范錦蓉，張 海

(北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100083)

0 引言

地磁場(chǎng)已被廣泛應(yīng)用于導(dǎo)航定位，地磁導(dǎo)航的精度在一定程度上取決于地磁場(chǎng)測(cè)量的精度。如何提高地磁場(chǎng)的測(cè)量元件之一——磁力計(jì)的測(cè)量精度，是地磁導(dǎo)航研究的重要問(wèn)題。此外，因?yàn)榇帕τ?jì)的測(cè)量精度易受外界環(huán)境的影響，磁力計(jì)的現(xiàn)場(chǎng)快速標(biāo)定也成為地磁導(dǎo)航的關(guān)鍵。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)磁力計(jì)標(biāo)定問(wèn)題均開(kāi)展了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[1]提出將水平轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)一周，獲得磁力計(jì)輸出的最大值和最小值，可以粗略地估計(jì)出三軸的標(biāo)度因數(shù)和零偏；文獻(xiàn)[2]提出制造非磁性校準(zhǔn)平臺(tái),用于校準(zhǔn)磁力計(jì)；文獻(xiàn)[3]提出針對(duì)雙軸磁力計(jì)的橢圓擬合法，利用三軸轉(zhuǎn)臺(tái)固定磁力計(jì)的方位角和俯仰角，令其橫滾旋轉(zhuǎn)采集磁場(chǎng)數(shù)據(jù)，最后利用最小二乘法和橢圓方程對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，獲得誤差參數(shù)；文獻(xiàn)[4]提出利用橢球擬合法對(duì)三軸磁力計(jì)的誤差進(jìn)行校正，相較于文獻(xiàn)[3]，文獻(xiàn)[4]對(duì)于數(shù)據(jù)采集過(guò)程中磁力計(jì)的姿態(tài)不再加以約束，擬合對(duì)象也由橢圓變?yōu)榱藱E球，其余基本一致；文獻(xiàn)[5]提出使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)磁力計(jì)航向與真實(shí)航向之間的非線(xiàn)性關(guān)系進(jìn)行建模，只要前期校準(zhǔn)過(guò)程中具有完備的數(shù)據(jù)集，即使后期使用過(guò)程中外部有磁場(chǎng)干擾，也能獲得正確的航向信息。工程中也常常采用在小范圍內(nèi)繞場(chǎng)一圈，獲得磁力計(jì)輸出的最大值和最小值來(lái)簡(jiǎn)單標(biāo)定磁力計(jì)的方法。

分析上述標(biāo)定方法，均存在以下部分特點(diǎn)：1)需要專(zhuān)業(yè)設(shè)備的支持，例如水平或三軸轉(zhuǎn)臺(tái)等；2)對(duì)于計(jì)算能力有較高的要求；3)對(duì)標(biāo)定數(shù)據(jù)的采集方式有嚴(yán)格的要求；4)只能提前進(jìn)行標(biāo)定，不能在采集數(shù)據(jù)的過(guò)程中，針對(duì)磁場(chǎng)環(huán)境的變化隨時(shí)進(jìn)行再標(biāo)定。這些特點(diǎn)無(wú)疑會(huì)限制標(biāo)定方法在外場(chǎng)的使用。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種基于航向匹配的磁力計(jì)外場(chǎng)無(wú)依托標(biāo)定算法。該算法基于航向角是磁航向角與磁偏角的代數(shù)和的原理，通過(guò)等價(jià)數(shù)學(xué)變換構(gòu)建了磁力計(jì)零偏關(guān)于姿態(tài)角和磁力計(jì)測(cè)量值的線(xiàn)性模型。由于算法會(huì)應(yīng)用于測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)，設(shè)備資源有限，因此姿態(tài)角可以通過(guò)全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System, GPS)和低成本慣性測(cè)量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)組合或者較高精度的慣導(dǎo)系統(tǒng)獲得。最后利用最小二乘法估計(jì)三軸磁力計(jì)的零偏。相較于Kalman濾波，最小二乘法只要挑選的數(shù)據(jù)合理，估計(jì)的零偏在確保準(zhǔn)確的前提下，既不會(huì)頻繁波動(dòng)，亦不會(huì)受到噪聲系數(shù)設(shè)置不合理帶來(lái)的不良影響。算法除獲取姿態(tài)角所需儀器外，無(wú)需其他精密儀器，計(jì)算量小，操作簡(jiǎn)單方便，且支持在采集數(shù)據(jù)的過(guò)程中隨時(shí)進(jìn)行再標(biāo)定，適合用于現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定。標(biāo)定結(jié)果也可以作為其他精確標(biāo)定方法的可靠初值。

