李中國 蔡德鉤 趙勇 劉文武

中國鐵道科學(xué)研究院集團有限公司鐵道建筑研究所，北京 100081

邊坡失穩(wěn)造成了嚴重的自然災(zāi)害和經(jīng)濟損失，除地震和暴雨等自然原因引起邊坡失穩(wěn)，人為活動也可以引發(fā)邊坡失穩(wěn)，產(chǎn)生安全隱患。鐵路、公路高路塹邊坡及水庫邊坡有潛在失穩(wěn)風(fēng)險的施工過程及后期工程運營期間，需要進行地層深部變形監(jiān)測。對于地層深部變形監(jiān)測使用最成熟、最廣泛的就是測斜儀。

MEMS測斜儀具有儀器成本低、精度高、操作簡單，可實現(xiàn)實時連續(xù)變形與振動數(shù)據(jù)采集的優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于地質(zhì)、航空、航天、航海、工業(yè)制造等行業(yè)［1-2］。但該傳感器也存在隨時間漂移較大、受溫度變化影響明顯［3］、校準復(fù)雜、標定困難等問題，影響了測斜結(jié)果的精度和穩(wěn)定性。為保證高精度響應(yīng)和輸出要求，對傳感器校準是必需的步驟［4-7］。陣列式MEMS測斜儀的核心是加速度計，由于制造和安裝過程會產(chǎn)生零偏、標度因數(shù)、非正交等問題，出廠校準保證精度通常較低。針對巖土工程中問題，監(jiān)測周期通常持續(xù)較長，加速度計長期累積姿態(tài)誤差，對輸出結(jié)果產(chǎn)生較大影響，基礎(chǔ)校準不能滿足對工程變形監(jiān)測的精度要求。對此，國內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者對基于MEMS的三軸加速度計精度補償算法進行了研究?，F(xiàn)有的精度補償方法基本為儀器輔助校準的特殊位置校準法［8-9］，但需要額外的高精密儀器輔助，步驟繁瑣且成本較高。

本文對多陣列測斜儀系統(tǒng)進行數(shù)學(xué)建模，分析誤差成分，分別進行補償，使用橢球補償算法來消除零偏誤差［10］、標度因數(shù)誤差，通過平面旋轉(zhuǎn)法消除非正交誤差，通過濾波法消除噪聲干擾［11］，實現(xiàn)多陣列測斜儀高精度補償。

1基于MEMS的測斜儀系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)構(gòu)成

基于MEMS的測斜儀系統(tǒng)主要包括MEMS測斜儀、系統(tǒng)軟件、服務(wù)器等。MEMS測斜儀由傳感器、保護外殼、通訊電路等部分組成，主要用來采集信號。系統(tǒng)軟件包括校準軟件、預(yù)警軟件、可視化軟件。其中校準軟件用來對測斜儀進行校準，提高系統(tǒng)精確度。預(yù)警軟件可用戶自定義規(guī)則，對不穩(wěn)定坡體進行監(jiān)測、報警?？梢暬浖糜诮Y(jié)果的記錄、顯示及數(shù)據(jù)分析。基于MEMS陣列式測斜儀見圖1。

圖1 基于MEMES陣列式測斜儀

1.2 系統(tǒng)原理

測斜儀原理是將三個加速度計兩兩正交安裝，組成正交坐標系，當測斜儀位姿發(fā)生變化時，三軸加速度計數(shù)值產(chǎn)生相應(yīng)變化，通過輸出的三個加速度計值來計算傾角和位姿，多陣列傾角和位移累加獲取測斜儀環(huán)境變化。在測斜儀系統(tǒng)數(shù)學(xué)表示中，加速度計輸出與重力存在三角函數(shù)關(guān)系。測斜儀原理見圖2。

2 系統(tǒng)誤差分析

測斜儀在安裝的時候，三軸傳感器無法達到完美正交，傳感器坐標系和整體坐標系不重合，會產(chǎn)生非正交誤差。此外，三軸傳感器本身易受到溫度環(huán)境條件影響，存在零偏誤差和標度因數(shù)誤差，對精度影響較大。理想條件下是三軸傳感器任意一軸無零偏，且標度因數(shù)一致，不同兩軸傳感器之間正交，整個傳感器坐標系和測斜儀坐標系三軸完全重合。

綜上，測斜儀系統(tǒng)誤差來源有非正交誤差、零偏誤差、標度因數(shù)誤差和噪聲。數(shù)學(xué)模型表示為

式中：Et為最終精度補償系數(shù)；Do為實際輸出；En為非正交誤差；Ez為零偏；Es為標度因數(shù)誤差；Dor為原始數(shù)據(jù)；b為噪聲。

