魏 建，孫祥娥

(長江大學 電子信息學院，湖北 荊州 434023)

旅行時方程在各向同性或橢圓各向異性介質中可表示為一種炮點-接收點間距離平方的形式，在地震信號處理中起著重要作用，多用于速度分析、偏移成像、數(shù)據處理變換等關鍵處理步驟中[1]。

由于具有垂直對稱軸的橫向各向同性(transverse isotropy with vertical symmetry axis, VTI)介質的復雜性，近似計算已經成為估計旅行時的重要研究方向。估計各向異性介質中旅行時的方法主要有移位雙曲線近似法[2]、忽略S波影響的偏移距4階近似計算方法[3]、基于泰勒級數(shù)展開的4階近似方法[4-6]。隨著研究的深入，更準確的估計旅行時方法如基于移位雙曲線的隨機變換法[7]、廣義時差近似的旅行時計算方法[8-9]、基于擾動理論的計算方法[10-12]、基于高階泰勒級數(shù)系數(shù)使用Padé逼近法來近似長偏移時差的方法[13]、使用最大范數(shù)構造目標函數(shù)并利用模擬退火算法求解的擴展廣義時差近似計算方法中常系數(shù)的方法[14]以及基于三參數(shù)隨機變換方法的旅行時計算方法[15]等相繼被提出。

與近幾年提出的新方法相比，基于泰勒級數(shù)的旅行時計算方法在準確性和應用方面還存在差距，但在理論研究的推導與計算方面仍有一定優(yōu)勢。另外，基于泰勒級數(shù)的旅行時計算方法的研究與應用更多集中在平方計算公式上，對于非平方形式的基于泰勒級數(shù)的計算方法的研究并不多。本研究以非平方形式的基于泰勒級數(shù)的計算公式為基礎提出一種新的旅行時計算方法，通過一種降價補償處理方式來保證基于泰勒級數(shù)的旅行時計算有效性，并通過分析和實驗測試來證明所提出的方法可以提高旅行時的準確性、縮短與正演旅行時的差距。

1 基于降階補償處理的旅行時計算方法

1.1 一般旅行時公式

在各向同性介質或VTI等各向異性介質中，利用各種方法在分析基于泰勒級數(shù)的旅行時方程時主要以P波模式為主，本研究在理論推導和模型實驗中同樣只考慮P波。

通過文獻[5，16]提出的基于泰勒級數(shù)展開的推導方法，得到旅行時T(x)與偏移距x2之間的一般近似形式：

(1)

(2)

式中：T(0)為零偏移距旅行時，vNMO為正常時差速度，Sj(j=2,3,4)為異質性參數(shù)。

S2=1+8η，

(3)

其中參數(shù)η由Alkhalifah等[3,18]定義為：

(4)

式中ε和δ均為Thomsen參數(shù)。

1.2 基于降階補償?shù)穆眯袝r計算公式

Ursin等[5]在式(1)的基礎上，為了解決旅行時計算公式中的4階泰勒級數(shù)隨著偏移距的增加計算精度迅速下降的問題，提出一種可以更好計算VTI介質的遠偏移距旅行時的偏移距4階計算公式[5]：

(5)

其中

(6)

為進一步提高大偏移距情況下的走時計算精度，將式(5)擴展為偏移距的6次高階計算公式：

(7)

(8)

Hubral等[16]指出，旅行時公式中高階項的形式是一種復雜的數(shù)學表示，在泰勒級數(shù)展開的基礎上，旅行時公式可以使用更多的高階項來提高近似精度，但旅行時公式會被這種增加高階項的形式所限制。另外，在使用實際地震數(shù)據進行驗證后發(fā)現(xiàn)，在有高階項近似的情況下，處理結果會得到一些沒有實用價值的冗余信息。所以，通常不建議使用更高階項做進一步近似處理。基于以上分析，使用更高的6次方項進行近似處理是不合適的。故將式(7)中偏移距的6次方項降為偏移距的4次方項進行處理，稱其為偏移距的降階近似，以此來表現(xiàn)高階項近似的另一種形式，有：

(9)