不同于傳統(tǒng)的用于輔助修正航向角的磁力計(jì)，本文標(biāo)定完成的磁力計(jì)旨在用于地磁匹配導(dǎo)航。磁力計(jì)的測(cè)量精度越高，地磁匹配導(dǎo)航的精度也會(huì)隨之提高。在GPS失效的情況下，慣性導(dǎo)航會(huì)出現(xiàn)誤差的累積，地磁匹配導(dǎo)航具有無(wú)累積誤差的優(yōu)點(diǎn)，可以有效輔助慣性導(dǎo)航修正其誤差。尤其是針對(duì)長(zhǎng)直路段問(wèn)題，相較于地圖匹配導(dǎo)航或者航跡推算系統(tǒng)，地磁匹配導(dǎo)航能夠更好地解決定位問(wèn)題，只要當(dāng)?shù)卮嬖诿黠@的地磁特征，地磁匹配導(dǎo)航就可以有效地進(jìn)行定位，進(jìn)而修正慣性導(dǎo)航的誤差。利用第4節(jié)的方法，可以在在線(xiàn)標(biāo)定磁力計(jì)的過(guò)程中，濾除測(cè)量數(shù)據(jù)中噪聲的干擾，并且識(shí)別出地磁異常數(shù)據(jù)，獲得的磁異常數(shù)據(jù)可以為長(zhǎng)直路段的地磁匹配導(dǎo)航提供基礎(chǔ)信息。

1 磁力計(jì)輸出模型

磁力計(jì)誤差主要可分為器件自身誤差和外界環(huán)境干擾兩部分。其中，器件自身誤差主要包括偏置誤差、尺度因子誤差，以及測(cè)量軸非正交誤差等；外界環(huán)境帶來(lái)的磁場(chǎng)干擾誤差主要包括載體中磁力計(jì)周?chē)挠泊藕蛙洿挪牧显斐傻臏y(cè)量偏差等。這些誤差均可歸納為尺度因子誤差和偏置誤差。

磁力計(jì)的測(cè)量模型可以表示為

=+

(1)

實(shí)際工程應(yīng)用中，磁力計(jì)一般已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)室經(jīng)過(guò)了系統(tǒng)標(biāo)定，外場(chǎng)環(huán)境對(duì)矩陣的影響很小。因此，可以近似為單位陣，簡(jiǎn)易標(biāo)定的重點(diǎn)應(yīng)在于對(duì)偏置誤差的估計(jì)。

綜上所述，磁場(chǎng)的真值為

(2)

2 標(biāo)定原理

本文設(shè)計(jì)的基于航向匹配的磁力計(jì)外場(chǎng)無(wú)依托標(biāo)定算法，可以?xún)H利用現(xiàn)場(chǎng)已有的數(shù)據(jù),即三軸磁力計(jì)測(cè)量值和載體(磁力計(jì))姿態(tài)角(俯仰角、橫滾角和航向角)完成對(duì)三軸磁力計(jì)的外場(chǎng)標(biāo)定。

標(biāo)定原理：航向角是磁航向角與磁偏角的代數(shù)和。

=+

(3)

其中，為航向角；為磁航向角；為磁偏角(磁針指北時(shí)向東偏則磁偏角為正，向西偏則磁偏角為負(fù))。

姿態(tài)角可以由GPS和低成本IMU提供，其中，GPS提供航向角，IMU提供俯仰角和滾轉(zhuǎn)角。磁航向角可以通過(guò)計(jì)算獲得；磁偏角隨地理位置的變化較小，可以通過(guò)查閱資料獲得。磁航向角的計(jì)算過(guò)程會(huì)涉及三軸零偏，因此，利用上述標(biāo)定原理估計(jì)三軸磁力計(jì)的零偏是可行的。

