信號(hào)滿足一定的稀疏性是運(yùn)用壓縮感知理論的前提。

稀疏信號(hào)可定義為［18］：若原始信號(hào)在以Ψ為稀疏基的變換域上可表示為x ＝Ψα，式中α為信號(hào)x的稀疏表示形式。當(dāng)α中只有k個(gè)非零或較大的系數(shù)，而其他的系數(shù)為零或較小值時(shí)，則稱信號(hào)x 在Ψ域上為k-稀疏的。

為證明電網(wǎng)故障暫態(tài)諧波信號(hào)滿足上述的稀疏條件，假設(shè)故障信號(hào)

式中：A0、f0和φ0分別為基波分量參數(shù)；Ah、fh和φh則分別為諧波分量參數(shù)。對(duì)諧波信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，可得：

將式（5）代入式（6）可得：

對(duì)式（7）進(jìn)行化簡，可得諧波信號(hào)在頻域的表達(dá)形式

由式（8）可知，故障信號(hào)在頻域主要由基波分量和各次諧波分量兩部分構(gòu)成。在雙邊傅里葉變換下，諧波信號(hào)中的每一個(gè)頻率對(duì)應(yīng)著兩條頻譜，且這兩條譜線相互對(duì)稱。假設(shè)諧波信號(hào)中共含有h次諧波分量，則根據(jù)上述分析可知h次諧波分量在頻域的稀疏度為2h，再計(jì)及基波分量在頻域的稀疏度2，可知諧波信號(hào)在傅氏變換域的稀疏度為2（h+1）。此外，隨著諧波次數(shù)的增加，對(duì)應(yīng)諧波分量的幅值也逐漸減小?？筛鶕?jù)實(shí)際情況設(shè)置一個(gè)閾值，當(dāng)諧波分量的幅值小于此閾值時(shí)，可以將其置為零，保證所及諧波信號(hào)在頻域符合稀疏條件。

為更清楚地論述諧波信號(hào)在頻域中的稀疏性，故障信號(hào)頻譜如圖1 所示。

圖1 故障信號(hào)幅頻特性曲線

信號(hào)中基波和各次諧波分量在頻域有兩條相互對(duì)稱的譜線，為便于敘述只對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行單邊傅里葉變換，在圖1 中基波和各次諧波分量分別對(duì)應(yīng)一條譜線，其中f0為基波頻率，A0為基準(zhǔn)幅值。通過幅頻特性曲線可以看出，諧波信號(hào)在頻域具有稀疏性，符合壓縮感知理論應(yīng)用前提。

2.2 測量矩陣的優(yōu)化

若要通過較少的采樣點(diǎn)來完整獲取信號(hào)中的信息，并能準(zhǔn)確恢復(fù)原始信號(hào)，需要構(gòu)造出性能優(yōu)異的測量矩陣。測量矩陣的設(shè)計(jì)是壓縮感知理論中的核心。根據(jù)約束等距準(zhǔn)則（Restricted Isometry Principle，RIP）與不相干性原則，測量矩陣Φ 和信號(hào)稀疏變換基Ψ必須滿足不相干條件。為易于硬件實(shí)現(xiàn)，所構(gòu)造的測量矩陣應(yīng)有以下性質(zhì)：測量矩陣與稀疏變換基的相干性很低，以確保信號(hào)的重構(gòu)精度；采樣數(shù)據(jù)要盡可能的少；測量矩陣所需的存儲(chǔ)空間較少，元素值較為簡單。

測量矩陣主要分為隨機(jī)性測量矩陣與確定性測量矩陣兩大類［19］。隨機(jī)性測量矩陣，如高斯隨機(jī)測量矩陣、伯努利隨機(jī)測量矩陣等，其與大部分的正交變換基都滿足不相干的條件，能較為準(zhǔn)確地重構(gòu)原始信號(hào)。由于矩陣中的元素是隨機(jī)生成的，難以微處理器實(shí)現(xiàn)。

