廣東省廣州市增城區(qū)教師發(fā)展中心(511300) 張河源

1 幾何直觀的內(nèi)涵和意義

1.1 幾何直觀的內(nèi)涵

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)指出,初中階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為:抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識.幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣.幾何直觀不再是一種行為,而是“意識與習(xí)慣”,是指一個人在遇到問題時,頭腦中會自覺地浮現(xiàn)一些圖形,主動地選擇畫圖,利用圖形的概念與特征、圖形的關(guān)系、圖形的運(yùn)動和變化來幫助自己分析思路,解決問題.幾何直觀具體表現(xiàn)為:一是感知各種幾何圖形及其組成元素,依據(jù)圖形特征進(jìn)行分類;二是根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形,分析圖形的性質(zhì);三是建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型;四是利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題,探索解決問題的思路.幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì),明晰思維的路徑.

1.2 幾何直觀的意義

1.2.1 拓寬解題思路

學(xué)生可以借用幾何直觀從不同的維度與角度分析問題,尋求不同的解題路徑.如一個圓錐體的三視圖,左視圖是三角形,正視圖是三角形,俯視圖是圓.在分析問題過程中從不同的方向考慮,則會產(chǎn)生不同的想法與思路,學(xué)生用幾何圖形將復(fù)雜問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和發(fā)散思維,就可能得到不同的思路和方法,一題多解,并且將不同的解題思路的比對,從而找到最佳解決方案,有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力,發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.

1.2.2 理清解題線索

幾何直觀在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和解題過程中扮演著偵探的角色,學(xué)生借助幾何直觀迅速地理清解題線索,將復(fù)雜的問題簡單化、條理化,通過作圖的方式來呈現(xiàn)問題,將復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型用圖形表示,然后用不同的顏色將復(fù)雜的圖形拆解成幾個簡單的基本圖形,從而將問題的核心點(diǎn)暴露出來,有針對性地解決問題,這樣便于學(xué)生獨(dú)立分析問題,解決問題.

1.2.3 鞏固基礎(chǔ)知識

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,由于學(xué)生掌握的知識量不全和思維力不強(qiáng),導(dǎo)致有些知識點(diǎn)或概念理解模糊,相近概念混淆不清,張冠李戴,即使經(jīng)過多次復(fù)習(xí),記憶點(diǎn)也難以持久而深刻,巧妙地利用幾何直觀可以在頭腦中建立直觀的結(jié)構(gòu)圖,讓平時難以理解的知識點(diǎn)或概念變得簡單明了,便于理解、記憶,舉一反三,有效激發(fā)學(xué)生探究的欲望.另外,幾何直觀可將復(fù)雜、繁瑣、枯燥的數(shù)學(xué)語言變得生動、形象、直觀,利用幾何直觀將用數(shù)學(xué)語言描述的復(fù)雜問題演變?yōu)閹缀螆D形表示的問題,從特殊問題演變?yōu)橐话銌栴},經(jīng)過清晰明了的幾何直觀,理清數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系,將相關(guān)知識有效關(guān)聯(lián),有利于數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、整體化、網(wǎng)格化,有利于全面掌握所學(xué)知識.

2 幾何直觀教學(xué)中面臨的突出問題

2.1 理解困難

幾何題常需通過添加輔助線,凸顯圖形中線段、角之間關(guān)系.但學(xué)生因?yàn)椴皇煜缀位緢D形,缺乏對定理的深刻理解,導(dǎo)致無法識別基本圖形及合理添加相應(yīng)輔助線.如“遇中點(diǎn)”常用的輔助線有構(gòu)造“中位線”“倍長中線”等.

例1如圖1,在邊長為的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接EC,FD,點(diǎn)G,H分別是EC,FD的中點(diǎn),連接GH,求GH的長度.

圖1

當(dāng)圖形中出現(xiàn)“雙中點(diǎn)”時,可以構(gòu)造中位線.

幾何教學(xué)中輔助線添加有賴于定理教學(xué)和提煉基本圖形.如案例二中遇兩個中點(diǎn)常見的運(yùn)用中位線解題,教學(xué)中教師不是孤立講授解法,而應(yīng)構(gòu)建基本圖形,消除學(xué)生對添加輔助線的恐懼感.

例2如圖2,一個圓柱高為5cm,底面直徑為cm,一只螞蟻沿圓柱體側(cè)面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B覓食,這只螞蟻爬行的最短距離是多少cm?

圖2

學(xué)生對圓柱體表面(曲面)的爬行路徑理解不了,束手無策,分不清圖形之間的關(guān)系,不知從何入手.如果學(xué)生能把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,再根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”進(jìn)行求解,那么問題迎刃而解.

