盒飯君

家里鋪地磚，為什么可選正三角形、正方形、正六邊形地磚，卻沒有正五邊形地磚？喝咖啡時，一個杯子最多可以放幾顆方糖？水果攤怎么擺橘子可以放更多？這些問題聽來莫名其妙，卻是困擾數(shù)學(xué)家開普勒很久的密鋪和最密堆積問題，也是地磚工人、水果攤老板最關(guān)心的問題。

★我要正五邊形地磚

密鋪和最密堆積其實是同個問題在平面和立體空間的不同體現(xiàn)。形象地說就是要用怎樣的地磚鋪滿房間和能在盒子里最多裝多少個橘子的問題。

說回正五邊形，似乎正五邊形就是不太合群。

要想用正多邊形鋪滿房間，需要具備一個條件：圍繞一個點，這個點附近瓷磚的角度數(shù)加起來是360度。等邊三角形角是60度，六塊拼在一起是360度;正六邊形角是120度，三塊就能拼成360度。

那么正五邊形呢？它的角是108度，三塊拼一起是324度，比360度小，就會多出來一個空間?？伤膲K拼一起是432度，又比360度大，有兩塊地磚肯定會重疊，不管怎樣拼，就是不行。

所以，根本沒有正五邊形瓷磚，也不會有超過六條邊的正多邊形瓷磚，它們的角度數(shù)都太大了，360度根本駕馭不了?，F(xiàn)在很多數(shù)學(xué)家都熱衷于研究不規(guī)則多邊形的密鋪問題，如果找到數(shù)學(xué)家也沒發(fā)現(xiàn)的密鋪圖形，你可能就距離成為數(shù)學(xué)家不遠了。

那喜歡正五邊形的人，一點希望也沒有嗎？當(dāng)然不是，正五邊和正六邊形一起就可以在球面上實現(xiàn)密鋪啊，最典型的就是足球。

★橘子到底該怎么堆

那立體空間的最密堆積又是怎么回事？數(shù)學(xué)家在研究堆橘子問題時，喜歡用完美的球體，比如乒乓球，來討論到底要怎么放，畢竟橘子形狀大小有差異，會影響結(jié)論。

開普勒提出一個猜想，就是上下層交錯擺放，能在有限空間里放最多個球。比如下層放4個，上一層就放3個，再上一層放2個，頂端放1個，最后堆出來像個金字塔。之所以說是猜想，是因為他也證明不了這就是最優(yōu)方案。

既然大神開普勒都提出猜想了，數(shù)學(xué)家高斯、牛頓、希爾伯特等都跑去研究證明。最后還是1998年，數(shù)學(xué)家托馬斯·黑爾斯在計算機的幫助下，才證明了開普勒的想法是對的。

話說回來，水果攤老板可不會像開普勒那樣去思考，他們憑借經(jīng)驗就擺出了最優(yōu)方案。當(dāng)然我們不能說水果攤老板比開普勒聰明，畢竟在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，證明就是一切。就像數(shù)學(xué)家哈代說的“對于無法證明的事，我沒有辦法相信”。

要想看裝填效率怎么樣，就看球體體積占空間體積的比值，也就是堆砌密度=球體體積/容器體積。按照開普勒猜想的方式多層堆積，最后得到的最大密度為0.7404。74.04%也就是盒子能裝橘子的最大密度了。

開普勒迷戀的“怪物版”密鋪圖形

我們知道了正多邊形地磚只存在正三角形、正方形和正六邊形，不死心的開普勒似乎就是熱愛正五邊形。于是他用正五邊形、正十邊形、五角星，和一個他稱為“怪物”的兩個正十邊形拼合的圖形，拼成了左邊這個圖案，并發(fā)表在自己《宇宙的和諧》一書中。歷來不少數(shù)學(xué)家都對正五邊形給予了足夠的關(guān)注與愛。

如何在有限空間放更多小球？開普勒在《關(guān)于六角形雪花》的文章里率先提出來，還畫了如上示意圖，但是他自己并沒有把它證明出來。這也是水果攤老板最常用的碼堆方式。