其次，從泰勒級數(shù)角度分析可知，偏移距階數(shù)的降低不僅改變了泰勒級數(shù)的高階近似原有性質，還會對中、遠偏移距旅行時計算產生影響。當無法通過方程內部的偏移距、時間和速度來降低這種變化帶來的影響時，需要從方程外部尋找解決方案，即使用補償方法進行處理。需要明確的是，一方面，補償?shù)哪康牟皇亲屄眯袝r等于正演旅行時；另一方面，零偏移距雙程旅行時并不會因偏移距的改變而發(fā)生變化，所以補償方法不能對偏移距等于零時計算出的旅行時產生影響。因此，從以下兩點進行考慮：從旅行時公式和正演旅行時的定義看，兩者都是一種記錄波經地層反射的時間形式；從計算方法看，通過射線理論計算出的正演旅行時與旅行時公式計算中所需的速度、時間均與地層深度有關系，并且地層深度是由每層的厚度所組成。基于以上兩點，本研究提出一種基于4階旅行時公式與正演旅行時的近似補償方法來解決降階近似帶來的影響：

(10)

式中，fb為正演旅行時，n為模型層數(shù)。

將式(9)、式(10)進行組合，并替換化簡系數(shù)d3、D1、D2后，形成在VTI介質中應用的基于降階補償(descending order componsation， DOC)的旅行時計算新方法：

(11)

其中:

(12)

2 實驗結果與分析

在文獻[5]給出的常用模型參數(shù)基礎上，將水平層狀VTI介質實驗模型的最大深度、最大偏移距分別設置為5 000和10 000 m，實驗所需的正演旅行時由模型第一層的紅色三角形來記錄。具體參數(shù)如表1所示，實驗模型如圖1所示。實驗對比方法有：移位雙曲線法[2](記為SH)、廣義時差近似法[8](記為GMA)和微擾理論法[10-12](記為A-Shanks)。分析將從旅行時計算實驗與時差實驗進行說明，測試深度分別為500、1 500、2 800和4 600 m。

圖1 層狀實驗模型Fig.1 Experimental of the layered model

表1 層狀模型參數(shù)Tab. 1 Parameters of the layered model

圖2為4種計算方法在4個不同深度得到的旅行時曲線圖。由圖2可看出，DOC計算方法同移位雙曲線法、廣義時差近似法和微擾理論法一樣可以有效計算旅行時。從每個深度近、中、遠3個偏移距分析可知： 在近偏移距2 000 m附近，相比其他3種方法，DOC方法計算出的旅行時在淺層深度500 m時具有明顯優(yōu)勢，但在其他3個深度處的優(yōu)勢不明顯。在中偏移距4 000 m、遠偏移距8 000 m附近，DOC方法計算的旅行時在4個深度對比中均明顯好于另外3種方法，其中淺層深度的優(yōu)勢最為顯著。

圖2 4種方法在4個不同深下的旅行時計算結果對比Fig. 2 Comparison of the results of the traveltime calculation by 4 methods at 4 different depths

另外，若計算出的旅行時能進一步縮短與正演旅行時的差距，也可證明DOC計算方法的準確性增加[19]。利用式

(13)

進行時差實驗，式中tc表示各方法計算出的旅行時。圖3是4種方法計算出的4個不同深度的時差曲線圖。當深度為500 m時， DOC方法在近偏移距2 000 m、中偏移距4 000 m以及遠偏移距8 000 m的時差值均更小，即與正演旅行時的差距更小。當深度為1 500、2 800與4 600 m時，DOC旅行時計算方法在同樣偏移距處依然保持時差值更小的優(yōu)勢，但整體差異沒有淺層時明顯，也證明圖2中關于DOC方法在旅行時實驗中的分析，說明DOC方法計算的旅行時更準確，得到的旅行時縮短了與正演旅行時的差距。

圖3 4種方法在4個不同深度下的時差實驗對比結果Fig. 3 Comparison of the results of the moveout experiment by 4 methods at 4 different depths

3 結論

地震數(shù)據處理中VTI介質旅行時的計算一直是研究的重點內容，如何提高旅行時計算的準確性、縮短與正演旅行時的差距十分重要。本研究提出一種應用于VTI介質中的基于降階補償?shù)穆眯袝r計算方法，即DOC旅行時計算方法。

在以VTI介質模型為基礎的旅行時計算實驗和時差實驗的基礎上，分別將DOC旅行時計算方法與移位雙曲線法、廣義時差近似法和微擾理論法進行對比。結果發(fā)現(xiàn)，在不同深度的近偏移距2 000 m、中偏移距4 000 m、遠偏移距8 000 m附近，DOC旅行時計算方法的精度較高，尤其在淺層深度500 m時具有明顯優(yōu)勢，說明DOC方法比其他3種計算方法在減小與正演旅行時的差距方面表現(xiàn)好，對解決旅行時計算中存在的問題起到了良好作用。