陸至彬，李依夢(mèng)，何暢，張冰劍，陳清林，潘明

（1 中山大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州 510006； 2 廣東省石化過程節(jié)能工程技術(shù)研究中心，廣東 廣州 510006；3工數(shù)科技（廣州）有限公司，廣東 廣州 510530）

引 言

熱傳遞過程是自然界和工業(yè)界中普遍存在的基本現(xiàn)象，精確地構(gòu)建其傳熱模型是設(shè)計(jì)高效率、低成本換熱設(shè)備的關(guān)鍵步驟之一。在換熱設(shè)備內(nèi)部，熱交換主要發(fā)生在氣/液-固交界面，這種流體傳熱與固體導(dǎo)熱相耦合的現(xiàn)象稱為共軛傳熱。共軛傳熱過程機(jī)理可以通過控制方程（包括質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒方程）進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，通常表現(xiàn)為高度非線性的偏微分方程組（partial differential equations, PDE）。在實(shí)際應(yīng)用中，PDE 往往難以直接解析求解，通常需要利用基于網(wǎng)格離散化的數(shù)值計(jì)算（如有限元法、有限差分法和有限體積法等）將計(jì)算域分散為有限個(gè)以節(jié)點(diǎn)連接的網(wǎng)格單元，并借助計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（computational fluid dynamics,CFD）工具來獲得節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值解或近似解[1]。這時(shí)，網(wǎng)格的數(shù)量會(huì)同時(shí)影響數(shù)值計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和計(jì)算負(fù)荷，需要在保證計(jì)算準(zhǔn)確性的前提下，對(duì)網(wǎng)格數(shù)量和計(jì)算負(fù)荷進(jìn)行權(quán)衡。而實(shí)踐中，某些新型換熱設(shè)備具有復(fù)雜的幾何形狀，使共軛傳熱的數(shù)值模擬極為困難。同時(shí)，由于方程的高度耦合和非線性，數(shù)值模型很難與模塊化流程仿真模型或數(shù)學(xué)規(guī)劃模型直接集成，限制了數(shù)值模擬在實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)、參數(shù)分析或優(yōu)化設(shè)計(jì)等方向的應(yīng)用。

隨著數(shù)據(jù)和計(jì)算資源的爆炸式增長(zhǎng)，深度學(xué)習(xí)在計(jì)算機(jī)視覺和自然語言處理等方面取得顯著的成功[2]。人工智能領(lǐng)域?qū)W者將深度學(xué)習(xí)與科學(xué)計(jì)算結(jié)合，通過函數(shù)逼近理論的研究證明深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（deep neural networks, DNN）可作為通用的函數(shù)逼近工具，用于逼近任何連續(xù)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)[3]。得益于自動(dòng)微分[4-5]技術(shù)的進(jìn)步，理論上可以利用DNN 來近似逼近任意PDE 的解析解[6]，最終替代傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格離散化的數(shù)值計(jì)算。2019 年，Raissi 等[7]提出利用物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（physics-informed neural network, PINN）來描述對(duì)底層物理定律進(jìn)行數(shù)學(xué)編碼的新方法。為了通過深度學(xué)習(xí)獲得PDE 的近似解，PINN關(guān)鍵步驟是將PDE的殘差直接加入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù)中來指導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練[8]。PINN作為一種新興的內(nèi)嵌物理知識(shí)的深度學(xué)習(xí)方法，在流體力學(xué)和傳熱領(lǐng)域得到了廣泛實(shí)踐[9-10]。以參數(shù)化的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例，Gao 等[11]開發(fā)的物理信息幾何自適應(yīng)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PhyGeoNet 已成功用于預(yù)測(cè)不規(guī)則表面的溫度分布。與單純的熱傳導(dǎo)相比，流動(dòng)傳熱涵蓋了速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)，是典型的多物理場(chǎng)系統(tǒng)。陸至彬等[12]將軟邊界PINN 和硬邊界PINN 分別應(yīng)用于兩個(gè)二維穩(wěn)態(tài)傳熱問題——具有內(nèi)熱源的熱傳導(dǎo)和平板間對(duì)流傳熱，結(jié)果表明由硬邊界PINN構(gòu)建的參數(shù)化代理模型預(yù)測(cè)能力更優(yōu)。Laubscher等[13]在穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)不可壓縮層流下，利用PINN 分別模擬了成直線排列的雙加熱圓管的流動(dòng)傳熱，與商業(yè)CFD 模擬結(jié)果的對(duì)比證明了PINN 求解多物理場(chǎng)的能力。與此同時(shí)，Laubscher[14]將其進(jìn)一步推廣到物性參數(shù)可變的多組分流動(dòng)和傳熱模擬問題，以矩形區(qū)域內(nèi)的干空氣加濕問題為例，該工作的創(chuàng)新點(diǎn)在于使用三個(gè)獨(dú)立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（PINN-3）來分別模擬對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)、溫度場(chǎng)和濃度場(chǎng)。與傳統(tǒng)的使用單個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PINN求解多物理場(chǎng)作比較，研究結(jié)果表明PINN-3不僅能達(dá)到更小的訓(xùn)練殘差，而且其預(yù)測(cè)組分濃度分布的性能要遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)的PINN。

