周脈東

（陜西學(xué)前師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710061）

0 引言

由于對(duì)待線性代數(shù)認(rèn)識(shí)的不同，所以在線性代數(shù)的教材編寫上有兩種觀點(diǎn)，第一種是“工具論”的觀點(diǎn)，即是“突出地強(qiáng)調(diào)了線性代數(shù)的工具作用，也即認(rèn)為線性代數(shù)教育的主要目標(biāo)就是要幫助學(xué)習(xí)者掌握線性代數(shù)這樣一種認(rèn)識(shí)和實(shí)踐活動(dòng)的重要工具”[1]。鑒于這樣的觀點(diǎn)，所以有的教材中列舉了大量的與生產(chǎn)生活密切相關(guān)的例題和習(xí)題。第二種是“思維訓(xùn)練論”的觀點(diǎn)，鑒于此觀點(diǎn)，則在教材中體現(xiàn)為強(qiáng)調(diào)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性和知識(shí)系統(tǒng)性與完整性，相關(guān)例題與習(xí)題也是與之對(duì)應(yīng)要求的強(qiáng)調(diào)進(jìn)行思維化訓(xùn)練。這種觀點(diǎn)在某種程度上給教學(xué)帶來(lái)方便的同時(shí)，但是減弱了教材的啟發(fā)性，局限了學(xué)生的創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

現(xiàn)在我校的信息工程、經(jīng)濟(jì)管理以及生命科學(xué)等專業(yè)的線性代數(shù)的學(xué)時(shí)均為32學(xué)時(shí)，這樣的話教學(xué)中就會(huì)面對(duì)的內(nèi)容多而課時(shí)少的情形，所以在教學(xué)上應(yīng)該根據(jù)專業(yè)的人才培養(yǎng)目標(biāo)，選擇適合的教材進(jìn)行課程教學(xué)，而不是教課程教材。在具體的線性代數(shù)教學(xué)中，應(yīng)該是在加強(qiáng)邏輯思維能力培養(yǎng)的同時(shí)，注重知識(shí)重新建構(gòu)能力的培養(yǎng)，注重訓(xùn)練和提高學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)。

1 教學(xué)中應(yīng)注重線性代數(shù)思維與思想的培養(yǎng)

通過(guò)對(duì)大學(xué)一年級(jí)本科生在線性代數(shù)的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中存在問(wèn)題的深入剖析，根據(jù)學(xué)校的“應(yīng)用型”本科培養(yǎng)目標(biāo)，結(jié)合專業(yè)的實(shí)際情況，以及在對(duì)學(xué)生的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，線性代數(shù)的教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)思想與思維的培養(yǎng)為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)的應(yīng)用為導(dǎo)向。

1.1 培養(yǎng)學(xué)生的線性代數(shù)思維

線性代數(shù)的內(nèi)容抽象，邏輯性強(qiáng)，這樣在教學(xué)中學(xué)生覺(jué)得難學(xué)，教師感到難教。針對(duì)應(yīng)用型高校的教學(xué)，應(yīng)該從“應(yīng)用型”入手。教學(xué)中的“應(yīng)用型”是指數(shù)學(xué)在專業(yè)上的應(yīng)用，對(duì)線性代數(shù)在專業(yè)中應(yīng)用的案例進(jìn)行分析研究。針對(duì)我校化工院、信工院、經(jīng)管院及生科院的專業(yè)課程進(jìn)行調(diào)查研究，從數(shù)學(xué)的角度對(duì)其中應(yīng)用線性代數(shù)思想、思維及方法的例題進(jìn)行收集與分析，從而對(duì)以后的線性代數(shù)的教學(xué)有所幫助，讓學(xué)生體會(huì)到線性代數(shù)在專業(yè)課中的應(yīng)用，從而提升學(xué)生對(duì)線性代數(shù)學(xué)習(xí)的積極性。

由于線性代數(shù)的課時(shí)少，對(duì)于大學(xué)生來(lái)說(shuō)，線性代數(shù)的抽象性與理論性的內(nèi)容，學(xué)生理解起來(lái)有很大的困難，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論的畏懼與拒絕，是由于一些客觀因素使得學(xué)生不能靜下心來(lái)，對(duì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論進(jìn)行深入地研讀，這樣對(duì)老師就提出了較高的要求，要求老師要在短時(shí)間里用盡可能簡(jiǎn)短的話語(yǔ)把線性代數(shù)的知識(shí)與思維、思想講明白、講透。

1.2 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)的意識(shí)

