蔡永志 戚緒敏

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂版）》中提出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實(shí)效性[1]。隨著教育基礎(chǔ)設(shè)施的不斷完善，將現(xiàn)代信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)課堂，提升教學(xué)效率已是大勢(shì)所趨。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra 是為從小學(xué)到大學(xué)各學(xué)段的教學(xué)而設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，是進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究的有力工具。

一、GeoGebra 概述

GeoGebra 是一個(gè)自由且跨平臺(tái)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它將幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和微積分以直觀、易用的方式集于一體，其功能強(qiáng)大、操作簡(jiǎn)單、資源豐富，能夠進(jìn)行動(dòng)態(tài)交互，可脫機(jī)也可在線(xiàn)，在歐美國(guó)家已獲數(shù)十項(xiàng)相關(guān)領(lǐng)域的大獎(jiǎng)，不僅被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，還被應(yīng)用于化學(xué)、物理等學(xué)科領(lǐng)域[2]。高中學(xué)段幾乎所有數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)都可以用GeoGebra 直觀呈現(xiàn)出來(lái)，特別是能夠方便呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)的教學(xué)內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)中合理利用它，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而提升課堂的教學(xué)效果，其是高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)的利器。

二、GeoGebra 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的意義

（一）簡(jiǎn)單易操作，能夠提高教學(xué)效率

相比其他數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件來(lái)說(shuō)，GeoGebra 使用操作比較簡(jiǎn)單，只要有基本數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用基礎(chǔ)的人都能輕松操作。因?yàn)镚eoGebra 可以完成數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何畫(huà)板的一切功能操作，為教師進(jìn)行幾何構(gòu)圖節(jié)省了大量的時(shí)間，改善了復(fù)雜的構(gòu)圖軟件給教師教學(xué)帶來(lái)的很多問(wèn)題，提高了幾何構(gòu)圖的精確度，同時(shí)還能夠幫助學(xué)生理解幾何構(gòu)圖過(guò)程，激發(fā)了學(xué)生的探索意識(shí)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散思維的形成，大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率[3]。

（二）功能展示快速，方便課堂使用

GeoGebra 軟件有較豐富的命令集，在命令集里可以根據(jù)教師需求選擇相應(yīng)的功能，這些命令集不僅可以實(shí)現(xiàn)所有幾何圖形的繪制，還能輕松完成如展示函數(shù)圖像性質(zhì)、函數(shù)極值的計(jì)算、方程根的計(jì)算、多項(xiàng)式的因式分解、求方向向量和單位向量以及用電子表格進(jìn)行數(shù)據(jù)分析等[4]。命令集還自帶記憶功能，會(huì)識(shí)別命令并聯(lián)想補(bǔ)充。在課堂教學(xué)中，如果教師以前用過(guò)此命令，在下次輸入相同命令時(shí)軟件會(huì)自動(dòng)呈現(xiàn)，方便了教師的教學(xué)。

（三）方便交流，可實(shí)現(xiàn)共享

GeoGebra 軟件可以支持多種語(yǔ)言呈現(xiàn)，方便在教學(xué)中參照其他國(guó)家的數(shù)學(xué)教學(xué)策略和教學(xué)觀點(diǎn)，方便交流。GeoGebra 網(wǎng)站的wiki 上有多種多樣的圖案和工具，可以實(shí)時(shí)共享到軟件上，為數(shù)學(xué)備課和教學(xué)研究提供了便利。

（四）免費(fèi)使用，實(shí)時(shí)更新

和幾何畫(huà)板等一些制圖軟件相比，GeoGebra 是能夠免費(fèi)使用的，不僅教師可以隨時(shí)使用，學(xué)生也能隨時(shí)使用。同時(shí)，軟件后臺(tái)還會(huì)實(shí)時(shí)更新各項(xiàng)功能，來(lái)滿(mǎn)足日益發(fā)展的高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的改革，更新的過(guò)程中還不會(huì)受時(shí)間和空間的限制。另外，無(wú)論什么地區(qū)、什么條件下的師生，都能享受到同樣的軟件功能。