以上對(duì)PINN 在傳熱應(yīng)用方面的研究工作基本都是在流體或固體內(nèi)部的傳熱，有待開發(fā)基于真實(shí)物性條件下共軛傳熱PDE 的求解策略和算法。但是，由于共軛傳熱內(nèi)在的耦合性，若利用PINN 直接求解，將出現(xiàn)難以收斂的情況[15]。為了解決上述問題，NVIDIA 公司的SimNet 團(tuán)隊(duì)[15-16]借鑒共軛傳熱耦合的經(jīng)典處理方法做了初步嘗試。本工作則在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善計(jì)算流程和算法，將分區(qū)耦合策略與PINN 結(jié)合用于模擬真實(shí)場(chǎng)景下的共軛傳熱現(xiàn)象，并深入分析算法的收斂特性及模擬結(jié)果。

1 共軛傳熱理論

1.1 基本理論

共軛傳熱是描述固體和周圍流體之間熱交互關(guān)系的傳熱現(xiàn)象，整個(gè)換熱過程是固體導(dǎo)熱和流體傳熱的組合[17-18]。假設(shè)流體流動(dòng)狀態(tài)為層流，對(duì)于穩(wěn)態(tài)不可壓縮流體，流體流動(dòng)通常由連續(xù)性方程和N-S方程控制，如式（1）、式（2）所示。

式中，u為流體速度，在三維空間x、y、z方向上的分量分別為u、v、w，即u=[u,v,w]；ρfluid為流體的密度；p為壓力；μ為流體的黏度。而流體傳熱則建立在流動(dòng)的基礎(chǔ)上，無內(nèi)熱源存在時(shí)，其控制方程描述如式（3）。

式中，Tfluid、Cp,fluid和κfluid分別為流體的溫度、比定壓熱容和熱導(dǎo)率。

在固體內(nèi)部，僅存在熱傳導(dǎo)過程。對(duì)于無內(nèi)熱源存在的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，可通過求解拉普拉斯方程來獲得固體內(nèi)部的溫度場(chǎng)。

式中，Tsolid為固體溫度；κsolid、ρsolid和Cp,solid分別代表固體的熱導(dǎo)率、密度和比定壓熱容。

共軛傳熱涉及固體和流體的熱交換。在流體和固體的界面處，溫度和熱通量傳遞的連續(xù)性[19]通過以下邊界條件約束來控制。

式中，下角標(biāo)sw和fw分別表示流固公共界面處的流體域壁面和固體域壁面。而熱通量可通過溫度梯度直接計(jì)算得出。

式中，n為壁面上向外的單位法向量；?Tsw和?Tfw分別為固體域壁面和流體域壁面的溫度梯度。

1.2 分區(qū)耦合策略

分區(qū)耦合策略對(duì)流體域和固體域分別采用專門的求解器求解，并在兩個(gè)域的界面上交換邊界條件，通過迭代滿足界面的耦合條件[20]。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是可利用現(xiàn)有的最先進(jìn)的求解器分別獨(dú)立求解流體域和固體域，但由于需要在兩個(gè)域之間不斷迭代，計(jì)算過程相對(duì)煩瑣，耗時(shí)較長(zhǎng)。