由于學(xué)科的交叉，線性代數(shù)的思想及思維方法早已滲透到學(xué)生的專業(yè)教材里了，要求學(xué)生在短時(shí)間里用線性代數(shù)的思想與思維方法對(duì)專業(yè)內(nèi)容進(jìn)行梳理與歸納，這是很困難的。這樣的話，對(duì)教師的要求就提高了，要求教師必須在掌握線性代數(shù)的理論的同時(shí)，也要對(duì)所教專業(yè)的專業(yè)可程里的線性代數(shù)的思想與思維方法的應(yīng)用進(jìn)行深入思考與抽象，對(duì)專業(yè)課程中的涉及線性代數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)理論的抽象。教會(huì)學(xué)生將線性代數(shù)的思維與思想應(yīng)用到專業(yè)中去，做到學(xué)代數(shù)，就要有用代數(shù)的思想。

為做到學(xué)代數(shù)用代數(shù)的思想，充分利用碎片化時(shí)間，教師利用微課程，使得學(xué)生可以利用手機(jī)的多項(xiàng)功能進(jìn)行碎片化的學(xué)習(xí)，讓教學(xué)與學(xué)生的自主學(xué)習(xí)交流實(shí)現(xiàn)無(wú)縫鏈接。將學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性調(diào)動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生思想動(dòng)起來(lái)，嘴動(dòng)起來(lái)，手動(dòng)起了，參與討論、演算之中，總之，充分讓學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)的角色之中，讓學(xué)生積極地學(xué)代數(shù)用代數(shù)，主動(dòng)地進(jìn)行知識(shí)探索，給學(xué)生以空間，探究知識(shí)的具體應(yīng)用的方法，參透數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的獨(dú)立思考的能力與自我糾錯(cuò)的能力。

2 加強(qiáng)線性代數(shù)實(shí)際應(yīng)用的措施

學(xué)以致用，重視線性代數(shù)的應(yīng)用。通過(guò)應(yīng)用提高學(xué)生使用數(shù)學(xué)的能力，進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)線性代數(shù)理論的理解。采用“問(wèn)題導(dǎo)向法”，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的引入，讓學(xué)生整合所學(xué)課本的知識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模與實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程。

2.1 應(yīng)用線性代數(shù)的思維

比如學(xué)生在平時(shí)的做題過(guò)程中，學(xué)生都已經(jīng)習(xí)慣用方程組解題，可以引導(dǎo)學(xué)生用矩陣方法進(jìn)行解題，學(xué)會(huì)用矩陣進(jìn)行思維。

例1 已知R3中的兩個(gè)向量，正交，求一個(gè)非零向量3，使得兩兩正交。

學(xué)線代用線代，隨著線性代數(shù)教學(xué)的開展，為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的知識(shí)的理解與應(yīng)用，結(jié)合專業(yè)對(duì)線性代數(shù)在本專業(yè)中的應(yīng)用進(jìn)行分析。要求學(xué)生通過(guò)不同的渠道進(jìn)行線性代數(shù)應(yīng)用的案例分析，最后寫成相關(guān)的小論文，然后可以在班上進(jìn)行討論、交流學(xué)習(xí)。

或許每個(gè)人選擇教師行業(yè)都有自己的原因和動(dòng)機(jī)，有人為了一份穩(wěn)定的工作，有人為了呆在校園這片凈土，有人愛(ài)孩子，有人愛(ài)教育，有人擅長(zhǎng)教育……不管是哪種原因和動(dòng)機(jī)，我們都可以把自己的工作完成、把書教好。然而，很多人只滿足于當(dāng)一名“經(jīng)師”，而忽視了“育人”的重任。不止一次聽聞?lì)愃屏钊烁械酵锵Ш瓦z憾的經(jīng)歷：老師的一句“她都會(huì)，你都不會(huì)？”會(huì)在學(xué)生的心里留下深深地烙印，多年過(guò)去，老師當(dāng)時(shí)的語(yǔ)氣和表情仍舊歷歷在目。學(xué)生自尊受到傷害，自此討厭了這門課，討厭學(xué)習(xí)。假如這位老師有足夠的育人意識(shí)，能夠考慮到學(xué)生的心理需求，結(jié)果可能就是另外一個(gè)故事。

2.2 利用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)

利用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性以及學(xué)習(xí)興趣都起到了很大的調(diào)動(dòng)作用，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)想象力和創(chuàng)造力。

比如在講向量空間時(shí)，可以利用二、三維的幾何圖形講解二、三維的向量空間，充分利用它們的幾何意義，比如二階行列式的計(jì)算與平行四邊形的面積之間的關(guān)系，三階行列式的計(jì)算與平行六面體體積之間的關(guān)系等。在講透二、三維向量空間的基礎(chǔ)上，可以將相關(guān)的概念進(jìn)行遷移至n維向量。充分利用二、三維幾何圖形直觀的特性。比如在講解線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)以及方程組理論時(shí)，可以充分利用解析幾何中二維坐標(biāo)系以及三維坐標(biāo)系，將二、三維空間的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)用幾何圖形進(jìn)行講解，這樣借助幾何的直觀圖形，把抽象問(wèn)題具體化了，既幫助學(xué)生理解了抽象概念，又弱化了抽象概念本身，達(dá)到了以應(yīng)用為目的，以夠用為度。經(jīng)過(guò)教學(xué)實(shí)踐證明，這種教學(xué)設(shè)計(jì)能夠使得學(xué)生能夠正確并且迅速地掌握抽象的線性代數(shù)的相關(guān)概念以及基礎(chǔ)理論知識(shí)。[2]

