李明陽,甄曉霞,陳 煒,張卓杰

(1.華南理工大學土木與交通學院,廣州 510640； 2.石家莊鐵道大學省部共建交通工程結構力學行為與系統(tǒng)安全國家重點試驗室,石家莊 050043)

引言

斜拉索是大跨度斜拉橋重要的結構構件，由于阻尼小、柔度大的特點，單根拉索在風力作用或交通荷載的激勵下容易產(chǎn)生較大振動，如果拉索振動得不到有效消除和控制，易造成拉索疲勞或套管保護層損壞，甚至橋梁的破壞[1-2]。為有效控制拉索振動，可把多根斜拉索用輔助索連接起來組成多層索網(wǎng)系統(tǒng)，從而形成一個協(xié)同工作的系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 帶有輔助索的斜拉索

對于索網(wǎng)系統(tǒng)，DELLA C N和SHU D等[3-4]通過建立截面單元的振動方程，求解了局部分層梁自由振動頻率的解析解；CARACOGLIA L[5-6]對耦合連接的雙層及多層索網(wǎng)進行了初步的自振特性分析，并借助Fred Hartman Bridge進行實測驗證；AHMAD J[7-9]對耦合連接的索網(wǎng)系統(tǒng)自振特性進行了進一步研究，提出通過局部模態(tài)化程度和局部模態(tài)集群兩個指標來評價局部模態(tài)的好壞。國內(nèi)對于多層索網(wǎng)系統(tǒng)的振動特性研究多基于有限元方法[10-14]及試驗方法[15-16]開展；解析方法主要應用于雙層索網(wǎng)系統(tǒng)，周海俊等[17]推導得出了輔助索接地的簡化索網(wǎng)—阻尼器系統(tǒng)的復特征值方程，并由此求得阻尼和頻率的數(shù)值解；陳煒等[18]通過解析法、有限元模擬及試驗驗證的方法，分析了抗彎剛度對耦合吊索自振特性的影響；宋相坐[19]對接橋面輔助索-索網(wǎng)結構的微幅振動展開了理論與試驗研究；姚國灶[20]和周現(xiàn)寶[21]研究了形狀記憶合金輔助索—拉索系統(tǒng)的振動特性；ZHOU H J[22]提出了一個由2根平行的拉索和一個相互連接的阻尼器組成的系統(tǒng)，以減輕拉索的振動。但研究均局限于雙層索網(wǎng)系統(tǒng)，有必要結合實際工程情況開展斜拉索-輔助索多層索網(wǎng)系統(tǒng)振動特性的解析方法研究，并使用數(shù)值模擬方法和試驗方法進行驗證，深入研究不同輔助索設計方案對索網(wǎng)系統(tǒng)面內(nèi)自由振動特性的影響，為輔助索減振機理分析、索網(wǎng)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 索網(wǎng)系統(tǒng)的振動方程及求解

1.1 索網(wǎng)系統(tǒng)分析模型

如圖2所示，由n根獨立錨固的不等長水平拉索組成的索網(wǎng)系統(tǒng)，最長拉索的長度為L1，往下拉索長度依次為L2～Ln，各拉索索力分別為T1～Tn，拉索端部看作是固結。拉索之間用豎直的具有一定剛度的輕質彈簧進行連接，彈簧將各根拉索分為m個子系統(tǒng)，各子系統(tǒng)的長度分別為li，j(i為拉索號，j為子系統(tǒng)號)，分別以各子系統(tǒng)的左端為原點建立坐標系。

圖2 索網(wǎng)系統(tǒng)

1.2 特征方程推導

單根拉索在拉力作用下的橫向振動微分方程為[23]

(1)

式中，v(x，t)為拉索橫向位移；x為沿拉索軸線坐標；t為振動時間；T為拉索拉力；m為拉索單位長度質量。

式(1)可采用分離變量法求解，設方程解的形式為

v(x，t)=φ(x)q(t)

(2)

式中，φ(x)為關于x的函數(shù)；q(t)為關于t的函數(shù)，將式(2)代入式(1)，兩邊同除mφ(x)q(t)，得

(3)

對式(3)進行分離變量后可轉換成以下方程

Tφ″(x)+mω2φ(x)=0

(4)