2.1 誤差模型

1）零偏誤差

因測斜儀本身制造缺陷，以及模擬電路中數(shù)字與模擬信號之間轉(zhuǎn)化損失，使輸出矢量的坐標零點發(fā)生偏移所產(chǎn)生的誤差是零偏誤差。在數(shù)學(xué)模型中為坐標零點發(fā)生偏移，實際坐標軸中原點對稱位置在原始輸出坐標軸上不對稱。針對該誤差可通過對各坐標軸進行位移歸零從而進行補償。設(shè)三軸為x、y、z，具體數(shù)學(xué)補償模型為

式中：(R x1，R y1，R z1)T為各軸消除零偏后輸出結(jié)果；(R x，R y，R z)T為三軸加速度計顯示零點；(θx，θy，θz)T為零偏位移。

2）標度因數(shù)誤差

MEMS器件在歸一化零偏后，輸出結(jié)果在實際相同位移條件下，不同軸間加速度計無法保證輸出數(shù)值相同，即測斜儀各軸標度因數(shù)不同，需要統(tǒng)一標度因數(shù)，使各軸輸出值處于相同尺度，減小位移尺度變換誤差。標度因數(shù)誤差是由各軸傳感器靈敏度不同造成的，又稱為靈敏度誤差。在數(shù)學(xué)模型上表現(xiàn)為各軸傳感器沿坐標軸可測量最大矢量長度不同，需要乘以對應(yīng)標度因數(shù)。補償模型為

式中：(R x2，R y2，R z2)T為消除標度因數(shù)誤差后輸出矩陣；kx、ky、kz為標度因數(shù)校準矩陣參數(shù)。

3）正交誤差

測斜儀由三個兩兩正交的加速度計傳感器組成，在制造和安裝的時候，無法完全保證兩兩完全正交，存在微小夾角，影響輸出結(jié)果，產(chǎn)生正交誤差。如圖3所示，設(shè)原始坐標系為O?x′y′z′，校準后三軸坐標系為O?x yz，兩坐標系之間夾角分別為α、β、μ。因x、y、z三軸間不完全正交，夾角影響最終檢測輸出結(jié)果。對非正交誤差進行校準，就需將O?x′y′z′坐標系通過旋轉(zhuǎn)，劃歸成圖中兩兩正交的坐標系O?xyz上。

圖3 非正交誤差示意

根據(jù)誤差計算公式，在零偏、標度因素校準后，將夾角轉(zhuǎn)換為矩陣運算可得正交誤差補償矩陣為

式中：(R x3，R y3，R z3)T為消除正交誤差后輸出結(jié)果；α、β、μ為對應(yīng)軸間夾角。

因非正交偏移角α、β、μ角度較小，且通過正交性補償校準，α、β、μ不斷向零角度逼近。此時對應(yīng)正余弦值可近似看作：

化簡模型為

4）噪聲誤差

現(xiàn)實世界非理想世界，任何系統(tǒng)都存在噪聲誤差，噪聲服從高斯分布，使用濾波算法對原始數(shù)據(jù)進行過濾，排除噪聲干擾，可很好地提升測量精度。

2.2 測量精度補償算法

1）橢球補償算法

根據(jù)數(shù)學(xué)模型分析可得，在重力場穩(wěn)定的條件下，測斜儀在任何姿態(tài)下的三軸加速度值應(yīng)滿足

式中：gx、gy、gz為各軸所得加速度值；kc為與當?shù)刂亓鱿嚓P(guān)的一個常數(shù)。

三軸加速度數(shù)據(jù)集在三維坐標下應(yīng)為一球體，但由于測斜儀存在零偏誤差和標度因數(shù)誤差，球體的半徑和圓心都發(fā)生變化，使球心發(fā)生偏移，半徑拉伸或者縮短，最終顯示出的圖像應(yīng)為橢圓球體。橢圓球面的標準數(shù)學(xué)表示是

式中：θx、θy、θz為相應(yīng)坐標軸的零偏；A、B、C的倒數(shù)為對應(yīng)相應(yīng)坐標軸的靈敏度誤差幅度。

通過標定試驗得到橢球曲面六個以上的三維點集，可估計出橢球的參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為通過點集求擬合曲面參數(shù)的問題。最常見的方法就是最小二乘法，數(shù)學(xué)模型表示為

式中：Fi（x，y，z）為i點的橢球一般式；N為橢球曲面上點數(shù)，N≥6；a、b、c、m、n、p為計算參數(shù)；τ為三維坐標數(shù)據(jù)點集樣本；D為正交矩陣。