綜合考慮觀測性能及工程化需求，對(duì)現(xiàn)有確定性測量矩陣進(jìn)行優(yōu)化，構(gòu)造適用于電網(wǎng)故障諧波檢測的測量矩陣。根據(jù)Grassmannian矩陣［20］與Gram矩陣的特點(diǎn)，提出一種基于Gram 矩陣的優(yōu)化測量矩陣。為保證測量矩陣與稀疏變換基間的不相干性，定義一個(gè)新的矩陣

稱矩陣G 為Gram 矩陣。由式（9）可知，Gram 矩陣中的非對(duì)角線元素恰好可以表征測量矩陣與稀疏變換基之間的互相干性，在設(shè)計(jì)感知矩陣時(shí)可以借助于Gram矩陣。

假設(shè)Gr為M×N（M＜N）維的Grassmannian 矩陣，且此矩陣中的列均經(jīng)過單位化處理，則矩陣Gr對(duì)應(yīng)的Gram矩陣中的元素滿足如下條件：

此外矩陣的維數(shù)還需要滿足以下條件：

由式（11）可見，矩陣Gr對(duì)應(yīng)的Gram矩陣中的非對(duì)角線元素的值均保持在較小的范圍內(nèi)，即測量矩陣與稀疏矩陣的相干系數(shù)μ較小?？蓪rassmannian矩陣選定為恢復(fù)矩陣Θ，可得：

為設(shè)計(jì)出滿足壓縮感知理論的測量矩陣Φ，可先構(gòu)造出符合條件的恢復(fù)矩陣Θ，即Grassmannian 矩陣Gr，進(jìn)而確定稀疏變換基Ψ，根據(jù)式（12）可求出測量矩陣Φ ＝GrΨ-1。

當(dāng)壓縮采樣的對(duì)象為故障諧波信號(hào)時(shí)，可先根據(jù)選定的矩陣維數(shù)M與N構(gòu)造出符合條件的Grassmannian矩陣Gr，然后選取離散傅里葉變換基（Discrete Fourier Transform，DFT）作為諧波信號(hào)的稀疏變換基Ψ，最終可推導(dǎo)出測量矩陣Φ。

2.3 重構(gòu)算法設(shè)計(jì)

在DFT基下，對(duì)滿足稀疏性的故障諧波信號(hào)可通過重構(gòu)算法使其恢復(fù)。貪婪匹配追蹤算法是目前在壓縮感知理論研究中比較常用的重構(gòu)算法，此類算法具有較好的重構(gòu)效果和較快的重構(gòu)速度，且算法性能也相對(duì)穩(wěn)定。本文采用稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤（Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP）算法進(jìn)行諧波信號(hào)重構(gòu)。SAMP算法采用固定步長逐步逼近信號(hào)的稀疏度，可在稀疏度未知的情況下實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)，同時(shí)引入回溯思想使得每次迭代過程中的原子選擇更加準(zhǔn)確。

SAMP算法流程如圖2 所示。

圖2 SAMP算法流程圖

具體步驟如下：

3 實(shí)例仿真與分析

3.1 測量矩陣性能分析

為驗(yàn)證本文所提測量矩陣觀測效果，分別利用基于Gram矩陣的優(yōu)化測量矩陣、多項(xiàng)式確定性測量矩陣及高斯隨機(jī)測量矩陣對(duì)故障諧波信號(hào)進(jìn)行仿真。

設(shè)故障諧波信號(hào)

式中，f0～f7分別為基波～7 次諧波的頻率。以采樣頻率fs＝6.4 kHz對(duì)原始故障諧波信號(hào)進(jìn)行采樣作為效果分析基準(zhǔn)，分別采用3 種測量矩陣對(duì)1 024 個(gè)傳統(tǒng)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行觀測，以獲取低維的壓縮采樣數(shù)據(jù)，利用SAMP算法對(duì)壓縮后數(shù)據(jù)分別進(jìn)行100 次重構(gòu)處理，檢測成功率平均值仿真結(jié)果分別如圖3、4 所示。

