高如玉

“平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）”是在小學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究線段、射線、直線、角的有關(guān)性質(zhì)以及直線的平行、垂直關(guān)系。通過(guò)學(xué)習(xí)，我們掌握了常見(jiàn)圖形的性質(zhì)定理和探索圖形的基本方法，為研究其他圖形的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。在中考中，幾乎所有的幾何題都有這一章的影子。面對(duì)這些題目，我們應(yīng)回歸教材，注重直觀圖形的分析，不僅要掌握教材中的基本定義、性質(zhì)、定理，還要知其所以然，低起點(diǎn)，小跳躍，從而夯實(shí)幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

1.如圖1，在線段PA、PB、PC、PD中，長(zhǎng)度最小的是（ ）。

A.線段PA B.線段PB

C.線段PC D.線段PD

【解析】直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短。故答案為B。

2.如圖2，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD。下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）。

A.∠AOD=∠BOC

B.∠AOE+∠BOD=90°

C.∠AOC=∠AOE

D.∠AOD+∠BOD=180°

【解析】∠AOD與∠BOC是對(duì)頂角，所以∠AOD=∠BOC;由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°;∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，所以∠AOC=∠BOD;∠AOD與∠BOD是鄰補(bǔ)角，所以∠AOD+∠BOD=180°。故答案為C。

3.線段AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有3條（如圖3）;如果線段上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有6條（如圖4）;如果線段上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有10條（如圖5）。

（1）觀察操作，當(dāng)線段上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有多少條？

（2）探索發(fā)現(xiàn)，當(dāng)線段上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有多少條？（用含n的式子表示。）

（3）實(shí)踐應(yīng)用：若在火車行駛路線圖中有10個(gè)車站，那么當(dāng)火車在這條線路上往返行駛時(shí)，鐵路公司需印刷多少種車票？

【解析】建立數(shù)學(xué)模型是同學(xué)們體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與生活世界聯(lián)系的一種方法。此題其實(shí)就是線段模型，我們可以從簡(jiǎn)單情形入手，找出模型。

（1）當(dāng)線段AB上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有1+2+3+4+5=15條。

（2）當(dāng)線段AB上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有1+2+3+4+…+（n-1）=[12]n（n

-1）條。

（3）2×[12]×10×（10-1）=90（種）。答：需印刷90種車票。

4.若∠AOB=80°，過(guò)點(diǎn)O作射線OC（不同于OA、OB），滿足∠AOC=[35]∠BOC，則∠AOC的大小為 。（注：題中所說(shuō)的角都是小于平角的角。）

【解析】中考考查分類討論思想的概率很高，因?yàn)橛嘘P(guān)分類思想的題目能考查我們思維的條理性和概括性。本題如果結(jié)合直觀作圖的方法進(jìn)行分析，能清晰地排除不符合要求的情況。因此，解決此類問(wèn)題應(yīng)明確分類標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)每一類問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)分析，逐步解決，做到不重復(fù)、不遺漏。

（1）當(dāng)OC落在∠AOB內(nèi)部時(shí)，如圖6。

∵∠AOC=[35]∠BOC，∠AOB=80°，

∴∠AOC=80°×[38]=30°。

（2）當(dāng)OC落在∠AOB外部時(shí)，如圖7，反向延長(zhǎng)OA、OB。

①若OC落在∠BON內(nèi)，則∠AOC>∠BOC，而∠AOC=[35]∠BOC，

∴這種情況不存在。

②若OC落在∠MOA內(nèi)部，

則∠BOC-∠AOC=80°，

又∵∠AOC∶∠BOC=3∶5，

∴∠BOC=200°>180°，這種情況不存在。

③若OC落在∠MON內(nèi)部，

則∠AOC+∠BOC=360°-80°=280°，

∴∠AOC=280°×[38]=105°。

綜上所述，∠AOC=30°或105°。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)禮嘉中學(xué)）