根據(jù)交換的邊界條件（boundary condition, BC）的不同，分區(qū)耦合策略有不同的呈現(xiàn)形式。熱邊界條件可以分為以下三類：

式中，h"為虛擬傳熱系數(shù)，并非物理意義上真實(shí)的局部傳熱系數(shù)，其在算法中的作用是輔助共軛傳熱問題收斂，可取任意數(shù)值，但取值時(shí)需兼顧計(jì)算時(shí)間和邊界條件傳遞的穩(wěn)定性[17]。

分區(qū)耦合策略的命名規(guī)則由Divo 等[21]提出，它規(guī)定流體域向固體域傳遞的方向?yàn)檎?，固體域向流體域傳遞的方向則為反向。對(duì)于將流固界面處流體的熱通量和溫度作為固體域的Robin 邊界條件、固體的溫度作為流體域的Dirichlet 邊界條件的情況，對(duì)應(yīng)的耦合方法被稱為傳熱系數(shù)正向溫度反向 法（heat transfer coefficient forward temperature backward, hFTB）。

圖1 hFTB方法的流程圖Fig.1 Flow chart of the hFTB method

2 物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架結(jié)構(gòu)

上述共軛傳熱數(shù)值模型涉及的PDE 可用式（14）的通用形式表示。

式中，Г為非線性偏微分算子；f(x,λ)為原函數(shù)即PDE 的解；x和λ分別為域Ω上的空間坐標(biāo)向量和參數(shù)向量（包括幾何參數(shù)和操作參數(shù)）。若計(jì)算域?yàn)槿S空間Ω??3，則x=[x,y,z]；若為二維空間，則x=[x,y]。

求解上述PDE 需要指定邊界條件，其通用表達(dá)如式（15）。

式中，B為涵蓋Dirichlet、Neumann和Robin等邊界條件的約束算子[6];?Ω代表域Ω的邊界;xb為邊界?Ω上的坐標(biāo)點(diǎn)。

PINN 是建立在傳統(tǒng)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上的新型結(jié)構(gòu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其基礎(chǔ)框架見圖2。根據(jù)框架結(jié)構(gòu)和神經(jīng)元連接方式的不同，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以分為全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（FC-NN）、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[22]。由于FC-NN 能解決大多數(shù)的PDE 問題[23-26]，本工作將利用其構(gòu)建PINN。在FC-NN 結(jié)構(gòu)中，每一層神經(jīng)元的輸出都作為下一層神經(jīng)元的輸入，這一前向傳播過程的數(shù)學(xué)表達(dá)[12]為

圖2中PDE的具體求解過程如下[6]。首先，構(gòu)造一個(gè)輸入為x和λ的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)f?(x,λ;θ)，擬將其作為PDE 的解析解f(x,λ)的代理模型，并可生成與f(x,λ)維數(shù)相同的輸出向量。

圖2 PINN的經(jīng)典框架示意圖Fig.2 Schematic of a typical PINN framework

式中，θ={w,b}表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重矩陣和偏置向量；上角標(biāo)L代表神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層。

接下來，需要為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供樣本量為|T|的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集T={x1,x2,…,x|T|}，它通常由兩個(gè)相互獨(dú)立的集合Tf?Ω和Tb??Ω組成，分別代表域內(nèi)和邊界上的樣本集。為度量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和約束之間的差異，PINN的損失函數(shù)ΛPINN(θ;λ,T)定義為PDE殘差及邊界殘差的L2范數(shù)平方的加權(quán)求和，如式（19）所示。

式中，ωf和ωb為權(quán)重；xf為計(jì)算域內(nèi)的坐標(biāo)點(diǎn)；|Tf|和|Tb|分別為在域內(nèi)和邊界上采集的樣本坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。如式(19)所述，PINN 損失函數(shù)由兩部分組成：Λf(θ;λ,Tf)用于約束描述物理定律的PDE，可稱為“基于物理知識(shí)的損失”，Λb(θ;λ,Tb)則對(duì)應(yīng)邊界條件的損失。

最后，利用基于梯度的優(yōu)化器（如SGD、Adam和L-BFGS）最小化損失函數(shù)來訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和偏置θ= {w,b}。在訓(xùn)練過程中，PINN 還借助自動(dòng)微分技術(shù)，可以方便地計(jì)算f?(x,λ;θ)相對(duì)于輸入x的梯度信息。當(dāng)PINN 收斂到可接受的精度水平時(shí)，f?(x,λ;θ*)可認(rèn)為是數(shù)值模型f(x,λ)的代理模型。