由于航向角和磁偏角可以從相關(guān)儀器或資料中直接獲得，所以下面僅對(duì)磁航向角的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明。

首先，將磁力計(jì)的測(cè)量值投影至水平面

(4)

(5)

其中，為載體的俯仰角；為載體的滾轉(zhuǎn)角。

若測(cè)量數(shù)據(jù)中沒(méi)有俯仰角和滾轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)，對(duì)于在地面行駛的車(chē)輛，滾轉(zhuǎn)角可以近似為0°，同時(shí)在航向角不變的區(qū)域，俯仰角可按式(6)進(jìn)行計(jì)算

(6)

其中，Δ為第時(shí)刻和第+1時(shí)刻之間的高度變化；Δ為兩個(gè)時(shí)刻間車(chē)輛行駛的距離；、+1分別為第時(shí)刻和第+1時(shí)刻車(chē)輛的高程；、+1分別為第時(shí)刻和第+1時(shí)刻的車(chē)輛里程計(jì)信息；(,)和(+1,+1)為由第時(shí)刻和第+1時(shí)刻的GPS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的UTM坐標(biāo)。

磁航向角是載體縱軸在水平面上的投影與磁子午線(xiàn)的夾角(磁北為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn))，其計(jì)算方式為

(7)

3 標(biāo)定模型設(shè)計(jì)

由式(7)可知，標(biāo)定原理中磁航向角的計(jì)算會(huì)涉及反三角函數(shù)，這是一種非線(xiàn)性運(yùn)算，會(huì)帶來(lái)收斂速度和計(jì)算量等相關(guān)問(wèn)題。

為了解決上述問(wèn)題，基于航向匹配的磁力計(jì)外場(chǎng)無(wú)依托標(biāo)定算法在標(biāo)定模型的推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)式(7)進(jìn)行了一系列的數(shù)學(xué)等價(jià)變換，可以將之等價(jià)變換為線(xiàn)性模型。這樣既能確保最終結(jié)果的收斂性，也可以減少運(yùn)算量，從而提高標(biāo)定速度。

變換過(guò)程為：

首先，對(duì)式(3)進(jìn)行正切函數(shù)(tan)計(jì)算，以抵消磁航向角計(jì)算過(guò)程中arctan函數(shù)的影響

tan(-)=tan

(8)

其次，由式(4)和式(5)可知，投影到水平面后磁場(chǎng)分量為

(9)

將式(9)代入式(8)可得

tan(-)=tan=

(10)

做變換得

tan(-)·[(-)cos+(-)·

sinsin+(-)sincos]=(-)·

cos-(-)sin

(11)

提取式(11)中的零偏系數(shù)

=·+

(12)

其中

=costan(-)·+[sinsintan(-

)-cos]·+[sincostan(-)+

sin]·

式(12)中，為載體的偏航角,為載體的俯仰角，為載體的滾轉(zhuǎn)角，為磁偏角，它們的獲得方法上文已提及，所以在標(biāo)定過(guò)程中，它們的三角函數(shù)都是已知量；此外，、、為磁力計(jì)的三軸測(cè)量值，也是已知量。所以，矩陣和都已知。

綜上所述，可知式(12)中僅矩陣為未知量，且與之間為線(xiàn)性關(guān)系。至此，式(7)成功等價(jià)變換為線(xiàn)性標(biāo)定模型。

最后利用最小二乘法標(biāo)定磁力計(jì)的零偏。

最小二乘法是估計(jì)待求參數(shù)的常用方法，目的是使得殘差平方和最小，即式(13)最小

(13)

其中，為殘差平方和。

獲得的矩陣即為標(biāo)定該磁力計(jì)所需的零偏。

令式(13)成立的解為

=()

(14)

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)預(yù)處理

磁力計(jì)在測(cè)量過(guò)程中會(huì)受到多種干擾，除第1節(jié)提及的因素之外，不可控的外場(chǎng)環(huán)境也會(huì)引入新的測(cè)量噪聲。因此，需要先對(duì)采集到的地磁數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，盡量抑制其中的噪聲，才能進(jìn)一步將數(shù)據(jù)用于磁力計(jì)的標(biāo)定。