2.3 課堂講透知識(shí)點(diǎn)

為梳理學(xué)生的邏輯思維，老師可以通過(guò)一些典型的例題的講解，對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行有針對(duì)性的講評(píng)，通過(guò)講解提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，比如下面的例題。

例2設(shè)矩陣B滿足B2-3B+2E=0，證明：B+E可逆。

證：因?yàn)锽2-3B+2E=0，故可得B的特征值為1和2，所以B+E的特征值為2和3，故|B+E|≠0，所以B+E可逆。但是這個(gè)證明是錯(cuò)的。

分析：因?yàn)锽2-3B+2E=0，故B的特征值為1或2，1和2并不一定都是B的特征值，比如，若，它滿足B2-3B+2E=0，但是1卻不是它的特征值。

因?yàn)?B2-3B+2E=0，所以 B 的特征值為1和2，|B|=2≠0，故 B 是可逆的，又因?yàn)椋˙-4E）（B+E）=-6E，所以，故B+E可逆。

2.4 合理處理教材

現(xiàn)在的線性代數(shù)教材基本上都是注重知識(shí)內(nèi)在的邏輯性，基本上是采用的是先定義、再定理、而后是例題與習(xí)題的模式，對(duì)于工科學(xué)生來(lái)說(shuō)，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力與創(chuàng)新的能力是非常重要的。在處理教材時(shí)，采取“問(wèn)題導(dǎo)向法”，通過(guò)問(wèn)題的選擇與設(shè)計(jì)，掌握好問(wèn)題的針對(duì)性與學(xué)生的可接受程度，教學(xué)效果與教師設(shè)計(jì)問(wèn)題的質(zhì)量有直接關(guān)系，需要教師做深入地研究。

在教學(xué)時(shí)通過(guò)引例介紹數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用背景，或者根據(jù)專業(yè)特性，在每一章后加入一些本專業(yè)經(jīng)典的應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)如何運(yùn)真正用數(shù)學(xué)的理論和計(jì)算去解決一個(gè)實(shí)際工程問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，也展現(xiàn)了學(xué)生知識(shí)重新構(gòu)建的能力。這些經(jīng)典的應(yīng)用實(shí)例對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力都會(huì)起到很大的提升作用。同時(shí)將數(shù)學(xué)建模的能力的培養(yǎng)融入平時(shí)的教學(xué)之中。

2.5 引入數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行算法思維教學(xué)

線性代數(shù)中行列式的按行（按列）展開公式、行列式的三角形法則以及矩陣的行初等變換等的計(jì)算，都是遵循嚴(yán)格的算法思維?？梢赃M(jìn)行算法設(shè)計(jì)，通過(guò)計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。通過(guò)任務(wù)的設(shè)定，過(guò)程的合理控制，既進(jìn)行了深度的學(xué)習(xí)，又進(jìn)行了能力的培養(yǎng)與提高，這種加入算法思維的教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)，達(dá)到了能力培養(yǎng)于實(shí)際應(yīng)用能力的提高，實(shí)現(xiàn)了人才培養(yǎng)的目的。這種教學(xué)方法的特點(diǎn)是注重能力培養(yǎng)。

在線性代數(shù)課程的教學(xué)中，將相關(guān)計(jì)算按照算法思維進(jìn)行設(shè)計(jì)，在教學(xué)思路于學(xué)生的思維過(guò)程是一致的，算法思維是將知識(shí)的傳授和能力的培養(yǎng)相結(jié)合，著眼于應(yīng)用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的處理于模型分析。[3]

2.6 采用多種形式的“教學(xué)模式包”

現(xiàn)在線性代數(shù)課程的教學(xué)時(shí)數(shù)少，為了適應(yīng)教學(xué)時(shí)數(shù)少的要求，教師只有采取適當(dāng)刪減理論證明和應(yīng)用舉例，簡(jiǎn)化教學(xué)內(nèi)容，削弱理論思維訓(xùn)練等方式。在教學(xué)方法上，多是采用灌輸式、注入式教學(xué)，啟發(fā)式教學(xué)較少，與學(xué)生互動(dòng)少，教師傳授知識(shí)多，傳授數(shù)學(xué)思想少；教師講解解題方法、技巧多，揭示數(shù)學(xué)概念本質(zhì)和思維方法少。這種教學(xué)方法削弱了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、綜合應(yīng)用能力和意識(shí)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。改革課程評(píng)價(jià)體系，引入更能體現(xiàn)學(xué)生真正掌握所學(xué)知識(shí)的方法與策略。