圖3 不同采樣點(diǎn)數(shù)下3種測量矩陣的檢測成功率

由圖3 可見，高斯隨機(jī)測量矩陣的檢測效果略優(yōu)于其他2 種確定性測量矩陣，這是因?yàn)殡S機(jī)性測量矩陣與信號(hào)稀疏變換基的不相干程度更高；基于Gram矩陣的優(yōu)化測量矩陣雖比高斯隨機(jī)測量矩陣檢測效果略差，但要明顯優(yōu)于多項(xiàng)式確定性測量矩陣，而且易于在硬件上實(shí)現(xiàn)。

由圖4 可見，隨著壓縮采樣點(diǎn)數(shù)的增加，高斯隨機(jī)測量矩陣、基于Gram 矩陣的優(yōu)化測量矩陣以及多項(xiàng)式確定性測量矩陣的重構(gòu)信噪比均有不同程度地增大；在相同的壓縮采樣點(diǎn)數(shù)下，上述3 種測量矩陣的重構(gòu)信噪比則依次減小。文中所提優(yōu)化測量矩陣的重構(gòu)信噪比雖要略低于高斯隨機(jī)測量矩陣，但仍能滿足準(zhǔn)確度要求，且此矩陣中的元素確定，構(gòu)造相對(duì)簡單。

圖4 不同采樣點(diǎn)數(shù)下3種測量矩陣的重構(gòu)信噪比

基于上述分析可知，文中所提基于Gram 矩陣優(yōu)化測量矩陣可較為準(zhǔn)確地觀測出諧波信號(hào)中的有效信息，能為后續(xù)信號(hào)重構(gòu)與諧波分析奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

3.2 故障諧波重構(gòu)效果分析

為分析本文采用的SAMP算法在諧波信號(hào)重構(gòu)及信號(hào)稀疏度發(fā)生變化時(shí)的檢測性能，選取兩組故障諧波信號(hào)進(jìn)行仿真測試。

（1）設(shè)故障諧波信號(hào)1

以采樣頻率fs＝6.4 kHz對(duì)原始故障諧波信號(hào)進(jìn)行采樣作為分析基準(zhǔn)，采用基于Gram矩陣的優(yōu)化測量矩陣Φ（M×N維）對(duì)1 024 個(gè)傳統(tǒng)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行觀測，獲取M維壓縮采樣數(shù)據(jù)。在仿真中，諧波信號(hào)的壓縮采樣點(diǎn)數(shù)分別為120 與60，分別采用壓縮采樣匹配追蹤（Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP）、SAMP等算法對(duì)壓縮采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行100 次重構(gòu)，基波及各次諧波分量的誤差平均值仿真分別見圖5、6。

圖5 信號(hào)1中，M ＝120時(shí)的仿真結(jié)果

由圖5 可知，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)M為120時(shí)，2 種重構(gòu)算法的諧波檢測誤差區(qū)別不大，都保持在0.003%以內(nèi)；而由圖6 可看出，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)M逐步減少為60時(shí)，SAMP算法的檢測誤差要明顯小于CoSaMP算法，頻率和幅值的誤差仍然保持在0.02%以內(nèi)，這是由于SAMP算法引入回溯思想，提高了在迭代過程中支撐集原子選擇的準(zhǔn)確性。

圖6 信號(hào)1，M ＝60時(shí)的仿真結(jié)果

（2）設(shè)故障諧波信號(hào)2

式中，f0～f11分別表示基波～11 次諧波。

為了驗(yàn)證文中所用SAMP算法在諧波信號(hào)稀疏度發(fā)生變化時(shí)的檢測性能，此處的信號(hào)2 在信號(hào)1 的基礎(chǔ)之上增加了7、9 次諧波分量。在仿真分析中，諧波信號(hào)的壓縮采樣點(diǎn)數(shù)分別為120 與60，分別采用CoSaMP、SAMP 2 種算法對(duì)壓縮采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行100 次重構(gòu)，基波及各次諧波分量的誤差平均值仿真結(jié)果分別如圖7、8 所示。