本文選擇中值-均值濾波與FIR數(shù)字濾波器相結(jié)合的濾波算法。

4.1 中值-均值濾波

中值-均值濾波是一種較為簡(jiǎn)單但行之有效的濾波方法。它包括中值濾波和均值濾波兩部分，其中中值濾波能夠有效濾除孤立的脈沖噪聲點(diǎn)；均值濾波能夠有效削減數(shù)據(jù)中的白噪聲，本文采用算數(shù)平均濾波。

先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行中值濾波，中值濾波的關(guān)鍵步驟在于對(duì)小窗口內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，取其中值；再對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行均值濾波，均值濾波的關(guān)鍵步驟在于對(duì)小窗口內(nèi)的數(shù)據(jù)取均值。式(15)表示均值濾波的關(guān)鍵步驟

(15)

其中，為小窗口的長(zhǎng)度。式(15)表示對(duì)原序列{()}中第-+1到第個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行平均，獲得濾波后序列{()}的第個(gè)數(shù)據(jù)。

4.2 FIR數(shù)字濾波

FIR(Finite Impulse Response)濾波器是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域最廣為使用的一種濾波處理方式，在圖像處理、通信等領(lǐng)域都有著較為廣泛的應(yīng)用。

如果想設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，窗函數(shù)法是最為簡(jiǎn)單的一種方法，本文選擇利用Hamming窗設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器。

Hamming窗可按照式(16)進(jìn)行計(jì)算

(16)

其中，()為Hamming窗的窗函數(shù)的單位脈沖響應(yīng)；為窗函數(shù)的長(zhǎng)度。

4.3 挑選標(biāo)定數(shù)據(jù)

完成對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的濾波處理后，可以在一定程度上減小數(shù)據(jù)的噪聲。然而，測(cè)量值中可能會(huì)存在磁異常數(shù)據(jù)，如果這些數(shù)據(jù)參與了磁力計(jì)的標(biāo)定，無(wú)疑會(huì)干擾最終的標(biāo)定結(jié)果。因此，在選擇標(biāo)定數(shù)據(jù)前必須要剔除磁異常數(shù)據(jù)。

在小區(qū)域內(nèi)，磁偏角基本不變，所以磁航向角的變化幅度應(yīng)該和航向角的變化幅度相同。因此，可以利用式(17)對(duì)數(shù)據(jù)是否存在磁異常進(jìn)行判斷

Δ=|(+1-+1)-(-)|

(17)

其中，、+1分別為第時(shí)刻和第+1時(shí)刻的航向角；、+1分別為第時(shí)刻和第+1時(shí)刻按照式(7)計(jì)算得出的磁航向角。當(dāng)然，上述判定方法較為簡(jiǎn)單，可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。

可以根據(jù)標(biāo)定區(qū)域的實(shí)際情況設(shè)置閾值，若Δ<，則說(shuō)明不存在磁異常，滿(mǎn)足理論情況；若Δ≥，說(shuō)明數(shù)據(jù)存在磁異常,需舍棄。

另外，剔除磁異常數(shù)據(jù)之后，由式(14)可知，為使式(13)有解，挑選的標(biāo)定數(shù)據(jù)必須要保證矩陣滿(mǎn)秩。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為驗(yàn)證標(biāo)定方法的可行性，對(duì)北京市某條公路的地磁場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，并利用相關(guān)儀器測(cè)量載體的航向角、俯仰角和滾轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)。其中標(biāo)定的磁偏角選擇北京的平均磁偏角5°50′W。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)中值-均值濾波和FIR數(shù)字濾波器濾波后，效果如圖1～圖3所示。其中，藍(lán)線(xiàn)為濾波前磁力計(jì)、、軸的測(cè)量值，紅線(xiàn)為濾波后磁力計(jì)、、軸的測(cè)量值。

圖1 濾波前后X軸測(cè)量數(shù)據(jù)Fig.1 X-axis measurement data before and after filtering

圖2 濾波前后Y軸測(cè)量數(shù)據(jù)Fig.2 Y-axis measurement data before and after filtering

圖3 濾波前后Z軸測(cè)量數(shù)據(jù)Fig.3 Z-axis measurement data before and after filtering

