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        “1”的10用技巧

        2022-12-19 03:10:42浙江省杭州市蕭山第二高級中學吳葉芳
        中學數(shù)學 2022年23期
        關鍵詞:技巧解題

        ?浙江省杭州市蕭山第二高級中學 吳葉芳

        “1”真是個神奇的數(shù)字,從小學開始我們就知道,“1”是一個自然數(shù),是最小的正整數(shù),是奇數(shù),“1”既不是質數(shù)也不是合數(shù),還學會了設“單位1”的解題思路與方法[1].到了中學階段,又學會了更多更巧妙地利用“1”的各種性質來解題的方法與技巧.下面我們通過實例來歸納“1”在數(shù)學解題中的10種靈活用法.

        1 “1”的正用與逆用

        例1求證:tan2α+cot2α+1=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1).

        證明:右邊=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1)

        =cotα(tan2α+tanα+1)·tanα(cot2α-cotα+1)

        =(tanα+1+cotα)·(cotα-1+tanα)

        =(tanα+cotα)2-1

        =tan2α+cot2α+1

        =左邊.

        所以原式得證.

        點評:在三角函數(shù)中,“1”可以變換為“tanα·cotα”,本題正是反復正用和逆用了“1=tanα·cotα”這一性質,使證明過程變得簡捷.

        2 巧用“1”求概率

        例2某縣選派甲、乙兩所中學的12名學生組隊參加市創(chuàng)客大賽決賽,其中甲中學推薦了3名男生、2名女生,乙中學推薦了3名男生、4名女生.兩校隊員在市教育局集中培訓了2天后,因參賽名額限制,決定從兩校隊員的男生中隨機抽取3人,女生中隨機抽取3人,組成代表隊參加決賽.求甲中學至少有1名學生入選的概率.

        點評:本題的思路是利用概率的性質從反面求解;因為所有事件概率的總和等于1,所以可先求出事件A的反面“甲中學無學生入選”的概率,再用1減去這個概率即可.

        3 妙用“1”化簡求值

        4 換用“1”求極值

        5 作中間變量比較大小

        例5比較a=ln 2,b=20.3,c=0.32的大小.

        解:ln 20.32,所以c

        點評:“1”作為中間變量,在比較大小的運算中具有橋梁的作用[2],很多數(shù)的大小都以0,1為臨界點.

        6 解決橢圓的相關問題

        點評:本題為了避免求a,b,c的值,將方程中的a設為1,再根據橢圓中a2=b2+c2的關系將b2寫成b2=1-c2,然后將上述方程轉換成一個關于e的方程,最后解出e的值即為所求的離心率.

        7 化歸構造公式

        例7已知A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1),試求A-2 003的末尾數(shù)是多少?

        解:原式左邊乘(2-1),得A=(2-1)·(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)·(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1.

        因為21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,個位數(shù)的特點是每4個一循環(huán),而16÷4=4,所以216的末位數(shù)字是6,那么A的末尾數(shù)字是5,A-2003的末尾數(shù)是2.

        點評:運用化歸思想,巧用“1”乘任何數(shù)結果不變的特點把“1”變成(2-1)的形式,靈活地構造出能夠運用平方差公式的式子.

        8 用代換法解方程

        例8解方程:4x-3=1.

        解:因為a0=1(a≠0),則4x-3=40,所以x-3=0,解之得x=3.

        點評:本題主要是靈活代換了a0=1(a≠0),將指數(shù)方程轉化為一元一次方程,進而輕松獲解.

        9 解決函數(shù)恒過定點的問題

        例9函數(shù)y=loga(x-4)的圖象恒過定點______.

        解:由對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象恒過點(1,0),得x-4=1,則x=5.

        所以函數(shù)y=loga(x-4)的圖象恒過定點(5,0).

        點評:指數(shù)型函數(shù)與對數(shù)型函數(shù)圖象恒過定點問題是高考常考的一個知識點,解答這類題型經常會用到常數(shù)“1”的轉化技巧.

        10 求動點的軌跡方程

        例10設A(x1,y1),B(x2,y2)為拋物線y2=4px(p>0)上原點以外的兩個動點,若OA⊥OB,OM⊥AB,求動點M的軌跡.

        解:(1)當直線AB垂直于x軸時,M(4p,0).

        兩邊同除以x2,整理得

        y=k(x-4p).

        又因為OM⊥AB,所以直線OM的方程為

        由①×②消去k,得y2=-x(x-4p),即(x-2p)2+y2=(2p)2,且M(4p,0)也滿足這個方程.

        所以,動點M的軌跡是以(2p,0)為圓心,2p為半徑的圓.

        事實上,“1”的用法何止10種!上述舉例只是窺其一斑而已,要知“全豹”,學習和掌握更多的“1”的妙用技巧,還需要我們在解題過程中不斷探索、不斷反思、不斷總結,學以致用,不斷提高.

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