趙海濱，顏世玉

摘要：時滯混沌系統(tǒng)具有非常復(fù)雜的動力學(xué)行為，在保密通信和圖像加密等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。對于三種常見的時滯混沌系統(tǒng)：時滯Liu混沌系統(tǒng)、時滯Chen混沌系統(tǒng)和時滯R?ssler混沌系統(tǒng)，采用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，給出了對應(yīng)的腳本程序，并繪制狀態(tài)變量的二維相圖。通過數(shù)值仿真，可以使學(xué)生對時滯混沌系統(tǒng)有更加直觀的認(rèn)識，加深對時滯混沌系統(tǒng)的理論理解。

關(guān)鍵詞：時滯混沌；數(shù)值仿真；Matlab；仿真實(shí)驗(yàn)

中圖分類號：TP273? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）35-0096-03

1 概述

混沌是一種復(fù)雜的自然現(xiàn)象，對初始值非常敏感，并具有長期不可預(yù)測性和偽隨機(jī)性等特點(diǎn)，可以用于保密通信和數(shù)據(jù)加密[1-2]。在實(shí)際的工程系統(tǒng)中，時滯現(xiàn)象是廣泛存在的。在混沌系統(tǒng)的微分方程中，添加時滯項(xiàng)后得到的時滯混沌系統(tǒng)具有非常復(fù)雜的動力學(xué)行為。時滯混沌系統(tǒng)的維數(shù)是無窮維的，即具有無窮多個自由度，動力學(xué)行為比非時滯混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜。時滯混沌系統(tǒng)的同步控制是非線性領(lǐng)域研究的熱門課題之一[3-4]。時滯混沌系統(tǒng)提高了混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度，在保密通信和圖像加密等領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用前景[5]。

本文對三種常見的時滯混沌系統(tǒng)采用Matlab語言進(jìn)行數(shù)值仿真。三種時滯混沌系統(tǒng)分別是時滯Liu混沌系統(tǒng)、時滯Chen混沌系統(tǒng)和時滯R?ssler混沌系統(tǒng)。Matlab軟件功能強(qiáng)大，應(yīng)用廣泛，非常適合進(jìn)行混沌系統(tǒng)的數(shù)值仿真[6-7]。在Matlab軟件中采用函數(shù)dde23進(jìn)行時滯混沌的數(shù)值仿真[8]，給出了對應(yīng)的腳本程序，采用函數(shù)plot繪制狀態(tài)變量的二維相圖。本文將Matlab軟件用于時滯混沌系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，通過數(shù)值仿真，使學(xué)生對時滯混沌系統(tǒng)有更加直觀的認(rèn)識，加深對時滯混沌系統(tǒng)的理論理解。

2 時滯Liu混沌

時滯Liu混沌系統(tǒng)，可以表示為：

[x1（t）=x3（t）-ax1（t）+x1（t）x2（t-τ2）x2（t）=1-bx2（t）-x21（t-τ1）x3（t）=-x1（t-τ1）-cx3]? ? ? （1）

其中，[x1]，[x2]和[x3]為時滯Liu混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量，[t]為時間，[a]，[b]和[c]為常數(shù)，[τ1]和[τ2]為延遲時間常數(shù)。

對于時滯Liu混沌系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)設(shè)定為[a=0.2]，[b=0.5]，[c=0.1]，[τ1=0.4]和[τ2=0.1]時，該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。當(dāng)[τ1≤t≤0]時，初始值設(shè)定為[（x1（t），x2（t），x3（t））=（1.0，1.0，1.0）]，采用函數(shù)dde23進(jìn)行數(shù)值仿真。仿真時間設(shè)定為300秒，步長為0.001秒。時滯Liu混沌系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真時，Matlab腳本程序如下：

clear; clc; close all;

a=0.2; b=0.5; c=0.1;

tau=[0.4， 0.1]; history=[1; 1; 1]; tf=300;

Liu=@（t，x，Z） [x（3）-a*x（1）+x（1）*Z（2，2）;

1-b*x（2）-Z（1，1）^2; -Z（1，1）-c*x（3）];

sol=dde23（Liu， tau， history， [0，tf]）;

fs=1000; t=linspace（0，tf，tf*fs）;

x=deval（sol，t）;

figure; plot（x（1，：）， x（2，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x2（t）'）;

figure; plot（x（1，：）， x（3，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x3（t）'）;

在腳本程序中，建立匿名函數(shù)Liu，然后采用函數(shù)dde23進(jìn)行數(shù)值仿真，通過函數(shù)plot繪制狀態(tài)變量的二維相圖。時滯Liu混沌系統(tǒng)中，狀態(tài)變量[x1]和[x2]的二維相圖，如圖1所示，狀態(tài)變量[x1]和[x3]的二維相圖如圖2所示。由圖1和圖2可以看到該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

3 時滯Chen混沌

三維Chen混沌系統(tǒng)，狀態(tài)方程表示為：

[x1（t）=a（x2（t）-x1（t））x2（t）=（c-a）x1（t）-x1（t）x3（t）+cx2（t）x3（t）=x1（t）x2（t）-bx3（t）]? ? ? （2）

其中，[x1]，[x2]和[x3]為Chen混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量， [a]，[b]和[c]為常數(shù)，[t]為時間。

在Chen混沌系統(tǒng)的第三個微分方程中，添加時滯控制項(xiàng)，得到時滯Chen混沌系統(tǒng)，表示為：

[x1（t）=a（x2（t）-x1（t））x2（t）=（c-a）x1（t）-x1（t）x3（t）+cx2（t）x3（t）=x1（t）x2（t）-bx3（t）+k（x3（t）-x3（t-τ））]? ?（3）

