?江蘇省無錫市江陰長涇中學 劉旭東
平面向量同時兼?zhèn)洹皵?shù)”的性質與“形”的特征,一直是歷年高考數(shù)學試題中的熱點題型之一.而在平面向量中融入三角形的基本特征,設置創(chuàng)新新穎,內涵豐富多彩,破解思維多變,是數(shù)學知識、數(shù)學思想方法和數(shù)學能力交匯與融合的一大主陣地,具有很好的選拔性與區(qū)分度,倍受各方關注.
此題以三邊長確定的三角形為問題背景,結合三角形的外心,通過含參的平面向量的線性關系式的設置,來確定對應的兩參數(shù)的和.破解時,可以從平面向量角度、解三角形角度、坐標角度等切入,利用不同的方法來處理與求解.
方法1:數(shù)量積轉化法.
圖1
如圖1,過外心O作OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分別為D,E,則D,E分別為AB,AC的中點.
點評:結合平面幾何的圖形特征,通過輔助線的構建,借助三角形外心的實質,綜合平面向量的數(shù)量積以及直角三角形的定義加以轉化,建立兩參數(shù)的方程組,利用方程組的解來確定相應的參數(shù)值,進而求解兩參數(shù)的和.合理利用平面向量的線性關系,結合向量數(shù)量積公式的應用加以巧妙轉化,這是破解此類平面向量計算問題的常見方法.
圖2
方法2:解三角形法.
解析:如圖2,延長AO交BC于點D.
根據(jù)余弦定理,可得
由同角三角函數(shù)基本關系式,得
在△OAB中,根據(jù)余弦定理,得
由同角三角函數(shù)基本關系式,得
所以∠OAB=∠ADB,于是BD=AB=4.
點評:結合三角形的幾何背景,綜合應用余弦定理與正弦定理、同角三角函數(shù)基本關系式、三角形的內角和、誘導公式以及三角恒等變形公式等,通過平面向量中三點共線的性質及其定理加以合理轉化,進而求解兩參數(shù)的和.合理利用解三角形與平面向量的綜合知識,結合三角函數(shù)的相關知識加以巧妙轉化,這是破解此類涉及三角形的平面向量問題的常見方法.
方法3:余弦定理的向量表示法.
結合余弦定理的向量表示形式,由上式可得
32λ+27μ=16.
①
3λ+8μ=4.②
故選擇答案:C.
點評:方法3是在方法1的基礎上進一步優(yōu)化而來,借助余弦定理的向量表示形式加以轉化與應用,結合平面向量的數(shù)量積與余弦定理的應用來處理,合理轉化,巧妙破解,進而得以求解兩參數(shù)的和.合理利用余弦定理,是對平面向量與解三角形知識的有效融合與應用,可以更好優(yōu)化過程,提升解題效益.
探究1:保留問題的所有條件,改變設問方式,分別求解兩參數(shù)的對應值,得到以下對應的變式問題.
探究2:保留三角形外心的背景,改變問題的相關條件,給出平面向量的線性關系式,求解對應角的余弦值,得到以下對應的變式問題.
破解此類巧妙融合三角形與平面向量相關知識的數(shù)學問題,關鍵是正確把握其中“數(shù)”的性質與“形”的特征.可以從“數(shù)”的性質入手,利用代數(shù)視角,通過代數(shù)運算或平面向量的運算等形式來解決;也可以從“形”的特征入手,利用幾何直觀,通過平面幾何特征或圖形直觀等形式來處理;更高層次就是“數(shù)”與“形”的綜合應用,兩者協(xié)同合作,通過坐標運算等形式來破解等.破解思維各異,方法多樣.