冷子珺，呂芳蕊，焦春曉，塔 娜，饒柱石

（1.上海交通大學 a.振動、沖擊、噪聲研究所；b.機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240；2.河海大學機電工程學院，江蘇 常州 213022）

0 引 言

船舶推進軸系的支撐特性對軸系動力學性能具有重要影響：軸系中各滑動軸承的動力特性系數(shù)會影響軸系的臨界轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)子渦動振幅和推進軸系的穩(wěn)定性等等[1]，并且在進行軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學分析時，軸承的動力特性系數(shù)是必要的邊界條件[2]。推進軸系的各軸承中，水潤滑艉軸承的運行工況最為惡劣：懸伸在船體外的螺旋槳導致軸頸在軸承中傾斜，造成水膜承載力的巨大損失；加之水的粘度低，艉軸承中的水膜必須極薄才能提供足夠的承載力，以至于艉軸承運行在混合潤滑(mixed lubrication,ML)狀態(tài)[3]——表面粗糙度對軸承特性有著不可忽略的影響[4-5]。與此同時，艉軸承軸瓦一般為非金屬柔性材料，在巨大的承載壓力下軸瓦極易變形，這將改變艉軸承內(nèi)的水膜厚度與壓力分布，從而影響軸承特性。由于上述原因，建立在光滑剛性軸承基礎(chǔ)上的流體動力潤滑理論(hydrodynamic lubrication,HL)難以滿足水潤滑軸承的動態(tài)特性分析需求，需要專門對水潤滑軸承的動力特性系數(shù)進行研究。

目前，國內(nèi)外學者已經(jīng)進行了大量的相關(guān)研究。為了考察彈性變形對軸承動力特性的影響，研究者們利用彈性流體動力潤滑(elastohydrodynamic lubrication,EHL)理論進行了相關(guān)研究。Jain 等[6]采用一階攝動法計算了考慮軸瓦靜態(tài)變形的動力特性系數(shù)，發(fā)現(xiàn)大偏心率下軸承的剛度阻尼明顯減小。但其他學者對Jain 的方法持有異議：Zhang 等[7]認為在利用攝動法推導軸承的剛度阻尼時,僅考慮軸瓦靜態(tài)變形而忽略軸瓦因軸頸位置攝動產(chǎn)生的動態(tài)變形，所得到的剛度阻尼只適用于軸頸微幅振動的情況。相應地，Zhang等[7]采用影響系數(shù)法計算了軸瓦動態(tài)變形并推導了動力特性系數(shù)，發(fā)現(xiàn)在高偏心率下考慮動態(tài)變形的剛度阻尼明顯區(qū)別于僅考慮靜態(tài)變形的情況。Kuznetsov 等[8]和周廣武[9]建立了和Zhang 類似的模型，分別用平面應變模型與彈性半無限體理論計算了軸瓦變形。在此基礎(chǔ)上，Lahmar等[10]研究了軸頸渦動頻率對彈流潤滑模型下軸承動力特性系數(shù)的影響。Liu 等[11]計算了考慮軸瓦靜態(tài)變形的水膜剛度，并將水膜剛度與軸瓦結(jié)構(gòu)剛度加權(quán)平均作為水潤滑軸承的綜合支撐剛度。對于非金屬柔性軸承，推導動力特性系數(shù)時考慮因軸頸攝動產(chǎn)生的軸瓦動態(tài)變形明顯更為合理。但是上述研究在計算動態(tài)變形時均假設變形與壓力成正比，這種假設只考慮了軸瓦的剛度效應，僅將穩(wěn)態(tài)時的靜力學變形關(guān)系沿用到動態(tài)分析中，忽略了非金屬材料的阻尼特性[12]以及軸瓦慣性的影響。此外，大偏心率下，表面粗糙度對軸承特性的影響同樣不可忽略[4-5]，但是彈流潤滑模型并不能體現(xiàn)粗糙度的作用。

綜上所述，針對艉軸承這樣的柔性軸承，相關(guān)研究主要集中在軸瓦變形對軸承動力特性系數(shù)的影響，忽略了水膜很薄時同樣重要的表面粗糙度。與此同時，前人在計算軸瓦的動態(tài)變形時僅考慮了軸瓦的剛度效應，忽略了非金屬材料的阻尼特性與軸瓦慣性。另一方面，對軸頸傾斜這樣的特殊工況，相關(guān)研究主要是在動力潤滑下進行的，同樣沒有考慮粗糙度的影響。本文在傳統(tǒng)軸承動力學分析模型的基礎(chǔ)上考慮了軸瓦的剛度、阻尼和軸承質(zhì)量以及可能存在的接觸剛度、阻尼，提出了水潤滑軸承動力學特性分析模型?；谠撃Ｐ屯茖Я丝紤]表面粗糙度與軸瓦變形的擾動壓力雷諾方程并計算水膜動力特性系數(shù)，對比了混合潤滑模型與動力潤滑模型、彈流潤滑模型下軸承的動力特性系數(shù)并分析其差異，深入討論了軸頸傾斜與粗糙度對水潤滑軸承動力特性系數(shù)的影響。本文提出的模型與動力特性系數(shù)計算方法可完善柔性軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學分析。

1 數(shù)學模型

1.1 水潤滑軸承動力學特性分析模型

傳統(tǒng)軸承動力學分析模型適用于表面光滑的剛性軸承。但是，水的低粘度以及艉軸承低速重載的工況特點導致最小水膜厚度與表面粗糙度處于同一量級，此時表面粗糙度不僅影響實際水膜厚度，甚至可能彼此接觸。除此以外，水潤滑軸承采用非金屬柔性軸瓦，軸頸穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時，軸瓦將產(chǎn)生靜態(tài)變形；當軸頸在軸承內(nèi)渦動時，水膜壓力的動態(tài)變化會導致軸瓦產(chǎn)生動態(tài)變形。為了表征以上特點，建立如圖1所示的水潤滑軸承動力學分析模型。