其中，[x1]，[x2]和[x3]為時滯Chen混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量，[t]為時間，[a]，[b]，[c]和[k]為常數(shù)，[τ]為延遲時間常數(shù)。

對于時滯Chen混沌系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)設(shè)定為[a=35]，[b=3.0]，[c=18.5]，[k=3.8]和[τ=0.3]時，該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。對于時滯Chen混沌系統(tǒng)，當(dāng)[τ≤t≤0]時，系統(tǒng)的初始值設(shè)定為[（x1（t），x2（t），x3（t））=（1.5，1.5，2.0）]，采用函數(shù)dde23進(jìn)行數(shù)值仿真。仿真時間設(shè)定為40秒，步長為0.001秒。時滯Chen混沌系統(tǒng)的MATLAB腳本程序如下：

clear; clc; close all;

a=35; b=3; c=18.5; k=3.8;

tau=0.3; history=[1.5; 1.5; 2]; tf=40;

Chen=@（t，x，Z）[a*（x（2）-x（1））;（c-a）*x（1）-x（1）*x（3）

+c*x（2）; x（1）*x（2）-b*x（3）+k*（x（3）-Z（3，1））];

sol=dde23（Chen， tau， history， [0，tf]）;

fs=1000; t=linspace（0，tf，tf*fs）;

x=deval（sol，t）;

figure; plot（x（1，：）， x（2，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x2（t）'）;

figure; plot（x（1，：）， x（3，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x3（t）'）;

在腳本程序中，建立匿名函數(shù)Chen，然后采用函數(shù)dde23進(jìn)行數(shù)值仿真，通過函數(shù)plot繪制狀態(tài)變量的二維相圖。時滯Chen混沌系統(tǒng)中，狀態(tài)變量[x1]和[x2]的二維相圖如圖3所示，狀態(tài)變量[x1]和[x3]的二維相圖如圖4所示，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

4 時滯R?ssler混沌

三維R?ssler混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

[x1（t）=-x2（t）-x3（t）x2（t）=x1（t）+bx2（t）x3（t）=b+x1（t）x3（t）-cx3（t）]? ? ? ? ? ? （4）

其中，[x1]，[x2]和[x3]為狀態(tài)變量，[t]為時間，[b]和[c]為常數(shù)。當(dāng)[b=0.2]，[c=5.7]時，R?ssler系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

在R?ssler混沌的第一個微分方程中添加兩個時滯項(xiàng)，可以得到時滯R?ssler混沌系統(tǒng)，表示為：

[x1（t）=-x2（t）-x3（t）+a1x1（t-τ1）+a2x1（t-τ2）x2（t）=x1（t）+bx2（t）x3（t）=b+x1（t）x3（t）-cx3（t）]? ? （5）

其中，[x1]，[x2]和[x3]為時滯R?ssler混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量，[t]為時間，[a1]，[a2]，[b]和[c]為常數(shù)，[τ1]和[τ2]為延遲時間常數(shù)。

對于時滯R?ssler混沌系統(tǒng)，參數(shù)設(shè)定為[a1=0.2]，[a2=0.5]，[b=0.2]，[c=5.7]，[τ1=1.0]，[τ2=2.0]時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。當(dāng)[τ2≤t≤0]時，初始值設(shè)定為[（x1（t），x2（t），x3（t））=（3.0，0.3，5.0）]時，采用函數(shù)dde23進(jìn)行數(shù)值仿真。仿真時間為300秒，步長為0.001秒。時滯R?ssler混沌數(shù)值仿真的Matlab腳本程序如下：

clear; clc; close all;

a1=0.2; a2=0.5; b=0.2; c=5.7;

tau=[1， 2]; history=[3; 0.3; 5]; tf=300;

Rossler=@（t，x，Z） [-x（2）-x（3）+a1*Z（1，1）+a2*Z（1，2）;

x（1）+b*x（2）; b+x（1）*x（3）-c*x（3）];

sol=dde23（Rossler， tau， history， [0，tf]）;

fs=1000; t=linspace（0，tf，tf*fs）;

x=deval（sol，t）;

figure; plot（x（1，：）， x（2，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x1（t）'）; ylabel（'x2（t）'）;

figure; plot（x（2，：）， x（3，：）， 'b'）;

grid on; xlabel（'x2（t）'）; ylabel（'x3（t）'）;

在腳本程序中，根據(jù)時滯R?ssler混沌的狀態(tài)方程建立匿名函數(shù)，然后采用函數(shù)dde23進(jìn)行數(shù)值仿真，通過函數(shù)plot繪制狀態(tài)變量的二維相圖。時滯R?ssler混沌系統(tǒng)中，狀態(tài)變量[x1]和[x2]的二維相圖如圖5所示，狀態(tài)變量[x2]和[x3]的二維相圖如圖6所示。由圖5和圖6可以看到時滯R?ssler系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

5 結(jié)論

時滯混沌系統(tǒng)具有復(fù)雜的動力學(xué)行為，在保密通信和圖像加密等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。本文對三種常見的時滯混沌系統(tǒng)采用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真。通過Matlab軟件的函數(shù)dde23進(jìn)行時滯微分方程的求解，并采用函數(shù)plot繪制狀態(tài)變量的二維相圖，給出了對應(yīng)的腳本程序。時滯混沌系統(tǒng)比較抽象不容易理解。本文將Matlab軟件用于時滯混沌系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，通過該仿真實(shí)驗(yàn)使學(xué)生對時滯混沌系統(tǒng)有更加直觀的認(rèn)識，加深對時滯混沌系統(tǒng)的理論理解。

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【通聯(lián)編輯：王力】