山東省東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)(257000) 李 榮

2021 年山東東營(yíng)數(shù)學(xué)中考延續(xù)2020 年中考模式,依然把幾何圖形變換綜合題作為壓軸題.本題重點(diǎn)要考察全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊中線的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù).突破本題的關(guān)鍵是要合理添加輔助線,構(gòu)造三角形全等.

1 原題呈現(xiàn)

(2021 東營(yíng),25,12 分): 已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線,垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D.我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”.

(1)猜想驗(yàn)證如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí),請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是____.

圖1

(2)探究證明如圖2,當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí),“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立,若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

(3)拓展延伸如圖3,①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí),“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立,若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;

圖3

②若∠COD=60°,請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

2 解法分析

要證明線段相等及關(guān)系的問題,我們平時(shí)常用的方法有:三角形全等、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、線段中垂線的性質(zhì),以及平行線分線段成比例等.

如圖1,第一問比較容易,證明ΔAOC∽=ΔBOD,易證得OC=OD,學(xué)生容易得分,本文不再贅述,下面重點(diǎn)用幾種方法來(lái)分析一下本題第二問和第三問.

2.1 第二問

這一問的重點(diǎn)需要作出輔助線,構(gòu)造三角形全等,難度中等.

2.1.1 解法一

如圖2-1,延長(zhǎng)CO交BD于E,先由AC⊥l,BD⊥l,可證AC//BD,由AAS或ASA,容易證得ΔAOC∽=ΔBOE,得到CO=EO,即O為CE的中點(diǎn),所以在RtΔCDE中,由斜邊的中線等于斜邊的一半,可得OD==OC,即OC=OD.

圖2-1

2.1.2 解法二

如圖2-2,延長(zhǎng)DO交AC延長(zhǎng)線于F,同解法一,由AAS或ASA,可證ΔAOF∽=ΔBOD,可得DO=FO,在RtΔCDF中,由斜邊的中線等于斜邊的一半,可得OC=OD.

圖2-2

2.1.3 解法三

如圖2-3,過(guò)O作EF//CD,交BD于F,交AC于E,(可證四邊形CDFE為矩形),可得OE⊥AC,OF⊥BD,又因?yàn)镺為AB的中點(diǎn),由前面的結(jié)論,可得OE=OF(也可以由全等證得),然后再由SAS,證明ΔCOE∽=ΔDOF,可得OC=OD.這種方法結(jié)合了矩形的判定與性質(zhì),以及三角形全等,來(lái)證明兩條線段相等.

圖2-3

2.2 第三問

本題最后一問,考察了三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,需要學(xué)生用全等結(jié)合等量代換的方法,再結(jié)合銳角三角函數(shù)知識(shí),綜合性較強(qiáng),要求學(xué)生能綜合靈活的運(yùn)用所學(xué)幾何知識(shí)解決問題.

解法一如圖2-4,延長(zhǎng)CO交DB的延長(zhǎng)線于E,先 證AC//BD,由AO=OB,先 由AAS或ASA,證ΔAOG∽=ΔBOD,可得OC=OE.在RtΔCDE中,由斜邊的中線等于斜邊的一半,可得OD==OC,即OC=OD.

圖2-4

圖2-5

解法二與解法一的思路相同,延長(zhǎng)DO交CA的延長(zhǎng)線于G,先證AC//BD,由AO=OB,先由AAS或ASA,證ΔAOG∽=ΔBOD,可得OD=OG.在RtΔCDG中,由斜邊的中線等于斜邊的一半,可得OC==OD,即OC=OD.

解法三如圖2-6,過(guò)O作EF//l,交CA的延長(zhǎng)線于E,交BD于F,可以證明四邊形CDFE為矩形,所以O(shè)E⊥AC,OF⊥BD,又因?yàn)镺為AB的中點(diǎn),由第(1) 問的結(jié)論,可得OE=OF.然后再由SAS,證明ΔCOE∽=ΔDOF,可得CO=DO.這種方法結(jié)合了矩形的判定與性質(zhì)以及三角形全等,同第(1)問的方法三.

圖2-6

3 變式拓展

前面對(duì)本題的解法進(jìn)行了詳細(xì)的探討,下面我們通過(guò)變化∠COD的度數(shù)對(duì)最后一問進(jìn)行拓展研究.

3.1 變式1

拓展延伸如圖3-1,①當(dāng)點(diǎn)P是線段AB延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí),“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立,若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;

圖3-1

②若∠COD=120°,請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

解析①結(jié)論仍然成立,證明略.

圖3-3

圖3-4

②結(jié)論:AC+BD=OC.理由: 如圖3-2,∵∠COD=120°,OD=OC=OE,又∵∠COE=60°,∴ΔCOE是等邊三角形,∴CE=OC,∵ ΔAOE∽=ΔBOD,∴AE=BD,∴AC+BD=AC+AE=CE=OC,∴AC+BD=OC.

圖3-2

3.2 變式2

(3)若∠COD=90°,請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

通過(guò)以上兩個(gè)變式練習(xí),把∠COD的度數(shù)由60°,到120°,90°,使學(xué)生對(duì)此題得解法更加熟練,理解得更加明朗,圖形中三條線段的數(shù)量關(guān)系挖掘得越來(lái)越清晰.

3.3 變式3

(3)如圖3-5,若∠COD=α,請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

圖3-5

解析結(jié)論:AC+BD=2OC ·cos.

圖3-6

以上變式,對(duì)∠COD的度數(shù)在60°,120°,90°的熟練領(lǐng)會(huì)的基礎(chǔ)上,由特殊到一般,鍛煉了學(xué)生的總結(jié)、創(chuàng)新能力.也訓(xùn)練了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的應(yīng)用,讓學(xué)生思維得到了拓展.

4 延伸提升

4.1 變式1

如圖4-1,當(dāng)點(diǎn)P是線段AB延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí),若∠COD=α,請(qǐng)用OC表示出四邊形ABDC的面積.

圖4-1

繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):

延伸問題1 ΔCOD的面積與梯形ABDC有什么數(shù)量關(guān)系? 由圖4-2,可得:

圖4-2

延伸問題2 取梯形一邊的中點(diǎn)和對(duì)邊線段兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積始終是梯形面積的一半嗎? (引導(dǎo)學(xué)生課后探究)

(結(jié)論: 圖4-3 成立,圖4-4 不成立)

圖4-3

圖4-4

4.2 變式2

圖4-6

如圖4-5,當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí),若∠COD=α,請(qǐng)用OC表示出ΔOCD的面積.

圖4-5

這一環(huán)節(jié)的延伸提升,在內(nèi)容上涉及到了中考中?？嫉呐c中點(diǎn)有關(guān)的面積問題,重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進(jìn)而能自己證明,方法上結(jié)合全等的性質(zhì)和三角函數(shù),對(duì)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力是很好的鍛煉.

5 結(jié)語(yǔ)

中考試題是命題專家們集體智慧的結(jié)晶,作為老師,我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過(guò)程中,不僅僅要自己認(rèn)真鉆研,對(duì)中考試題進(jìn)行深入探索,同時(shí)也要引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行對(duì)重點(diǎn)題型深入探究.如果能像上題這樣進(jìn)行多角度的變式練習(xí)與探究,不僅僅能達(dá)到觸類旁通、舉一反三的目的,還可以在這一過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的樂趣,進(jìn)而達(dá)到“一葉一樹一森林”的效果.