?浙江省杭州市蕭山第二高級中學 吳葉芳
“1”真是個神奇的數(shù)字,從小學開始我們就知道,“1”是一個自然數(shù),是最小的正整數(shù),是奇數(shù),“1”既不是質數(shù)也不是合數(shù),還學會了設“單位1”的解題思路與方法[1].到了中學階段,又學會了更多更巧妙地利用“1”的各種性質來解題的方法與技巧.下面我們通過實例來歸納“1”在數(shù)學解題中的10種靈活用法.
例1求證:tan2α+cot2α+1=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1).
證明:右邊=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1)
=cotα(tan2α+tanα+1)·tanα(cot2α-cotα+1)
=(tanα+1+cotα)·(cotα-1+tanα)
=(tanα+cotα)2-1
=tan2α+cot2α+1
=左邊.
所以原式得證.
點評:在三角函數(shù)中,“1”可以變換為“tanα·cotα”,本題正是反復正用和逆用了“1=tanα·cotα”這一性質,使證明過程變得簡捷.
例2某縣選派甲、乙兩所中學的12名學生組隊參加市創(chuàng)客大賽決賽,其中甲中學推薦了3名男生、2名女生,乙中學推薦了3名男生、4名女生.兩校隊員在市教育局集中培訓了2天后,因參賽名額限制,決定從兩校隊員的男生中隨機抽取3人,女生中隨機抽取3人,組成代表隊參加決賽.求甲中學至少有1名學生入選的概率.
點評:本題的思路是利用概率的性質從反面求解;因為所有事件概率的總和等于1,所以可先求出事件A的反面“甲中學無學生入選”的概率,再用1減去這個概率即可.
例5比較a=ln 2,b=20.3,c=0.32的大小.