范婷婷，牟宗磊，何 童

(1.山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266590；2.中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，北京 102206)

安全性和可靠性是衡量現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)性能指標(biāo)的重要因素，近些年來(lái)隨著現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)安全生產(chǎn)要求不斷提高，故障診斷與容錯(cuò)控制技術(shù)受到各界的廣泛關(guān)注[1-2]。故障類型不同，運(yùn)用的故障診斷與容錯(cuò)控制方法也不盡相同。根據(jù)故障發(fā)生位置，可將系統(tǒng)故障分為執(zhí)行器故障、傳感器故障和元部件故障等。對(duì)于含有執(zhí)行器或傳感器故障的系統(tǒng)，可以通過(guò)增加輔助變量來(lái)構(gòu)造觀測(cè)器[3]，或?qū)⑾到y(tǒng)擴(kuò)維后設(shè)計(jì)觀測(cè)器[4-5],在此基礎(chǔ)上利用反步法或重構(gòu)控制率來(lái)實(shí)現(xiàn)故障容錯(cuò)[6-9]。根據(jù)故障的持續(xù)時(shí)間不同，系統(tǒng)故障又可分為永久故障、瞬時(shí)故障和間歇故障，其中間歇故障是工業(yè)系統(tǒng)中發(fā)生概率較高的一類，但是間歇故障容錯(cuò)控制方法的研究相對(duì)較少[10]。文獻(xiàn)[11]利用增廣卡爾曼濾波器來(lái)同時(shí)估計(jì)線性離散隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)和間歇故障；文獻(xiàn)[12]運(yùn)用等價(jià)空間方法將殘差和擾動(dòng)解耦，通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)來(lái)提高間歇故障的檢測(cè)精度；文獻(xiàn)[13]利用雙層卡爾曼濾波來(lái)聯(lián)合估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)、無(wú)故障約束狀態(tài)和間歇故障的故障診斷等。但上述工作均未對(duì)發(fā)生故障的系統(tǒng)作進(jìn)一步的控制設(shè)計(jì)，應(yīng)針對(duì)間歇故障進(jìn)行容錯(cuò)控制研究。

此外，工業(yè)過(guò)程大多采用周期性采樣和傳輸技術(shù)來(lái)控制系統(tǒng)，這種數(shù)據(jù)采集和傳遞方式既增加通訊消耗又導(dǎo)致能量和計(jì)算資源的浪費(fèi)，因此事件觸發(fā)控制機(jī)制成為傳統(tǒng)周期性采樣技術(shù)的替代和補(bǔ)充[14]。相關(guān)研究工作包括在模型預(yù)測(cè)控制的基礎(chǔ)上添加事件觸發(fā)機(jī)制，減少控制序列的更新次數(shù)，從而減輕網(wǎng)絡(luò)傳輸負(fù)擔(dān)，提高計(jì)算優(yōu)越性[15-17]；在含有執(zhí)行器故障情況下，通過(guò)事件觸發(fā)機(jī)制來(lái)降低通訊頻率，并重構(gòu)控制率使系統(tǒng)滿足一致最終有界[18]；針對(duì)含有外部擾動(dòng)、參數(shù)不確定性和未知執(zhí)行器故障的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)，通過(guò)事件觸發(fā)機(jī)制來(lái)降低信息傳輸頻率，減輕網(wǎng)絡(luò)傳輸負(fù)擔(dān)，并通過(guò)反步法來(lái)補(bǔ)償故障和外部擾動(dòng)帶來(lái)的系統(tǒng)影響[19]。但上述工作均未考慮傳感器故障情況。

本研究以含有間歇傳感器故障的線性系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過(guò)事件觸發(fā)主動(dòng)容錯(cuò)控制技術(shù)優(yōu)化系統(tǒng)的故障容錯(cuò)性能。主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在于對(duì)含有不同間歇傳感器故障模態(tài)的系統(tǒng)，通過(guò)求解多個(gè)線性矩陣不等式，使系統(tǒng)在不同故障模態(tài)下具有公共的觀測(cè)器、控制器增益以及事件觸發(fā)采樣參數(shù)，降低了含有事件觸發(fā)機(jī)制的容錯(cuò)控制設(shè)計(jì)難度，事件觸發(fā)的容錯(cuò)控制策略可以針對(duì)間歇故障頻繁發(fā)生和消失的特點(diǎn)，在故障發(fā)生和消失時(shí)增加控制率調(diào)整的頻率，改善系統(tǒng)控制效果，并有效緩解系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)通訊壓力。