現(xiàn)在的課堂教學(xué)雖然有它優(yōu)勢(shì)的地方，有利于師生互動(dòng)，掌控課堂的教學(xué)進(jìn)度，有利于開展啟發(fā)式、討論式和提問(wèn)式等多種的教學(xué)方法，但是傳統(tǒng)的教學(xué)存在時(shí)空與時(shí)間上的局限。隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，MOOC的興起，以它“豐富的教學(xué)資源、便捷的交互方式、不受時(shí)空限制的知識(shí)獲取等優(yōu)勢(shì)沖擊著傳統(tǒng)的教育模式，沖擊著課堂教學(xué)，呈現(xiàn)給學(xué)生一種全新的學(xué)習(xí)方式”[4]。

在保證教學(xué)質(zhì)量的前提下，在以課堂教學(xué)為主的同時(shí)，可以采取MOOC為輔助的教學(xué)。這樣就為教師在課堂教學(xué)中贏得了時(shí)間進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)，采用問(wèn)題教學(xué)法進(jìn)行重難點(diǎn)教學(xué)。

這種混合的“教學(xué)包”式的教學(xué)能夠針對(duì)不同專業(yè)進(jìn)行側(cè)重應(yīng)用教學(xué)，學(xué)生可以根據(jù)所需在學(xué)習(xí)網(wǎng)站上得到全方位的學(xué)習(xí)材料，學(xué)生參與在線學(xué)習(xí)和測(cè)驗(yàn)，檢驗(yàn)自己。這種混合式的教學(xué)方式對(duì)學(xué)生的專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)形成有效支撐。這種混合式的教學(xué)方式的效果也是經(jīng)過(guò)了期末考試的檢驗(yàn)，在學(xué)生參加的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的也取得了較好的成績(jī)，達(dá)到了能力培養(yǎng)的目的。

教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)以幫助學(xué)生理解所講知識(shí)為要。首先分析學(xué)生的理解困難在哪里，這樣基于問(wèn)題的分析，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和不斷修正，這樣的話，教師關(guān)注的是學(xué)生學(xué)習(xí)概念的過(guò)程，也是基于學(xué)生的實(shí)際情況以及認(rèn)知特點(diǎn)進(jìn)行，基于不同學(xué)生的概念理解過(guò)程，總結(jié)歸納出教統(tǒng)一的教學(xué)法則及步驟，進(jìn)一步進(jìn)行推廣。

3 發(fā)揮線性代數(shù)的育人功能

在進(jìn)行專業(yè)教學(xué)的同時(shí)，引入課程思政教育，將顯性教學(xué)與隱性育德相統(tǒng)一，形成協(xié)同效應(yīng)。在對(duì)學(xué)生進(jìn)行理性精神培養(yǎng)的同時(shí)，堅(jiān)持對(duì)學(xué)生進(jìn)行立德樹人的品德的培育，這也是作為教師的使命與責(zé)任擔(dān)當(dāng)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課堂中的教學(xué)育人功能，提出了“三愛(ài)”，“一融入”。

“三愛(ài)”，是指愛(ài)國(guó)家、愛(ài)職業(yè)、愛(ài)學(xué)生。愛(ài)是一切教育的基礎(chǔ)，只有對(duì)國(guó)家、職業(yè)和學(xué)生充滿了愛(ài)，才有可能把教育工作做好，離開了愛(ài)談教育是無(wú)根之水、空中樓閣。

“一融入”，將思政育人融入課堂教學(xué)，做到潤(rùn)物無(wú)聲、踏雪無(wú)痕。比如在講線性空間的概念時(shí)，指明并不是任意的集合就是線性空間，一個(gè)集合是在一定的條件下，一定的規(guī)則下才能成為線性空間，其核心思想是樹立守紀(jì)律和講規(guī)矩意識(shí)，規(guī)矩之內(nèi)，再行做事。

4 總結(jié)

總之，地方“應(yīng)用型”本科院校應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力為目標(biāo)，在線性代數(shù)的教學(xué)方法的改革任重道遠(yuǎn)，結(jié)合線性代數(shù)的具體教學(xué)過(guò)程，本文主要從教師的角度對(duì)線性代數(shù)的課堂設(shè)計(jì)與教學(xué)改革進(jìn)行了分析，強(qiáng)調(diào)代數(shù)思維的培養(yǎng)，同時(shí)注重實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)，在計(jì)算上，強(qiáng)調(diào)算法思維的訓(xùn)練與培養(yǎng)，有助于應(yīng)用型人才的培養(yǎng)，同時(shí)也有助于實(shí)現(xiàn)地方本科應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)。