3 案例研究

3.1 二維模型和三維模型

本工作以散熱器系統(tǒng)作為研究對(duì)象，是基于一定假設(shè)的共軛傳熱模型[15,28]：帶底座的三翅片散熱器放置在橫截面為矩形的通道內(nèi)，組成的三維模型如圖3 所示，圖中下角標(biāo)c 和b 分別代表通道和底座。散熱器底座中央與芯片直接接觸，芯片產(chǎn)生的熱量傳導(dǎo)給散熱器。不可壓縮流體從通道入口進(jìn)入，流經(jīng)散熱器表面與其進(jìn)行熱交換。在三維建模中，以通道中心為原點(diǎn)（O）建立笛卡兒坐標(biāo)系，三維模型關(guān)于xy坐標(biāo)軸平面對(duì)稱，二維模型的幾何結(jié)構(gòu)則選取其中的xy切面。

圖3 共軛傳熱模型Fig.3 The conjugate heat transfer model

結(jié)合共軛傳熱基本理論，其數(shù)值模型由一系列PDE 共同控制，還需給定恰當(dāng)?shù)倪吔鐥l件才能利用PINN進(jìn)行求解。對(duì)于流動(dòng)，假設(shè)流動(dòng)狀態(tài)為穩(wěn)態(tài)層流，通道入口處流體速度已知（u=Uinlet,v= 0,w=0）；通道出口處壓力p= 0，通道和固體的壁面無滑移即u= 0。對(duì)于傳熱，假設(shè)通道入口處流體溫度保持恒定，Tinlet= 293.15 K，通道壁面及出口處均被視為絕熱，即[n· (κfluid·?Tfluid) = 0]。最后，假設(shè)芯片在散熱器底部產(chǎn)生均勻的熱通量，指定輸入系統(tǒng)的恒定熱通量qs作為熱邊界條件。熱邊界條件的設(shè)置方式為

共軛傳熱模型的幾何尺寸匯總在表1中。選取空氣和銅分別作為流體和固體材料，假定物性不受溫度影響且保持恒定不變，相應(yīng)的物性數(shù)據(jù)在表2中列出[29]。需要指出的是，對(duì)于二維模型，相應(yīng)的幾何尺寸為三維模型尺寸的10倍，且固體底部整個(gè)區(qū)域施加均勻熱源（即Ls=Lb），通道入口處的流體速度和輸入熱通量分別設(shè)為Uinlet= 0.1 m/s 和qs= 200 W/m2。而對(duì)于三維模型，通道入口處的流體速度和輸入熱通量分別指定為Uinlet= 1.0 m/s 和qs= 12000 W/m2。

表1 共軛傳熱三維模型的幾何尺寸Table 1 Geometric dimension of the 3-D conjugate heat transfer model

表2 流體和固體的物性Table 2 Fluid and solid properties used in the simulation

3.2 求解策略

綜合上述分析，除了公共界面的熱交互，傳熱過程在流體域和固體域都是相對(duì)獨(dú)立的。鑒于hFTB 方法可利用求解器分別獨(dú)立求解子域的特性[15]，本工作提出分區(qū)耦合PINN 策略，其框架示意圖如圖4(a)所示。其中，由于在本工作中流體為不可壓縮流體，流動(dòng)和傳熱是單向耦合（one-way coupling），因此流體流動(dòng)和傳熱可以分別單獨(dú)訓(xùn)練。當(dāng)流體流動(dòng)網(wǎng)絡(luò)flow_net 達(dá)到收斂標(biāo)準(zhǔn)后，其結(jié)果u*將作為訓(xùn)練流體傳熱網(wǎng)絡(luò)heat_net_fluid 溫度場(chǎng)的初始值。

圖4 PINN與hFTB方法集成的方法框架示意圖和優(yōu)化程序Fig.4 The partitioned coupling PINN strategy methodological framework and optimization procedure

在固體導(dǎo)熱中，固體導(dǎo)熱方程可展開為以下形式。

式中，q為與?Tsolid維度相同的向量，在x,y,z方向上q= [qx,qy,qz]。與此同時(shí)，qx、qy、qz也滿足二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等的定理約束，表達(dá)如式（24）。