式（8）相當于求解六元一次方程組，解出相應(yīng)a、b、c、m、n、p就可算出相應(yīng)零偏和靈敏度誤差。

2）非正交誤差補償

在恒溫轉(zhuǎn)臺中，放置待測測斜儀，由于非正交誤差較小，分別以待測軸為目標，慢慢移動待測軸，使之與重力軸重合，即局部輸出極值點，此時待測軸與相應(yīng)坐標軸之間的夾角即為非正交誤差角。同理可得其他兩夾角，求得整體偏角和補償矩陣。

3）Kalman濾波

Kalman濾波是通過遞歸保證誤差協(xié)方差最小實現(xiàn)的最優(yōu)線性估計算法，具有計算量級小、實時性能高的優(yōu)勢，可通過一系列帶有誤差的參數(shù)來預(yù)測真實值，在保證高精度的條件下，同時具有穩(wěn)定性和實時性，可有效去除高斯噪聲影響。Kalman濾波的狀態(tài)方程和測量方程分別為

式中：K為狀態(tài)變化矩陣；H為實際測量矩陣；w t-1和v t為服從正態(tài)分布的噪聲。

Kalman濾波是遞推算法，其核心為五個遞推公式。首先通過狀態(tài)方程和測量方程向前推算出狀態(tài)變量x?t|t-1（t為對應(yīng)時間）和誤差協(xié)方差P t|t-1，即

式中：P t-1為t-2時刻的協(xié)方差預(yù)測結(jié)果；Q為w t-1對應(yīng)的協(xié)方差。

再計算卡爾曼增益，更新權(quán)重G為

然后更新狀態(tài)位置方程為

更新狀態(tài)向量協(xié)方差方程為

式中：I為單位矩陣。

原始數(shù)據(jù)經(jīng)過Kalman濾波處理后，可使其輸入值更接近真實值，減少噪聲誤差，提高補償精度。

4）校準流程

根據(jù)上述精度補償過程，設(shè)計精度補償算法流程如圖4所示。

圖4 設(shè)計精度補償算法流程

3 校準結(jié)果

為驗證本文校準方法的有效性，設(shè)計試驗進行對比驗證。

1）獲取原始數(shù)據(jù)

獲取原始MEMS輸出值，分別繞x、y、z三軸，在三軸加速度從-g到g的變化區(qū)間中，取樣過程按照每間隔一定角度進行統(tǒng)計，在各位置下取30 s內(nèi)的三軸加速度計靜置值平均值作為原始MEMS輸出值。

2）六位置標定

在三坐標軸分別為-g和g加速度時，自由組合，可得六個特殊位置，在每一特殊位置，取30 s內(nèi)的三軸加速度計靜置值平均值，作為六位置標定法輸入值，計算得變換矩陣Etr和偏移，見式（14），通過計算得出校準后輸出。

3）本文算法標定

在三軸轉(zhuǎn)臺上分別繞x、y、z三軸轉(zhuǎn)動，在三軸加速度從-g到g的變化區(qū)間中，每當轉(zhuǎn)動到某一位置時，取30 s內(nèi)的三軸加速度計靜置值平均值，進行Kalman濾波，將濾波后數(shù)據(jù)代入橢球算法中，求出變換矩陣和偏移，如式（15）所示。代入矩陣和偏移算出算法標定后輸出。

4）對比結(jié)果

各算法校準前后傾角對比見表1，其中AH為MEMS測斜儀水平傾角，AV為MEMS測斜儀方位角。

由表1可知：在校準之前，傾角誤差、方位角誤差可達2°～3°，特殊位置校準算法的傾角精度為±0.1°、方位角補償精度在1°之內(nèi)，分辨力精度可達0.01 mm。本文橢球曲面擬合算法校準精度傾角精度為：穩(wěn)定在±0.1°，方位角精度在0.2°之內(nèi)，分辨力精度達到0.002 mm，且滿足MEMS測斜儀精度要求，不依賴額外物理器件，能減少標定成本。

4 結(jié)論

本文通過建立數(shù)學(xué)模型，統(tǒng)籌分析MEMS測斜儀的誤差模型，將不同誤差函數(shù)進行聯(lián)合補償，減少不同誤差間的耦合影響，分離出各參數(shù)，提高了誤差的最終補償精度，取得了良好的校準效果。使用本文提出的校準算法和特殊位置校準算法分別對測斜儀進行了試驗測試。使用本文算法進行誤差校準后，誤差結(jié)果穩(wěn)定，精度穩(wěn)定在0.2°之內(nèi)，分辨力精度可達0.002 mm，效果和儀器校準相符，可替代儀器進行校準，滿足測斜儀校準需求。整個測量系統(tǒng)運行準確，可實時監(jiān)控測斜儀環(huán)境形變，滿足高精度邊坡失穩(wěn)監(jiān)測需求，適用于路基監(jiān)測、地質(zhì)作業(yè)等多種場景。