2.2 分析困難

數(shù)學(xué)語言有符號語言、圖形語言和文字語言.符號語言是一種由數(shù)字、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)術(shù)語和經(jīng)過改造的自然語言組成的科學(xué)語言,具有確定性強(qiáng)、通用性高、簡潔明晰等特點(diǎn).圖形語言是幾何題中的直觀圖形表征,圖形語言具體而直觀,但卻需要學(xué)生具有較強(qiáng)的圖形處理能力.文字語言是指漢語文字,是幾何表述中必不可少的語言,它的加入使得幾何表述更加簡便、準(zhǔn)確.三種語言的轉(zhuǎn)換既需要教師在定理新授課中有意識地設(shè)計(jì)圖形語言、文字語言、符號語言相互轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié),又需要學(xué)生在解題中多次規(guī)范書寫訓(xùn)練,才能達(dá)到自然轉(zhuǎn)換的效果.

例3證明“垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.”

大部分同學(xué)能畫出幾何圖形,但是沒有解題思路,主要表現(xiàn)在圖式轉(zhuǎn)化不力,不能精確把文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言和符號語言.因此,教學(xué)中教師可先讓學(xué)生感知幾何圖形及其組成元素,包含圓、直徑、弦、弧,再根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形,分析圖形中弦、弧的性質(zhì),建立數(shù)與形的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路.

2.3 運(yùn)用困難

在課堂教學(xué)中,在教師的指導(dǎo)下,學(xué)生幾何直觀的思維方式表現(xiàn)得較好,分析問題和解題思路比較清晰.但是遇到自己獨(dú)立解題或者考試時卻很難將幾何直觀運(yùn)用到實(shí)際問題中.究其原因,大多數(shù)學(xué)生雖然明白幾何直觀,但僅僅是明白幾何直觀的表象,只懂得用幾何圖形的轉(zhuǎn)變而不能掌握幾何直觀背后的邏輯分析能力與空間思維能力.幾何直觀并不是一種簡單的了解幾何圖形的邊、角、對角線、長度、面積等,而是一種意識與習(xí)慣,是在直觀感知基礎(chǔ)上理性思考的結(jié)果,它不等同于幾何直覺,只有當(dāng)學(xué)習(xí)者將具體圖形的形態(tài)和性質(zhì)內(nèi)化之后,能夠在一提及這種圖形時就直觀呈現(xiàn)該圖形的形態(tài)和性質(zhì)(如通過作圖),并將這種感受與其他抽象的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行關(guān)聯(lián)(如數(shù)形結(jié)合),使這些問題的特征本質(zhì)得以外顯,由此問題變得直觀(如建立直觀模型),容易被理解與解決.幾何直觀在于它能實(shí)現(xiàn)從抽象到形象的轉(zhuǎn)化,使對圖形及其他數(shù)學(xué)知識的感性認(rèn)識與理性認(rèn)識的交融,產(chǎn)生形象的、生動的、易于感知的結(jié)果.

3 幾何直觀培養(yǎng)策略

3.1 觀察操作,理解數(shù)量關(guān)系

幾何教學(xué)中,要求學(xué)生利用幾何圖形描述問題,從豐富的現(xiàn)實(shí)情境中,用幾何直觀理解幾何基本事實(shí),在對圖形的認(rèn)識中,首先要求學(xué)生精確地畫出圖形,通過對圖形的觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、猜想等活動,形成對圖形特征的深入認(rèn)識,通過讓圖形進(jìn)行運(yùn)動,如平移、旋轉(zhuǎn)等,感受圖形之間的關(guān)系,從動態(tài)的角度理解圖形;通過對圖形實(shí)物進(jìn)行操作,如折疊、展開、切截、拼擺等,直觀呈現(xiàn)圖形之間的拆分組合.

代數(shù)教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生借助幾何圖形描述和理解代數(shù)問題,如借助數(shù)軸研究相反數(shù)、絕對值,研究數(shù)的運(yùn)算;構(gòu)造幾何圖形理解整式的乘法法則與乘法公式、平方差公式、完全平方公式;通過建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)刻畫點(diǎn),用運(yùn)算刻畫圖形的變化,借助圖表直觀理解函數(shù)的概念、通過函數(shù)的圖象來研究函數(shù),理解函數(shù)的性質(zhì),借助函數(shù)圖象建立起函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系,形成數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)展幾何直觀素養(yǎng).

統(tǒng)計(jì)教學(xué)中,通過繪制統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集、整理、描述與分析,教會學(xué)生用圖表描述問題.