基于上述推導(dǎo)，本案例構(gòu)造兩個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)heat_net_solid、heat_flux_net_solid 來滿足固體傳熱控制方程[式(22)～式(24)]的約束，其中heat_net_solid的輸出為Tsolid，而heat_flux_net_solid 的輸出為[qx,qy,qz]，如圖4(a)所示。值得注意的是，并不需要強(qiáng)制滿足q和?Tsolid之間等式約束，因此式(22)的處理方式打破了式(21)中固體溫度梯度和二階導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)耦合關(guān)系。

為進(jìn)一步提高PINN 求解物理模型的收斂性能，本工作采取Monte Carlo 積分（Monte Carlo integration）形式的損失函數(shù)來代替求和形式的損失[15]，這一方法的好處在于確保域內(nèi)單位空間內(nèi)的損失一致，提高訓(xùn)練精度。

損失函數(shù)[式(19)]中權(quán)重ω的選擇對(duì)于收斂至關(guān)重要。通常ω為不隨空間位置變化的定值。然而，空間不同的位置梯度的變化程度不同，統(tǒng)一的權(quán)重顯然不夠合理。本工作通過引入幾何體的符號(hào)距離函數(shù)（signed distance function, SDF）[30]改變不同空間位置的權(quán)重，其權(quán)重定義[31]如式（26）、式（27）。

式中，d(x)代表空間任意點(diǎn)x到域邊界的最小歐幾里得距離。根據(jù)函數(shù)定義可知，靠近域邊界ω(x)會(huì)降低，而邊界往往是梯度急劇變化的地方，因此SDF 加權(quán)有利于降低急劇梯度對(duì)收斂的影響，加快收斂速度的同時(shí)還可能提高精度。引入Monte Carlo積分和空間加權(quán)ω(x)后最終的PINN 損失函數(shù)形式如式（28）。

式中，上角標(biāo)*表示經(jīng)過無量綱化后的參數(shù)和變量；Lscale、tscale、Mscale和Tscale分別表示長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、溫度四個(gè)與流體力學(xué)相關(guān)的基本物理量放縮的比例。類似地，所有物理量都是根據(jù)其對(duì)應(yīng)的基本量綱的冪次表達(dá)進(jìn)行處理。在本案例中選取的放縮比例在表3 中列出，其目的在于使得無量綱參數(shù)和變量范圍在0～1內(nèi)更有效地訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[15]。

表3 無量綱放縮比例參數(shù)Table 3 Non-dimensional scaling parameters

本研究中設(shè)置PINN 隱藏層為6 層，每層256 個(gè)神經(jīng)元，激活函數(shù)為swish 函數(shù)，流體流動(dòng)網(wǎng)絡(luò)最大訓(xùn)練步數(shù)設(shè)置為1×106步以保證收斂。此外，流體傳熱和固體傳熱網(wǎng)絡(luò)每次循環(huán)的最大訓(xùn)練步數(shù)均為3×105步，二維模型和三維模型的虛擬傳熱系數(shù)h"分別設(shè)為500 和600。PINN 訓(xùn)練過程基于NVIDIA Modulus 工具包所提供的深度學(xué)習(xí)集成平臺(tái)[31]，工作站配置為2塊GeForce RTX 3070 GPU。

4 結(jié)果與討論

二維模型的允許溫度最大誤差取ε＝0.10 K，采集每次循環(huán)結(jié)束后流固界面處的溫度用于監(jiān)測(cè)收斂過程，收斂歷史如圖5 所示，其中|Ti+1-Ti|即為|T i+1fw-T ifw|avg，在經(jīng)過20 次循環(huán)后，已滿足循環(huán)終止條件，且在循環(huán)過程中流固界面處空氣和銅的溫度差異逐漸變小，在循環(huán)終止時(shí)已趨于相等，再次證明溫度場(chǎng)已收斂。

圖5 二維模型流固界面處溫度收斂歷史Fig.5 Temperature convergence records at the fluid-solid interface of the 2-D model

訓(xùn)練后的結(jié)果與COMSOL 模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比以驗(yàn)證PINN 模型的精度。為進(jìn)一步定量比較PINN預(yù)測(cè)值與CFD 模擬值的差異，采用歸一化平均絕對(duì)百分比誤差（normalized mean absolute percentage error, NMAPE）作為量化指標(biāo)[14]，其計(jì)算公式如式（30）所示。

