湖南省桃江縣第一中學(xué) (413400) 胡芳舉

問題如圖1，設(shè)P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠APB=90°+∠ACP，∠APC=90°+∠ABP，求證：P為ΔABC的內(nèi)心.

圖1

該題由湖南師大葉軍教授提供，用幾何法不難證明，接著葉老師又提出了如下兩個(gè)探究問題：

變式1 設(shè)P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠APB=90°+∠ACP，∠APC=90°+∠PBC，則P為ΔABC的內(nèi)心嗎？

變式2 設(shè)P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠APB=90°+∠PCB，∠APC=90°+∠PBC，則P為ΔABC的內(nèi)心嗎？

本文將解答這兩個(gè)變式，并提出幾個(gè)新命題.

圖2

變式2不成立，反例如下：任作鈍角ΔBPC(使∠BPC為鈍角，如圖3)，再作∠CPQ=90°+∠PBC，則∠QPB=360°-∠CPQ-∠BPC=360°-(90°+∠PBC)-(180°-∠PBC-∠PCB)=90°+∠PCB，在射線PQ上任取一點(diǎn)A，則ΔABC滿足題設(shè)條件，但顯然點(diǎn)P不一定為ΔABC的內(nèi)心.

圖3

要變式2成立需要補(bǔ)充什么條件呢？經(jīng)過進(jìn)一步探索，得到了幾個(gè)有趣的結(jié)論：

結(jié)論1 如圖4，設(shè)P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠APB=90°+∠PCB，∠APC=90°+∠PBC，∠PAB=∠PAC，則P為ΔABC的內(nèi)心或AB=AC.

圖4

注：希望有讀者能給出純平面幾何證明.

注：結(jié)論2，3，4可以仿結(jié)論1證明.