三、GeoGebra 與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合

（一）利用GeoGebra 開(kāi)展“可視化” 數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)中將“數(shù)”與“形”有效結(jié)合起來(lái)，將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容用直觀的圖形呈現(xiàn)出來(lái)，能夠幫助學(xué)生更輕松地理解學(xué)習(xí)內(nèi)容?！皵?shù)形結(jié)合”的教學(xué)方式是有效的，但并不是所有的內(nèi)容都能用圖形呈現(xiàn)出來(lái)，很多教學(xué)內(nèi)容的直觀呈現(xiàn)必須借助計(jì)算機(jī)軟件才能完成。例如，數(shù)列是特殊的函數(shù)，它的圖形是由離散的點(diǎn)構(gòu)成的，在教學(xué)中呈現(xiàn)數(shù)列的圖像，從函數(shù)的角度分析數(shù)列，可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)列[5]。比如在等差數(shù)列的教學(xué)中，可以對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，然后軟件會(huì)呈現(xiàn)猜想出來(lái)的圖形形狀和特征。通過(guò)GeoGebra 可以實(shí)現(xiàn)幾乎所有教學(xué)內(nèi)容的“可視化”?！翱梢暬钡慕虒W(xué)方式可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，直觀的圖形可以在學(xué)生的頭腦中留下更深刻的印象。通過(guò)建立直觀圖形與抽象學(xué)習(xí)內(nèi)容的聯(lián)系，有利于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。

（二）利用GeoGebra 開(kāi)展 “動(dòng)態(tài)的” 數(shù)學(xué)教學(xué)

世界是不斷運(yùn)動(dòng)變化的，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象也是不斷運(yùn)動(dòng)變化的，如函數(shù)中參數(shù)的變化、解析幾何中點(diǎn)與線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)變化等。GeoGebra 作為一款數(shù)學(xué)軟件，在動(dòng)態(tài)演示方面有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，利用GeoGebra 制作的對(duì)象是可以拖動(dòng)的，變量是可以改變的，甚至對(duì)象的屬性也可以是變量，可以說(shuō)“一切皆動(dòng)態(tài)”。利用GeoGebra 制作的動(dòng)畫(huà)不僅是動(dòng)態(tài)的，更是可操作的，可以將被動(dòng)的動(dòng)畫(huà)播放變?yōu)橹鲃?dòng)的動(dòng)態(tài)操作演示，從而幫助學(xué)生建構(gòu)起對(duì)數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)。比如，當(dāng)利用GeoGebra 進(jìn)行三角函數(shù)教學(xué)時(shí)，可以利用鼠標(biāo)的拖動(dòng)功能，將滑動(dòng)條拖到指定的位置，幫助學(xué)生直觀體驗(yàn)三角函數(shù)的成圖過(guò)程，以及不同狀態(tài)下三角函數(shù)的變化圖形，幫助學(xué)生更好地理解每個(gè)參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖像的影響。

（三）利用GeoGebra 開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究

現(xiàn)代的教育理念鼓勵(lì)學(xué)生在“做”中學(xué)，課堂教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程。通過(guò)設(shè)置適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)生成的模型，通過(guò)自主探究、合作交流、師生探究，主動(dòng)地解決問(wèn)題、形成結(jié)論。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以實(shí)際問(wèn)題為載體，把數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)應(yīng)用進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，融知識(shí)性、啟發(fā)性、實(shí)用性和實(shí)踐性于一體，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位，在教師的引導(dǎo)下，用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)，借助適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件，分析、解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。鼓勵(lì)學(xué)生從實(shí)際出發(fā)，借助GeoGebra，通過(guò)自己親手設(shè)計(jì)和動(dòng)手操作，體驗(yàn)解決問(wèn)題的全過(guò)程，從實(shí)驗(yàn)中探索、學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，這能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。GeoGebra 由于其強(qiáng)大的繪圖、動(dòng)畫(huà)制作能力，非常便于教師直觀、全面地進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。對(duì)于教學(xué)中遇到的無(wú)法或不方便用實(shí)物進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，用GeoGebra 進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究，可以突破傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)方式的局限。利用GeoGebra 能夠最大限度地還原實(shí)驗(yàn)過(guò)程，為學(xué)生建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，提供了更為有效的支持[6]。