(5)

式(4)、式(5)為二階齊次線性常微分方程，式(4)的解為

φ(x)=Acos(αx)+Bsin(αx)

(6)

其中

(7)

式(5)的解為

q(t)=Ccos(ωt)+Dsin(ωt)

(8)

對式(6)進行無量綱化得

(9)

其中

(10)

對式(8)進行無量綱化得

(11)

故得

(12)

對于索網(wǎng)系統(tǒng)，各拉索子系統(tǒng)振動方程的解形式如下

(13)

式中，i為拉索號，取值1～n；j為子系統(tǒng)號，取值1～m。

由于各拉索通過耦合形成整體，故各拉索的振動頻率相等，即

(14)

因此，只需求解各拉索的振型方程即可，則

(15)

1.3 特征方程求解

式(15)為含有2nm個待定系數(shù)的聯(lián)立方程組，其解可通過邊界條件、連續(xù)性要求及豎向力平衡要求確定。

①邊界條件

由于拉索兩端固結，拉索端部的位移為零，即

(16)

共有2n個方程。

②連續(xù)性要求1

同一拉索在耦合處的位移相等，即

(17)

共有n(m-1)個方程。

③連續(xù)性要求2

同一橫向連接相鄰拉索位移條件為

(r=1，2，…，n-1；s=1，2，…，m-1)

(18)

若耦合剛度為無窮大時，式(18)變?yōu)?/p>

(19)

共有(n-1)(m-1)個方程。

④豎向力平衡要求

拉索在耦合處的豎向分力應滿足平衡要求，即

(r=1，2，…，n-1；s=1，2，…，m-1)

(20)

共有(m-1)個方程。

⑤由上述可得2nm個方程

將以上方程寫成矩陣形式

KX=0

(21)

K為2nm×2nm的系數(shù)矩陣，X為2nm×1的待定系數(shù)列向量。其中

若式(21)有解，則系數(shù)矩陣行列式為零，即系統(tǒng)的特征方程為

det(K)=0

(22)

2 公式驗證

2.1 試驗方法

為進一步驗證理論分析的正確性，通過現(xiàn)場試驗進行驗證，試驗拉索長3.37 m，橫截面積1.39×10-4m2，鋼絞線線密度1.12 kg/m。

圖3為現(xiàn)場試驗裝置全景，鋼絞線錨固在自制的受力架上，由于錨頭的作用，拉索端部可視為固結。鋼絞線拉力由油壓千斤頂施加后，再通過旋轉鋼絞線右側的螺母對拉力值進行細調，使拉力達到設計值。拉力值讀數(shù)可通過鋼絞線左側的壓力傳感器測得，并由連接著壓力傳感器的靜態(tài)應變測試系統(tǒng)讀出。壓力傳感器如圖4(a)所示，壓力傳感器受力與靜態(tài)應變測試系統(tǒng)讀數(shù)的關系在試驗前通過壓力試驗機進行標定。在距離鋼絞線左端L/10，9L/10處用剛度為107N/m的索夾將鋼絞線進行連接，索夾剛度在試驗前通過壓力試驗機測出，如圖4(b)所示。

圖3 現(xiàn)場試驗裝置

張拉完成后，在每根鋼絞線上布置加速度傳感器，用于測量各根鋼絞線的自振頻率，如圖4(c)所示，并通過連接著加速度傳感器的動態(tài)應變儀進行轉換后，由電腦上動態(tài)應變測試系統(tǒng)顯示的頻譜圖讀取，讀取的前5階自振頻率如圖5所示。

圖4 試驗儀器布置

圖5 雙層索網(wǎng)雙索夾系統(tǒng)頻譜(k=107 N/m)

2.2 對比驗證

為對比本文提出的解析方法、試驗數(shù)據(jù)及有限元軟件ANSYS分析結果，建立與試驗中索網(wǎng)系統(tǒng)對應的分析模型，如圖6所示。

圖6 雙層索網(wǎng)雙輔助索系統(tǒng)

拉索參數(shù)同試驗數(shù)據(jù)。假定拉索間完全黏結，拉索可看作是完整性良好的柔性弦，拉索索力T和頻率f之間的關系可以表示為

T=4mL2f2

(23)