圖7 信號(hào)2，M ＝120時(shí)的仿真結(jié)果

將圖5、6 分別與圖7、8 進(jìn)行對(duì)比分析可知，當(dāng)諧波信號(hào)的稀疏度發(fā)生變化時(shí)，較之CoSaMP 算法，SAMP算法的諧波檢測準(zhǔn)確度更為穩(wěn)定，這是因?yàn)镾AMP算法可以自適應(yīng)逐步逼近諧波信號(hào)的稀疏度。當(dāng)檢測信號(hào)的稀疏度發(fā)生變化時(shí)，仍能通過迭代步驟較為準(zhǔn)確、快速地提取故障信號(hào)的基波及各次諧波。

4 基于壓縮感知的故障錄波儀設(shè)計(jì)

4.1 故障錄波儀

故障錄波儀的硬件結(jié)構(gòu)及裝置實(shí)物如圖9 所示。錄波儀以STM32F103VCARM 處理器為核心，結(jié)合高精度模數(shù)轉(zhuǎn)換器AD7606，實(shí)現(xiàn)對(duì)電網(wǎng)中三相電壓、電流波形壓縮采樣，并把所采集的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)至SD 卡。錄波儀通過USR-LTE-7S4 工業(yè)級(jí)4G 模塊，實(shí)現(xiàn)與云服務(wù)器間的數(shù)據(jù)傳輸。

圖8 信號(hào)2，M ＝60時(shí)的仿真結(jié)果

圖9 故障錄波儀硬件結(jié)構(gòu)及裝置

本文通過LabVIEW 軟件搭建數(shù)據(jù)分析平臺(tái)對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理，提取故障諧波的分布特征，為故障諧波特征分析提供有力的數(shù)據(jù)支撐，數(shù)據(jù)分析平臺(tái)界面如圖10 所示。

圖10 故障諧波分析系統(tǒng)

4.2 實(shí)測與結(jié)果分析

諧波檢測裝置測試。利用繼電保護(hù)測試儀模擬電網(wǎng)電壓諧波，作為輸入測試信號(hào)，分別使用示波器與本文設(shè)計(jì)的錄波儀進(jìn)行信號(hào)采樣。錄波儀采樣并重構(gòu)后的電壓波形及諧波幅度譜如圖11、12 所示。

圖11 電網(wǎng)電壓重構(gòu)波形

為驗(yàn)證測試結(jié)果，利用Matlab 對(duì)示波器采樣波形進(jìn)行FFT分析作為原始信號(hào)，錄波儀測試結(jié)果與原始信號(hào)中的諧波含有率比較結(jié)果如表1 所示。

圖12 電網(wǎng)電壓諧波幅度譜

表1 電壓諧波實(shí)測數(shù)據(jù)

由表1 可見，配電網(wǎng)電壓中主要含有奇次諧波，其中3、7 次諧波含量較大。經(jīng)比較分析，測試結(jié)果中基波及各次諧波分量的檢測誤差均在3%以內(nèi)，這表明，文中所提基于壓縮感知的諧波檢測算法具有較高的檢測準(zhǔn)確度。

本文所提方案還能實(shí)現(xiàn)較高的數(shù)據(jù)壓縮比。在不采用壓縮感知算法的情況下，諧波檢測裝置連續(xù)采集1 min的數(shù)據(jù)量為4 501 KB，連續(xù)檢測1 d則需要6.18 GB的存儲(chǔ)空間；而采用基于壓縮感知理論的檢測方法連續(xù)采集1 d的諧波數(shù)據(jù)只需要1.03 GB的存儲(chǔ)空間，可極大地減輕數(shù)據(jù)傳輸和存儲(chǔ)的壓力。

5 結(jié)語

本文根據(jù)電網(wǎng)故障諧波信號(hào)的特點(diǎn)，提出一種基于壓縮感知的電網(wǎng)故障諧波檢測方法，并研制了基于壓縮感知的故障錄波裝置。實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果表明，基于壓縮感知的電網(wǎng)故障諧波檢測方法能準(zhǔn)確提取出故障信號(hào)的完整信息，具有理想的故障暫態(tài)諧波信號(hào)檢測效果，在電網(wǎng)故障信號(hào)檢測與繼電保護(hù)方面具有很好的工程實(shí)用價(jià)值。