例如，在“圓錐曲線(xiàn)與方程”這一實(shí)驗(yàn)課堂中，可以先準(zhǔn)備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點(diǎn)，將紙片折起，使圓周通過(guò)該點(diǎn)，然后將紙片展開(kāi)，就得到一條折痕（為了看清楚，可把直線(xiàn)畫(huà)出來(lái)）。這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕。觀察這些折痕圍成的輪廓，思考它是什么曲線(xiàn)，然后用GeoGebra 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想、驗(yàn)證和證明。由于折紙操作比較復(fù)雜，如果學(xué)生的折痕數(shù)量較少或折痕分布不均勻，對(duì)猜想折痕圍成的輪廓形狀會(huì)有困難。因此，教師需要對(duì)學(xué)生的折紙操作進(jìn)行指導(dǎo)，每次折紙后將折痕用筆畫(huà)出來(lái)，需要足夠多的折痕才能觀察出折痕圍成的輪廓，折紙時(shí)需要盡量使折痕均勻分布。在多次嘗試過(guò)程中，可以增強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn)感，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奇妙[7]。然后，再利用GeoGebra 進(jìn)行動(dòng)態(tài)折紙操作實(shí)驗(yàn)，模仿、優(yōu)化學(xué)生的折紙操作活動(dòng)，并保證形成足夠多的折痕和折痕分布的均勻性，學(xué)生將之與自己的折紙進(jìn)行對(duì)比，并觀察、分析，進(jìn)一步明確折痕圍成的輪廓是“橢圓”。

（四）利用GeoGebra 開(kāi)展 “交互的、有趣的”教學(xué)

興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)最強(qiáng)大的動(dòng)力，教學(xué)中需要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。制作并使用具有交互功能的GeoGebra 課件，讓學(xué)生能夠使用課件進(jìn)行自主探究，使學(xué)生真正參與數(shù)學(xué)實(shí)踐過(guò)程，充分體驗(yàn)學(xué)習(xí)的過(guò)程、感受學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

例如，在“圓錐曲線(xiàn)概念”的教學(xué)中，通過(guò)平面截圓錐面，可以得到不同的圓錐曲線(xiàn)。但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生只能通過(guò)觀看圖片，并通過(guò)空間想象去構(gòu)建模型，其對(duì)學(xué)生的建模能力和空間想象能力要求很高，導(dǎo)致教學(xué)效果不盡如人意[8]。教學(xué)中，如果能夠使用GeoGebra 制作具有直觀性、交互功能的課件，便能夠讓學(xué)生充分了解圓錐曲線(xiàn)產(chǎn)生的過(guò)程。通過(guò)課件中的按鈕和滑動(dòng)條，學(xué)生可以通過(guò)自己的操作進(jìn)行自主的實(shí)驗(yàn)探究，在此過(guò)程中，學(xué)生可以感受到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，提升學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力。

