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        三角形綜合問題一題多解

        2022-12-19 03:09:50湖北省黃岡市團(tuán)風(fēng)中學(xué)林菊芳
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年23期

        ?湖北省黃岡市團(tuán)風(fēng)中學(xué) 林菊芳

        1 引言

        從近幾年的高考試題來看,解三角形問題成為高考的高頻考點.主要考查運用正、余弦定理及其他相關(guān)的變形公式解決與三角形有關(guān)的證明、求面積、判定三角形形狀等問題;題型多樣,既有填空題、選擇題,也有簡答題和綜合應(yīng)用題,側(cè)重考查計算能力和分析問題、解決實際問題的能力[1].下面是筆者總結(jié)的幾種解題的方法與技巧,供大家參考.

        2 三角形證明題“兩要”法

        三角形中的證明類問題,其基本思路和方法與證明三角恒等式類似.證明的要領(lǐng)可歸納為“兩要”:一要“轉(zhuǎn)化”,變陌生為熟悉,就是運用正、余弦定理使原來混合的邊、角關(guān)系統(tǒng)一為邊的關(guān)系或角的關(guān)系,將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的三角恒等式類的證明問題,或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為代數(shù)恒等式類的證明問題;二要靈活運用三角形中的相關(guān)結(jié)論(公式、定理),例如

        sin(B+C)=sinA,cos(B+C)=-cosA,

        例1在△ABC中,已知acosA=bcosB,求證:△ABC為等腰三角形或直角三角形.

        證法1:從角入手進(jìn)行證明.

        在△ABC中,由acosA=bcosB,得2RsinA·cosA=2RsinBcosB,即sin 2A=sin 2B.

        所以,△ABC為等腰三角形或直角三角形.

        證法2:從邊入手進(jìn)行證明.

        在△ABC中,由acosA=bcosB,得

        整理,得c2(a2-b2)=a4-b4.

        即c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2).

        于是 (a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0.

        所以a=b,或c2=a2+b2.

        故△ABC為等腰三角形或直角三角形.

        例2在△ABC中,求證:sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC.

        證法1:因為

        sin2A+sin2B-sin2C

        =cos2(A+B)-cos(A+B)cos(A-B)

        =cos(A+B)[cos(A+B)-cos(A-B)]

        =-cosC(-2sinAsinB)=2sinAsinBcosC,

        所以,原等式得證.

        所以,原等式得證.

        所以,左邊=右邊,故原等式得證.

        3 運用“轉(zhuǎn)化法”判斷三角形的形狀

        例3在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,試判斷△ABC的形狀.

        解法1:由正弦定理,得2sinB=sinA+sinC.

        即sin(C+30°)=1.

        因為0°

        于是A=60°=B=C.

        故△ABC為正三角形.

        解法2:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB.

        整理,得(a-c)2=0,即a=c,從而a=b=c.

        故△ABC為正三角形.

        例4在△ABC中,已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,試判定△ABC的形狀.

        8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC.

        因為sinBsinC≠0,所以sinBsinC=cosBcosC.

        于是cos(B+C)=0,則B+C=90°,所以A=90°.

        故△ABC為直角三角形.

        解法2:將已知等式變?yōu)?/p>

        b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.

        化簡得b2+c2=a2.

        故△ABC為直角三角形.

        4 巧用公式求三角形的面積.

        其次,針對不同的題型和具體要求,靈活地選用或變形使用三角形面積公式.

        例5在△ABC中,已知A=120°,AB=5,BC=7,求△ABC的面積.

        圖1

        圖2

        例6某職業(yè)中專校園背后有一塊形似三角形的學(xué)農(nóng)基地(如圖2),AB邊長為20 m,由點C看AB的張角為40°,在AC上的另一點D處看AB的張角為60°,已知AD=2DC.試求這塊學(xué)農(nóng)基地的面積(精確到0.1 m2).

        解:依題意可知∠BCA=40°,∠BDA=60°, 則∠DBC=20°,∠BDC=120°.設(shè)DC=x.

        在△ABC中,AB=20,利用余弦定理可知

        AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC.

        即400=(3x)2+(2.53x)2-2×3×2.53x2cos 40°.

        解得x≈10.3,從而AC=30.9,BC≈26.03.

        故這塊學(xué)農(nóng)基地的面積約為257.4 m2.

        5 活用正、余弦定理求解高度與追擊問題

        求解高度與追擊問題,大多要利用正、余弦定理,聯(lián)系高度、距離所在的某個三角形,弄清方向角、方位角,將有關(guān)角的關(guān)系進(jìn)行綜合應(yīng)用,觀察和求出所在三角形中的某些邊、角,當(dāng)條件不夠時,需要創(chuàng)造和尋找條件[3],將有關(guān)條件向該三角形轉(zhuǎn)化,最終化為解三角形的問題.

        圖3

        解:由A=15°,∠DBC=45°,可得∠ACB=30°.

        因為CD⊥AD,所以

        CD=BCsin∠CBD

        ≈10 500(1.7-1)

        =7 350(m).

        故山頂?shù)暮0胃叨葹?0 000-7 350=2 650 (m).

        圖4

        在△ABC中,∠BAC=45°+75°=120°,則

        BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC

        =6.

        由正弦定理,得

        所以∠ABC=45° ,且BC為東西走向.

        由題意可知∠CBD=120°.

        在△BCD中,由正弦定理,得

        所以∠BCD=30°.

        于是∠BDC=30°.

        6 結(jié)論

        綜上所述,解三角形問題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確理解三角形中的邊角關(guān)系,會嫻熟地運用相關(guān)的公式、定理;對于實際應(yīng)用題,最好能夠運用數(shù)形結(jié)合思想,通過構(gòu)圖、作輔助線等方法幫助分析、思考問題.

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