例4(2022 年廣州市中考第25 題) 如圖3,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,AB=6,連接BD.

圖3

(1)求BD的長;

(2)點(diǎn)E為線段BD上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)B,D重合),點(diǎn)F在邊AD上,且BE=

①當(dāng)CE⊥AB時,求四邊形ABEF的面積;

②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時,CE+的值是否也最小? 如果是,求CE+的最小值;如果不是,請說明理由.

分析(1)連接AC,交BD于O,根據(jù)菱形對角線互相平分,且平分每一組對角,即可解答;

圖3-1

(2) ①設(shè)CE⊥AB交AB于M點(diǎn),過點(diǎn)F作FN⊥BD,連接EF,因?yàn)槔萌呛瘮?shù)即可求解S四邊形ABEF=SΔDAB -SΔDF E;

圖3-2

圖3-3

第一個問題,要求學(xué)生從題目已知情境中,用幾何直觀理解菱形的對角線基本事實(shí)解決問題.

第二個問題,在對圖形的認(rèn)識中,首先要求學(xué)生精確地畫出CE⊥AB,FN⊥BD,CP⊥AD,通過對圖形的觀察、操作、分析、運(yùn)動等活動,直觀呈現(xiàn)四邊形ABEF面積的變化過程,利用割補(bǔ)法求出其最小值.

3.2 借助幾何模型,洞悉問題本質(zhì)

初中常見的幾何模型如半角模型、手拉手模型、一線三垂直模型、對角互補(bǔ)模型等等,當(dāng)學(xué)生掌握了這些模型的條件與結(jié)論,并能獨(dú)立證明這些結(jié)論后,學(xué)生在復(fù)雜圖形中能夠快速發(fā)現(xiàn)模型中的基本圖形,運(yùn)用這些模型相應(yīng)的分析問題,尋找解題思路,找準(zhǔn)解題的突破口.

例5如圖4,在四邊形ABCD中,∠A=∠ADC=90°,AB=AD=10,CD=15,點(diǎn)E,F分別為線段AB,CD上的動點(diǎn),連接EF,過點(diǎn)D作DG⊥EF,垂足為G.點(diǎn)E從點(diǎn)B向點(diǎn)A以每秒2 個單位的速度運(yùn)動,同時點(diǎn)F從點(diǎn)D向點(diǎn)C以每秒3 個單位的速度運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)A時,E,F同時停止運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動時間為t秒.當(dāng)GE=GD時,求AE的長.

大部分學(xué)生在看到題目后沒有思緒.若是能夠抓住DG⊥EF或GE=GD兩個幾何關(guān)系進(jìn)行思考,可以想到“遇垂直構(gòu)造一線三垂直”以及“遇等邊共頂點(diǎn)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)”.下面對兩種模型進(jìn)行解析.

依題意得,BE=2t,AE=10-2t,DF=3t.

解構(gòu)造“一線三垂直”模型,如圖4,過點(diǎn)G作PQ⊥AB于 點(diǎn)P,PQ⊥CD于 點(diǎn)Q,則∠EPG=∠GQD=90°,∴∠EGP+∠GEP=90°.∵DG ⊥EF,∴ ∠EGP+∠QGD=90°,∴ ∠GEP=∠QGD.∵GE=GD,∴ΔGEP∽=ΔDGQ,∴EP=GQ,PG=QD.

圖4

3.3 數(shù)形結(jié)合,啟發(fā)思路

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,精選典型例習(xí)題,著力揭示思維過程,在“知其所以然”上下功夫,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,增強(qiáng)學(xué)生理解能力,將枯燥的數(shù)學(xué)概念直觀化、形象化,有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力.

例6如圖5,矩形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,AB=6,BC=8,過點(diǎn)O作OE⊥AC,交AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF⊥BD,垂足為F,求OE+EF的值.

圖5

解法一利用“相似三角形對應(yīng)邊成比例”,分別求出OE與EF的長度再相加求出,來得出答案.

圖5-1

3.4 借助微視頻動態(tài)演示,化靜為動

動態(tài)問題是各地中考的熱門考點(diǎn),常以壓軸題的形式出現(xiàn),考查學(xué)生的觀察、猜想、空間想象、作圖、綜合分析能力.想讓學(xué)生順利解決動態(tài)問題,必須讓學(xué)生經(jīng)歷觀察圖形運(yùn)動的全過程.在平時的教學(xué)中,合理運(yùn)用微視頻動態(tài)演示還原真實(shí)情景,感受圖形運(yùn)動變化的全過程,讓學(xué)生身臨其境,真切感受數(shù)學(xué)問題,發(fā)揮其創(chuàng)造性,尤其便于尋找臨界位置或特殊位置,便于精準(zhǔn)觀察、猜想分析、求解.