四、建立高中數(shù)學(xué)GeoGebra 課件資源庫(kù)，實(shí)現(xiàn)資源整合和共享

“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，將優(yōu)質(zhì)教育資源進(jìn)行整合、管理、共享，實(shí)現(xiàn)對(duì)優(yōu)質(zhì)資源的充分利用，是當(dāng)下的流行與趨勢(shì)。隨著教師信息技術(shù)能力的提升，GeoGebra 在教學(xué)中的應(yīng)用得到了越來(lái)越多一線(xiàn)教師的認(rèn)可，更多的教師能夠主動(dòng)、積極地使用GeoGebra進(jìn)行輔助教學(xué)，并取得了很好的教學(xué)效果。如果教師自己制作所有的、教學(xué)需要的GeoGebra 課件，工作量非常大，對(duì)于復(fù)雜課件的獨(dú)立制作難度更大。資源庫(kù)的建設(shè)讓更多優(yōu)質(zhì)的、高效的資源能夠得到合理應(yīng)用、推廣、優(yōu)化，對(duì)于促進(jìn)資源共享、引領(lǐng)GeoGebra 在教學(xué)中的應(yīng)用、促進(jìn)教育公平具有重要意義。

（一）GeoGebra 的官方網(wǎng)站資源庫(kù)

在GeoGebra 的官方網(wǎng)站上有全球使用者上傳的數(shù)以百萬(wàn)計(jì)的GeoGebra 課件，資源豐富、覆蓋面廣，使用者可以利用網(wǎng)站的搜索功能，搜索自己需要的課件，也可以將自己制作的課件上傳至網(wǎng)站與他人共享，這無(wú)疑是非常方便的。但是這些課件中的一部分可能是過(guò)時(shí)的，也有很多是英文版本的，還有一些課件并非為中國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂量身定做的，大多數(shù)課件并不適合教學(xué)應(yīng)用。因此，需要建設(shè)一個(gè)適合中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的GeoGebra 課件資源庫(kù)（或其他學(xué)科），實(shí)現(xiàn)資源的規(guī)范化、多樣化、優(yōu)質(zhì)化，為教師學(xué)習(xí)和應(yīng)用GeoGebra 提供支持，滿(mǎn)足教師個(gè)性化的選擇需求。

（二）建立高中數(shù)學(xué)GeoGebra 教學(xué)資源庫(kù)

中國(guó)大學(xué)MOOC 課程“動(dòng)態(tài)幾何畫(huà)板GeoGebra教學(xué)應(yīng)用”中，北京大學(xué)唐大仕博士系統(tǒng)講授了GeoGebra 的教學(xué)應(yīng)用，每期都有來(lái)自全國(guó)不同地區(qū)眾多的中小學(xué)教師參與學(xué)習(xí)、交流。唐大仕博士對(duì)GeoGebra 軟件強(qiáng)大的功能和其在中小學(xué)輔助教學(xué)中作用都給出了極高的評(píng)價(jià)，并在課程中發(fā)布了“召集令”，其中就包括一起建設(shè)中小學(xué)案例庫(kù)等設(shè)想，讓每一個(gè)學(xué)科、每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都能有一個(gè)更好的案例讓更多人共享。此外，很多GeoGebra 早期的使用者和推廣者也有建立GeoGebra 中小學(xué)教學(xué)資源庫(kù)的想法，以實(shí)現(xiàn)GeoGebra 在中國(guó)的推廣和在中小學(xué)教學(xué)中的廣泛應(yīng)用，并服務(wù)于教學(xué)[9]。

我們期待GeoGebra 中小學(xué)教學(xué)資源庫(kù)能夠盡快建立和完善，讓更多的教師認(rèn)識(shí)、使用GeoGebra 進(jìn)行教學(xué)，推進(jìn)GeoGebra 與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合。

總之，合理并巧妙地將GeoGebra 融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，可以讓數(shù)學(xué)課堂真正“活”起來(lái)，可以方便學(xué)生更全面地學(xué)好數(shù)學(xué)。但是，在應(yīng)用的過(guò)程中，教師需要根據(jù)學(xué)生的需求和學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的情況來(lái)進(jìn)行合理應(yīng)用，同時(shí)還要在教學(xué)過(guò)程中多總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、多反思，借助GeoGebra 使學(xué)生構(gòu)建全面、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)構(gòu)圖思維，幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)探究興趣，讓學(xué)生愛(ài)上數(shù)學(xué)課。