式中，m為拉索的線密度。

本文提出的解析方法、試驗方法及有限元軟件得出的索網(wǎng)前5階自振頻率如表1所示。其中，ANSYS有限元模型中拉索采用Link10單元模擬，拉索拉力以預拉力的方式施加，輔助索位置處的節(jié)點進行自由度耦合。ANSYS計算得到的系統(tǒng)前4階振型如圖7所示。

表1 雙層索網(wǎng)雙索夾系統(tǒng)自振頻率實測值和計算值

圖7 雙層索網(wǎng)雙輔助索系統(tǒng)前4階振型

從表1和圖7可以看出，對于等長鋼絞線，當拉索拉力和拉索線密度均相同時，用解析方法與有限元方法求得的頻率值相同；試驗測得的2根拉索的各階頻率值均一致；測得的拉索前5階自振頻率與計算得到的前5階自振頻率誤差滿足精確度要求，由于試驗索長較短，計算過程中未考慮拉索抗彎剛度，最大誤差值略大。

由計算及實測結果可知，在索夾耦合作用下，索網(wǎng)系統(tǒng)的高階頻率與基頻之比不再保持嚴格的整數(shù)倍關系；與完整性良好的單根拉索相比，索網(wǎng)系統(tǒng)在整數(shù)倍基頻頻率之間出現(xiàn)了非整數(shù)倍基頻頻率。

3 輔助索對多層索網(wǎng)系統(tǒng)自振特性的影響

以某斜拉橋的5根典型斜拉索作為分析對象，研究輔助索設置對索網(wǎng)系統(tǒng)面內(nèi)自由振動特性的影響。各斜拉索的幾何特征均取相同值，如表2所示，索的長度、張拉力及未施加輔助索時的基頻如表3所示，且各拉索對稱布置。

表2 斜拉索參數(shù)

表3 斜拉索長度、張拉力及單根拉索基頻

3.1 輔助索剛度對斜拉索-單輔助索索網(wǎng)系統(tǒng)自振特性的影響

對于5層索網(wǎng)單輔助索系統(tǒng)，如圖8所示，輔助索位于目標索L/2處時，使輔助索剛度分別為107，106，105，104N/m，得到索網(wǎng)系統(tǒng)前20階頻率f，如圖9所示。

圖8 5層索網(wǎng)單輔助索系統(tǒng)布置(輔助索位于目標索L/2處)

圖9 前20階自振頻率隨輔助索剛度變化曲線

當輔助索剛度為106N/m時，索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻為1.308 Hz，單根拉索單獨振動頻率不會隨輔助索剛度的改變而發(fā)生變化，多根拉索局部振動頻率相對于輔助索剛度為107N/m時有所減小。在前20階振型中，第1階和第11階為整體振動的振型，多根拉索局部振動的振型相對于輔助索剛度為107N/m時前移至第2，3，5，7，12，13，15，18階，其余階次為單根拉索單獨振動的振型。

同樣的規(guī)律也發(fā)生在輔助索剛度為105N/m和104N/m上，當輔助索剛度分別為105N/m和104N/m時，整體振動頻率和多根拉索局部振動頻率隨著輔助索剛度減小進一步減小，多根拉索局部振動的振型前移至第2，3，4，5，12，13，14，15階，其余階次為單根拉索單獨振動的振型。

由此可見，對于索網(wǎng)系統(tǒng)單根拉索單獨振動的頻率不會發(fā)生變化，整體振動頻率和多根拉索局部振動頻率會隨著輔助索剛度減小有所減小。因此，索網(wǎng)系統(tǒng)剛度隨著輔助索剛度減小也相應減小；隨著輔助索剛度減小，多根拉索局部振動的振型階次前移。

3.2 輔助索位置對斜拉索-單輔助索索網(wǎng)系統(tǒng)自振特性的影響

對于5層索網(wǎng)單輔助索系統(tǒng)，輔助索剛度為107N/m時，如圖8、圖10所示，使輔助索位置分別位于距離目標索左端的L/2、2L/5、3L/10、L/5處，得到索網(wǎng)系統(tǒng)前20階頻率f，如圖11所示。