觀(guān)察圖1～圖3可以發(fā)現(xiàn)，濾波完成后，磁力計(jì)測(cè)量值的噪聲得到了有效抑制，有效減小了標(biāo)定磁力計(jì)的過(guò)程中噪聲對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響。

完成濾波后，按照式(12)對(duì)三軸磁力計(jì)進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定前后計(jì)算得出的磁航向角如圖4所示。其中,藍(lán)線(xiàn)為標(biāo)定完成后磁航向角的計(jì)算值，紅線(xiàn)為利用航向角和磁偏角計(jì)算出的磁航向角的理論值，黃線(xiàn)為標(biāo)定前磁航向角的計(jì)算值。

圖4 磁航向角的理論值及標(biāo)定前后磁航向角的計(jì)算值Fig.4 Theoretical value of magnetic heading angle and the calculated value of magnetic heading angle before and after calibration

對(duì)標(biāo)定前后磁航向角與理論值(理論值=航向角-磁偏角)之間的誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示。

表1 標(biāo)定前后磁航向角計(jì)算誤差的均值和方差

通過(guò)觀(guān)察圖4和表1，可以得出結(jié)論：標(biāo)定后，磁航向角的計(jì)算準(zhǔn)確度相對(duì)于標(biāo)定前有了較大的提升。

相比于工程中常用的繞圈標(biāo)定，本文提出的方法可以在測(cè)量過(guò)程中隨時(shí)進(jìn)行再標(biāo)定，無(wú)需更改車(chē)輛的行駛軌跡，靈活性較高，更適應(yīng)地磁環(huán)境復(fù)雜的測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)。

如果能獲得各個(gè)地點(diǎn)準(zhǔn)確的磁偏角數(shù)值，取代現(xiàn)在采用的北京市平均磁偏角，理論上可以使標(biāo)定精度進(jìn)一步提升。

6 結(jié)論

本文提出了一種基于航向匹配的磁力計(jì)外場(chǎng)無(wú)依托標(biāo)定算法，利用航向角是磁航向角與磁偏角的代數(shù)和的原理，采用磁力計(jì)和姿態(tài)角的測(cè)量數(shù)據(jù)，對(duì)磁力計(jì)的三軸零偏進(jìn)行標(biāo)定。

1)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，標(biāo)定后計(jì)算出的磁航向角明顯更符合理論情況，相比于標(biāo)定前，磁航向角誤差的均值和方差均有了較大程度的降低，說(shuō)明該算法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)磁力計(jì)的有效標(biāo)定。

2)相較于引言中提及的標(biāo)定方法，首先，基于航向匹配的磁力計(jì)外場(chǎng)無(wú)依托標(biāo)定算法不需要水平轉(zhuǎn)臺(tái)、無(wú)磁轉(zhuǎn)臺(tái)等精密儀器；其次，算法的標(biāo)定模型較為簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，數(shù)據(jù)采集方便，且支持在數(shù)據(jù)測(cè)量過(guò)程中進(jìn)行動(dòng)態(tài)標(biāo)定。

3)本文提出的在線(xiàn)標(biāo)定算法可以標(biāo)定磁力計(jì)的偏置誤差，適用于對(duì)標(biāo)定精度要求較低的場(chǎng)合，或是為其他精確算法提供可靠初值。

4)標(biāo)定完成的磁力計(jì)可以用于地磁匹配導(dǎo)航。在GPS失效的情況下，慣性導(dǎo)航會(huì)出現(xiàn)誤差的累積，地磁匹配導(dǎo)航可以有效輔助修正其誤差。此外，相較于地圖匹配導(dǎo)航或者航跡推算系統(tǒng)，地磁匹配導(dǎo)航能夠更好地處理長(zhǎng)直路段定位問(wèn)題，只要當(dāng)?shù)卮嬖诿黠@的地磁特征，地磁匹配導(dǎo)航就可以有效地進(jìn)行定位，進(jìn)而修正慣性導(dǎo)航的誤差。本文所提方法可以在標(biāo)定磁力計(jì)的過(guò)程中，濾除測(cè)量數(shù)據(jù)中噪聲的干擾，并且識(shí)別出地磁異常數(shù)據(jù)，獲得的磁異常數(shù)據(jù)可以為長(zhǎng)直路段的地磁匹配導(dǎo)航提供基礎(chǔ)信息。