例7如圖6,已知正方形ABCD的邊長為點(diǎn)E在BC邊上,BE=連接BD,點(diǎn)F、G分別為BD、CD邊上的點(diǎn),且FG⊥EF.

圖6

(1)求點(diǎn)E到BD的距離;

(2) 如圖6-1,連接AF,當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時,求ΔFDG的面積;

圖6-1

(3) 如圖6-2,過點(diǎn)E作EM⊥BD于點(diǎn)M,過點(diǎn)G作GN⊥BD于點(diǎn)N,求MN的最小值.

圖6-2

第(3)問經(jīng)觀察,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M為定點(diǎn),則BM為定長,又因?yàn)锽D為定長,要使得MN最小,則ND最大,即DG最大,也即CG最小.同時,由∠EFG=90°知,點(diǎn)F在以EG為直徑的圓上.同時點(diǎn)F還要在BD上,∴以EG為直徑的圓需與BD有交點(diǎn),可以理解為G從C到D運(yùn)動,以EG為直徑的圓慢慢變大.直到該圓剛好與BD相切于點(diǎn)F時,CG最小,即MN最小.

接著學(xué)生建構(gòu)“一線三垂直”基本圖形.如圖6-3,點(diǎn)O為EG的中點(diǎn),由相切可知點(diǎn)F為MN的中點(diǎn)(平行線分線段成比例).

圖6-3

設(shè)MF=FN=x,再由ΔMEF∽ΔNFG可得到ND=NG=x2,由BD=8,可得到方程1+x+x+x2=8,解得x=-1.∴MN最小值為-2.

講解時,學(xué)生容易理解“要使MN最小,即CG最小”,而學(xué)生難以想到“當(dāng)以EG為直徑的圓剛好與BD相切于點(diǎn)F時,MN最小”,運(yùn)用幾何畫板動態(tài)演示圓的運(yùn)動狀態(tài),并追蹤點(diǎn)F運(yùn)動時,MN長度的變化,如圖6-4,學(xué)生瞬間明白“當(dāng)以EG為直徑的圓剛好與BD相切于點(diǎn)F時,MN最小”,并習(xí)得了“最值的取得往往為動圖在臨界狀態(tài),譬如相切時取得”的經(jīng)驗(yàn).最后由教師分析為什么是在相切時取得最值.至此,學(xué)生實(shí)現(xiàn)了從依賴信息技術(shù)得到相切時取最值,到利用原圖在靜態(tài)圖中也能理解為何相切時取得最值的突破.

圖6-4

例8(2022 年廣州中考第24 題)已知直線l:y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)(0,7)和點(diǎn)(1,6).

(1)求直線的解析式;

(2)若點(diǎn)P(m,n)在直線l上,以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)(0,-3)且開口向下.

①求m的取值范圍.

②設(shè)拋物線G與直線l的另一個交點(diǎn)Q為,當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1 個單位長度得到點(diǎn)Q′也在Q上時,求Q在+1 的圖象有最高點(diǎn)的坐標(biāo).

分析本題主要考查拋物線過動點(diǎn),求二次函數(shù)的最大值問題.滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)思想方法.解題思路與方法是解決二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題的一般方法,轉(zhuǎn)化為方程組的求解和討論,但是由于涉及到含字母參數(shù)的方程(組)的計(jì)算和討論,比較抽象,同時要求有很好的運(yùn)算能力.

第(1)小問用待定系數(shù)法求直線的解析式,學(xué)生易解.

第(2)小問屬于二次函數(shù)與定直線的交點(diǎn)問題,學(xué)生難以理解,先畫出平面直角坐標(biāo)系與直線,通過幾何畫板演示拋物線的圖象,讓學(xué)生觀察交流分析,探究其相交的具體情形,結(jié)合所學(xué)知識探索解題方法.

解(1)如圖7,易解得:y=-x+7.

圖7

圖7-1

圖7-2

圖7-3

4 結(jié)束語

幾何直觀是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)初中階段九個核心素養(yǎng)之一,幾何直觀能力可讓學(xué)生更好地了解邏輯思維能力和空間分析能力.在課堂教學(xué)中,讓學(xué)生動手操作、借助幾何模型、數(shù)形結(jié)合、微視頻動態(tài)演示等教學(xué)策略,注重核心概念、關(guān)鍵知識的講解,幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探究解決問題的思路,有效培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀核心素養(yǎng).