圖10 5層索網(wǎng)單輔助索系統(tǒng)布置(輔助索位于目標索左端nL/10處，n=2，3，4)

圖11 前20階自振頻率隨輔助索位置變化曲線

輔助索位于拉索L/2位置時，在整體振動振型之間除了出現(xiàn)多根拉索局部振動振型外，還會出現(xiàn)單根拉索單獨振動振型。當輔助索位置分別位于目標索2L/5，3L/10和L/5處時，在前20階振型中，第1，6，11，16階為整體振動的振型，其余階次均為局部振動的振型，但沒有單根拉索單獨振動的振型。

索網(wǎng)系統(tǒng)基頻會隨著輔助索位置往錨固點靠近而稍有減小，但其變化基本可以忽略不計。由圖11可見，整體振動頻率受位置的影響較小，各頻率值較為接近，局部振動頻率受到位置的影響會造成一定偏差。

索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻隨著輔助索剛度的減小而減小，同時也隨著輔助索位置往錨固點靠近而減小，輔助索剛度的影響較大，輔助索位置的影響較小，因此，拉索之間輔助索剛度應盡可能大，設置單根輔助索時，輔助索位置對基頻的影響基本可忽略不計。

3.3 輔助索數(shù)量對斜拉索-多輔助索索網(wǎng)系統(tǒng)自振特性的影響

當輔助索剛度為107N/m時，對5層索網(wǎng)多輔助索系統(tǒng)分別設置2，3，4根輔助索，每兩根輔助索間的距離為目標索的L/(n+1)，如圖12所示，得到索網(wǎng)系統(tǒng)前20階頻率f，如圖13所示。

圖12 5層索網(wǎng)多輔助索系統(tǒng)布置

圖13 前20階自振頻率隨輔助索根數(shù)變化曲線

當輔助索根數(shù)為2時，第1階和第2階為整體振動的振型，前20階其他振型為多根索局部振動振型，索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻為1.317 Hz，局部振動的最小頻率為3.379 Hz；當輔助索根數(shù)為3時，第1到第3階為整體振動的振型，前20階其他振型為多根索局部振動振型；當輔助索根數(shù)為4時，第1到第4階為整體振動的振型，前20階其他振型為多根索局部振動振型，索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻為1.325 Hz，局部振動最小頻率為5.223 Hz。

由此可見，對于5層索網(wǎng)多輔助索系統(tǒng)，隨著輔助索根數(shù)增多，索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻越大，其剛度也相應越大；輔助索根數(shù)為n時，前n階振型為整體振動振型，隨著輔助索根數(shù)增多，局部振動的振型出現(xiàn)的越晚，出現(xiàn)局部振動的最小頻率越大；輔助索根數(shù)增加與基頻增大基本成線性關系。

4 結論

以多層不等長索網(wǎng)系統(tǒng)為研究對象，建立索網(wǎng)系統(tǒng)平衡方程，求解系統(tǒng)自振頻率及振型，進行索網(wǎng)系統(tǒng)面內(nèi)自由振動特性及參數(shù)敏感性研究，并使用數(shù)值模擬和試驗方法對解析結果進行驗證，研究結論如下。

(1)通過設置輔助索形成索網(wǎng)系統(tǒng)后，各根拉索的自振頻率均相同，并且在整體振動的頻率之間會出現(xiàn)局部振動或單根索單獨振動的頻率。

(2)對于多層不等長斜拉索索網(wǎng)系統(tǒng)，施加輔助索會使目標索的基頻增大。若輔助索位于拉索中點位置，在整體振動振型之間除了出現(xiàn)多根拉索局部振動振型外，還會出現(xiàn)單根拉索單獨振動振型，而輔助索位于其他位置時不會出現(xiàn)單根拉索單獨振動振型。

(3)整體振動和多根拉索局部振動的頻率隨輔助索剛度減小而減小，單根索單獨振動的頻率不會隨輔助索剛度的改變而發(fā)生變化，設置單根輔助索時其位置對索網(wǎng)系統(tǒng)基頻的影響不明顯。

(4)隨著輔助索根數(shù)增多，索網(wǎng)系統(tǒng)的基頻逐漸增大，局部振動的振型出現(xiàn)得越晚，出現(xiàn)局部振動的最小頻率越大。