符號(hào)說(shuō)明：Rn表示n維歐式范數(shù)，diag(p1,p1,…,pm)表示對(duì)角矩陣，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，A-1表示矩陣A的逆，I和0表示適當(dāng)維度的單位矩陣和零矩陣。

1 問(wèn)題描述

考慮如下含有間歇傳感器故障的線性離散系統(tǒng)：

(1)

式中：x(k)∈Rn，u(k)∈Rq和y(k)∈Rm分別為系統(tǒng)狀態(tài)、輸入向量和輸出向量；f(k)為傳感器測(cè)量處發(fā)生的常值間歇故障；Fi為不同故障模態(tài)下的方向系數(shù)矩陣；A、B、C為已知合適維度的參數(shù)矩陣；i∈[1,2,…，M]為故障模態(tài)，共有M種類型的故障模態(tài)，對(duì)αi給定以下假設(shè)：

假設(shè)1αi是只能取0或1的已知標(biāo)量，且每個(gè)時(shí)刻最多只有αi=1，其余αj=0(j≠i)。

為減少通訊負(fù)擔(dān)，在輸出傳感器端引入事件觸發(fā)機(jī)制，事件觸發(fā)的條件為：

‖y(k*)-y(k)‖>δ‖y(k)‖，

(2)

式中，y(k)是當(dāng)前時(shí)刻的傳感器測(cè)量值，y(k*)是上一次觸發(fā)時(shí)刻的傳輸值，δ(0<δ<1)是待設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)采樣參數(shù)。當(dāng)式(2)成立時(shí)，將當(dāng)前時(shí)刻的傳感器測(cè)量值y(k)傳遞至觀測(cè)器；當(dāng)式(2)不成立時(shí)，則將上一次觸發(fā)時(shí)刻輸出值傳遞至觀測(cè)器。

假設(shè)2傳感器故障幅值有界且已知，即f(k)≤θ。

2 主動(dòng)容錯(cuò)控制

首先構(gòu)造故障診斷觀測(cè)器

(3)

(4)

式中,K為待設(shè)計(jì)的控制率參數(shù)矩陣。

定義

則根據(jù)式(1)和式(3)可以得到誤差系統(tǒng)如下：

(5)

考慮到間歇故障在每個(gè)故障間隔期間的幅值不變，則只有在間歇故障發(fā)生和消失的瞬間，間歇故障增量Δf(k)=f(k+1)-f(k)不為零，其余時(shí)間Δf(k)均恒等于零。將控制率式(4)代入系統(tǒng)狀態(tài)方程，并將狀態(tài)方程和誤差系統(tǒng)式(5)合并，擴(kuò)展成增廣系統(tǒng)：

(6)

3 穩(wěn)定性證明

定理1如果存在對(duì)稱矩陣P>0,矩陣N1、N2和標(biāo)量β>0滿足以下矩陣不等式：

(7)

證明：設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)

V(k)=ηT(k)Pη(k)，

(8)

則

(9)

將狀態(tài)方程代入式(2)并結(jié)合范數(shù)不等式得：

(10)

又因?yàn)?/p>

(11)

(12)

將式(12)代入式(9)，并根據(jù)假設(shè)2可將式(9)寫成：

(13)

即

(14)

其中，

(15)

如果Φi<0，通過(guò)求解M種線性矩陣不等式能夠得到公共解P，則可以證明增廣系統(tǒng)在無(wú)故障時(shí)漸近穩(wěn)定，在發(fā)生間歇故障時(shí)一致最終有界。式(15)等價(jià)于：

(16)

式(16)由Schur補(bǔ)[20]可得：

(17)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

利用無(wú)人艇線性系統(tǒng)來(lái)驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)的有效性，采樣時(shí)間T=0.2 s，仿真時(shí)間40 s，給定系統(tǒng)各參數(shù)矩陣如下[21]：

