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        追根溯源 推廣探究
        ——以2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題為例

        2022-02-15 02:22:49安徽省蕭城一中
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年23期
        關(guān)鍵詞:教材探究

        ?安徽省蕭城一中 楊 剛

        教材與考試大綱是歷年高考命題最直接、最基本的基石,尤其數(shù)學(xué)教材一直是高考命題的主要依據(jù).借助數(shù)學(xué)教材中的一些例(習(xí))題,或融合數(shù)學(xué)知識,或挖掘問題背景,或提煉思想方法,或優(yōu)化解題策略,或倡導(dǎo)綜合應(yīng)用,或拓展探究提升等,形式各樣,變化多端.高考命題植于教材情理之中,源于教材意料之外,高于教材能力之上.

        1 真題呈現(xiàn)

        (1)求C的方程;

        題目設(shè)置比較常規(guī),第(1)問通過雙曲線的定義確定軌跡方程,比較簡單,如果采用直譯題意建立關(guān)系式來處理,化簡方程時(shí)運(yùn)算量比較大;第(2)問通過直線方程的設(shè)置,聯(lián)立直線與雙曲線方程,消元處理,思維也比較常規(guī).

        2 追根溯源

        以上高考真題源于普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修4-4·A版》(人民教育出版社,2007年1月第2版)第38頁例4:

        AB,CD是中心為O的橢圓的兩條相交弦,交點(diǎn)為P.兩弦AB,CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1,∠2,且∠1=∠2.求證:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.與以上教材中的例4相應(yīng)的探究題:如果把橢圓改為雙曲線呢,是否有類似的結(jié)論?

        3 真題破解

        高考真題的第(1)問比較常規(guī),其解答過程如下:

        方法一:設(shè)線法——普通方程.

        所以 |TA|·|TB|

        根據(jù)|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,可得

        所以,直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

        點(diǎn)評:設(shè)直線的普通方程,是破解此類直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題最常用的基本方法.根據(jù)直線存在斜率,設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程,與圓錐曲線方程聯(lián)立,結(jié)合消元轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及弦長公式加以變形與轉(zhuǎn)化,借助替換法求解另兩條線段長積的表達(dá)式,進(jìn)而確定兩直線的斜率之和為0.設(shè)線之普通方程法是最基本,也是破解時(shí)最容易想到的思路方法,但運(yùn)算量比較大.

        方法二:設(shè)線法——構(gòu)造方程.

        所以 |TA|·|TB|

        以下與方法一的解析相同.

        方法三:設(shè)線法——參數(shù)方程.

        根據(jù)|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,可得

        所以16cos2α-sin2α=16cos2β-sin2β.

        即17cos2α-1=17cos2β-1,亦即cos2α=cos2β.

        由α≠β,可得cosα=-cosβ,于是α+β=π,則有tanα=-tanβ,即tanα+tanβ=0.

        所以直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

        點(diǎn)評:設(shè)線之參數(shù)方程法,可以直接利用直線參數(shù)方程中對應(yīng)參數(shù)的幾何意義來處理與轉(zhuǎn)化有關(guān)的線段長度問題,使問題的破解更加直接有效;同時(shí)又可以避免討論直線斜率的存在性問題,在一定程度上可優(yōu)化解題過程,減少運(yùn)算量.設(shè)線之參數(shù)方程法,現(xiàn)行的教材不作要求,但作為拓展與提升的知識,有時(shí)可以很好地處理一些相關(guān)問題.

        4 變式拓展

        事實(shí)上,以上高考真題中“有相同交點(diǎn)的兩割線長度的乘積相等”與“有相同交點(diǎn)的兩割線所在的直線的斜率之和為0”是等價(jià)條件,可得到以下對應(yīng)的變式問題.

        (1)求C的方程;

        所以|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|.

        5 推廣探究

        總結(jié)以上橢圓、雙曲線的問題,進(jìn)一步加以推廣探究,可以得到以下一般性的結(jié)論:

        若AB,CD是中心為O的圓錐曲線(橢圓、雙曲線或拋物線中的一種)的兩條相交弦,交點(diǎn)為P.兩弦AB,CD的傾斜角分別為α,β(α≠β),則α與β互補(bǔ)? |PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

        此處兩條相交弦所在的直線的傾斜角互補(bǔ),可以有其他的等價(jià)說法,如對應(yīng)直線的斜率之和為0等.

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