式中，?代表物理量；下角標(biāo)CFD 代表COMSOL的模擬結(jié)果，其中溫度最小值統(tǒng)一取入口溫度。

二維模型速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)和溫度場(chǎng)的PINN 預(yù)測(cè)結(jié)果如圖6 所示。從整體上看，多物理場(chǎng)的預(yù)測(cè)結(jié)果與COMSOL 模擬結(jié)果趨勢(shì)一致，這證明了分區(qū)耦合PINN 求解真實(shí)場(chǎng)景下二維共軛傳熱的有效性。進(jìn)一步對(duì)比NMAPE 可知，NMAPE 值均小于4%，其中固體溫度的NMAPE 數(shù)值最小。盡管二維模型固體溫度云圖的對(duì)比觀察到較為明顯的差異，但需要注意到固體溫度分布的變化范圍很?。ú怀^0.06 K），且溫度的絕對(duì)誤差最大為0.19 K，因此PINN 仍相對(duì)準(zhǔn)確地捕捉到了固體溫度的分布。此外，速度場(chǎng)云圖較大的差異主要集中在通道出口附近，除了速度分量v，速度分量u和壓力場(chǎng)的預(yù)測(cè)誤差都超過2%，最終造成流體溫度更大的預(yù)測(cè)誤差（約4%）。

圖6 二維模型結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of the results of the 2-D model

對(duì)于三維模型，考慮到計(jì)算精度可能會(huì)有所下降，故允許溫度最大誤差設(shè)置為ε＝0.20 K，其收斂歷史如圖7 所示，在經(jīng)過17 次循環(huán)后，已滿足收斂準(zhǔn)則。盡管循環(huán)開始時(shí)流固界面處空氣和銅的溫度差異很大，但在經(jīng)過4次循環(huán)后兩者便快速接近，之后則緩慢趨于相等。

圖7 三維模型流固界面處溫度收斂歷史Fig.7 Temperature convergence records at the fluid-solid interface of the 3-D model

三維模型速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)和溫度場(chǎng)的切面結(jié)果對(duì)比如圖8 所示，為便于比較，流體域取y* = 0 處平行于xz平面的切面，固體域取經(jīng)過散熱器中心且平行于yz平面的切面。由圖可知三維模型PINN 預(yù)測(cè)的速度場(chǎng)出現(xiàn)更長(zhǎng)更明顯的尾跡，但與二維模型相比NMAPE 的變化不大，這可能得益于壓力分布預(yù)測(cè)精度的改善（三維模型壓力的誤差明顯下降）。不同于二維模型，三維模型速度場(chǎng)預(yù)測(cè)精度的提高進(jìn)一步降低了流體溫度的預(yù)測(cè)誤差，但是固體溫度的誤差則較為顯著。與此同時(shí)，固體溫度云圖直觀地表明了這一差異，其最大絕對(duì)誤差為2.12 K，這可能是三維結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜所導(dǎo)致的，但NMAPE 計(jì)算結(jié)果仍小于4%?？偟貋碚f，分區(qū)耦合PINN 求解真實(shí)場(chǎng)景下三維共軛傳熱已實(shí)現(xiàn)較好的精度，但還需深入的研究來進(jìn)一步降低固體溫度的誤差。

圖8 三維模型結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of the results of the 3-D model

5 結(jié) 論

通過將分區(qū)耦合策略與PINN 相結(jié)合，本工作提出利用傳熱系數(shù)正向溫度反向法來構(gòu)建共軛傳熱問題的分區(qū)耦合PINN 模型。同時(shí)，本工作基于真實(shí)物性體系，提出分區(qū)耦合PINN 模型的通用收斂準(zhǔn)則和算法，克服了PINN 直接求解共軛傳熱的收斂難題。以共軛傳熱二維模型和三維模型分別探究了分區(qū)耦合PINN 的預(yù)測(cè)精度，模擬得出二維模型和三維模型的固體溫度最大絕對(duì)誤差分別為0.19 K和2.12 K，NMAPE值均小于4%。結(jié)果表明分區(qū)耦合PINN 是解決真實(shí)場(chǎng)景下共軛傳熱問題的有效方法，為共軛傳熱參數(shù)化代理模型的構(gòu)建提供了理論指導(dǎo)。