仿真中，把不同幅值的間歇傳感器故障歸為同一模態(tài)類型，沒(méi)有發(fā)生任何故障的正常系統(tǒng)狀態(tài)看作另一種模態(tài)類型，即假設(shè)仿真中僅有發(fā)生傳感器故障和未發(fā)生故障兩種模態(tài)類型，給出兩種模態(tài)下的方向矩陣分別為：

故障發(fā)生和消失的間隔以及不同時(shí)刻的故障幅值描述如式(18)所示。

(18)

通過(guò)仿真平臺(tái)LMI工具箱求得的事件觸發(fā)采樣參數(shù)為δ=0.506，各增益矩陣為：

仿真結(jié)果如圖1、圖2所示，其中圖1是真實(shí)故障幅值與觀測(cè)器的故障估計(jì)值，圖2是故障的估計(jì)誤差。

圖1 傳感器故障與故障估計(jì)Fig. 1 The estimation of sensor fault

圖2 真實(shí)故障與估計(jì)誤差Fig. 2 The error of fault estimation

對(duì)比圖1、圖2可以看出，估計(jì)值在故障幅值發(fā)生改變的短時(shí)間內(nèi)誤差較大，但依然能夠快速跟上，因此本研究設(shè)計(jì)的觀測(cè)器有良好的估計(jì)效果。

圖3、圖4分別是加入設(shè)計(jì)的控制率后的系統(tǒng)狀態(tài)及系統(tǒng)狀態(tài)誤差。

圖3 容錯(cuò)控制狀態(tài)Fig. 3 The system states with FTC

圖4 真實(shí)狀態(tài)與估計(jì)誤差Fig. 4 The error of states estimation

分析圖3、圖4可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定之后，狀態(tài)只在每次間歇故障發(fā)生和消失的瞬間即系統(tǒng)模態(tài)發(fā)生改變的瞬間有所波動(dòng)，在無(wú)故障和故障間隔內(nèi)，狀態(tài)都能夠很好地穩(wěn)定在零點(diǎn)。

由圖5分析可知：系統(tǒng)開(kāi)始工作的0～4 s內(nèi)，振蕩較大，觸發(fā)次數(shù)較多；4～8 s內(nèi)發(fā)生故障，觸發(fā)次數(shù)依然較多；8～14 s、18～24 s、28～34 s以及38～40 s內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定且沒(méi)有故障發(fā)生，觸發(fā)次數(shù)明顯減少；14～18 s、24～28 s、34～38 s內(nèi)發(fā)生故障，觸發(fā)次數(shù)相對(duì)較多?？梢钥闯觯尤胧录|發(fā)機(jī)制后系統(tǒng)信息的傳輸頻率明顯減少，網(wǎng)絡(luò)的通訊壓力有效降低。

圖5 事件觸發(fā)采樣圖Fig. 5 The event-triggered sampling

綜上，本控制方法對(duì)故障有更加快速和優(yōu)越的鎮(zhèn)定效果，且加入的事件觸發(fā)機(jī)制有效緩解了系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的通訊壓力。

5 結(jié)論

本研究提出一種基于事件觸發(fā)線性離散系統(tǒng)間歇傳感器故障的估計(jì)和主動(dòng)容錯(cuò)控制方法。通過(guò)將狀態(tài)、狀態(tài)及故障估計(jì)誤差進(jìn)行擴(kuò)維，利用線性矩陣不等式同時(shí)解得公共且合適的觀測(cè)器、控制器增益以及事件觸發(fā)采樣參數(shù)，使得系統(tǒng)在發(fā)生不同模態(tài)的間歇故障時(shí)，靈活改變控制率重構(gòu)頻率，減少控制器反復(fù)調(diào)整的次數(shù)，緩解控制器性能損耗速度，有效降低了傳感器到觀測(cè)器的傳輸頻率，減輕了通訊壓力。仿真實(shí)例也證明該方法在估計(jì)和控制性能上的效果。下一步將對(duì)故障特性和處理方法做更合理和寬泛的優(yōu)化，并在此基礎(chǔ)上考慮非線性系統(tǒng)的間歇故障診斷與容錯(cuò)控制問(wèn)題，研究加入多個(gè)觸發(fā)機(jī)制的事件觸發(fā)控制問(wèn)題。