圖1 水潤滑軸承動力學分析模型Fig.1 Dynamic analysis model of water lubricated bearing

圖1 中，下標x、y代表物理量的作用方向，kw、cw為水膜剛度、阻尼，kc、cc為粗糙峰接觸剛度、阻尼[20]，kb、cb為軸瓦剛度、阻尼，kh、ch為船體基礎(chǔ)剛度、阻尼，mb為軸承質(zhì)量，mh為船體基礎(chǔ)質(zhì)量。圖中未標出水膜的交叉剛度、阻尼。上文提及的水潤滑軸承特點在圖1 中體現(xiàn)如下：粗糙度的效果體現(xiàn)在兩個方面，首先，在最小膜厚區(qū)域，粗糙度改變了水膜的真實厚度，會對水膜動力特性產(chǎn)生直接影響；其次，軸承、軸頸表面的粗糙峰彼此接觸時，會產(chǎn)生接觸剛度和阻尼。在軸瓦變形方面，靜態(tài)變形可由軸承的穩(wěn)態(tài)分析得到，動態(tài)變形則由軸承的二自由度集總參數(shù)模型表示。軸瓦的動態(tài)變形由水膜壓力的動態(tài)增量引起，在圖1 中由串聯(lián)彈簧、阻尼表征這一受力-變形關(guān)系。此外，除了軸瓦剛度kb外，非金屬材料的阻尼cb與軸瓦質(zhì)量mb均被計入了模型。若船體基礎(chǔ)的剛度和阻尼不可忽略，則可繼續(xù)串聯(lián)在模型中。

雖然該多自由度模型不能將軸承的動力特性通過簡明的剛度和阻尼系數(shù)表示，但是粗糙度效應、軸瓦變形以及非金屬軸瓦的剛度、阻尼與軸承質(zhì)量均被納入了軸承動力學分析模型，有利于提高柔性軸承支撐時軸系響應的預報精度。同時，該模型中水膜力增量與軸承座運動方程的表征并不復雜，易于組裝至軸系動力學模型中。此外，軸瓦結(jié)構(gòu)剛度、阻尼與水膜剛度、阻尼的串聯(lián)，使水膜動力特性系數(shù)計算與軸瓦動態(tài)變形解耦，計算水膜剛度阻尼時只需考慮軸瓦靜態(tài)變形，一定程序上簡化了水膜動力特性系數(shù)的計算。

下文將重點討論考慮軸瓦變形與表面粗糙度的水膜動力特性系數(shù)計算。

1.2 水膜動力特性系數(shù)理論分析方程

圖2 所示為典型的水潤滑軸承結(jié)構(gòu)示意圖。軸承中心為O，軸頸中心為Oj，兩者存在偏心距e，軸頸以角速度Ω旋轉(zhuǎn)。軸頸半徑為r，軸承長度為L，軸瓦表面P點處的膜厚為h，u、v為P點在x、y方向的彈性變形。角度坐標Φ、φ滿足Φ=φ+θ，θ為偏位角。Fx、Fy分別為x、y方向的軸承承載力，軸頸關(guān)于坐標軸的傾角θx、θy、θz滿足右手法則。

圖2 水潤滑軸承結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Water lubrication bearing structure diagram

以軸承穩(wěn)態(tài)的膜厚、水膜壓力為基礎(chǔ)求解動態(tài)特性系數(shù)?？紤]粗糙峰對水膜壓力的影響，本文采用考慮表面形貌的雷諾平均方程[21]描述水膜壓力分布

式中，φx、φz為壓力流量因子，φs為剪切流量因子，φc為接觸因子[22]，為平均水膜壓力，h為水膜厚度，μ為水的動力粘度，為綜合粗糙度，σ1、σ2分別為表面1、2 粗糙峰高度的均方根，U1、U2分別為表面1、2 的速度。φx、φz、φs、φc的計算方法見文獻[21-22]。假設粘度為常數(shù)，剛化軸承的靜態(tài)變形，將式（1）無量綱化，得到

式中，H0為平衡位置的無量綱膜厚分布，δu為無量綱化的彈性變形導致的膜厚增量。

將水膜壓力作泰勒展開，忽略2階以上小量，得到

在平均流量模型中，粗糙度對水膜的影響由流量因子體現(xiàn)。為考察粗糙度對水膜剛度、阻尼的影響，流量因子也需要攝動展開。流量因子已被擬合為膜厚比h/σ的函數(shù)，保留線性項將流量因子作泰勒展開，得到

其中，流量因子關(guān)于擾動求導時應用鏈式法則，

將式(3)、式(5)、式(6)-(9)代入式(2)進行整理，得到穩(wěn)態(tài)雷諾方程和擾動壓力雷諾方程

求解式（12）～（15），再對各擾動壓力積分，得到無量綱水膜剛度、阻尼為

2 數(shù)值計算方法

本文采用有限差分法離散雷諾方程，以超松弛迭代法求解。采用20節(jié)點實體單元建立軸瓦的有限元模型計算軸瓦變形，粗糙峰接觸采用彈塑性接觸模型[20]。為簡化計算，有限差分網(wǎng)格與有限元網(wǎng)格的節(jié)點一一對應，其網(wǎng)格協(xié)調(diào)關(guān)系如圖3所示。

圖3 有限差分網(wǎng)格與有限元網(wǎng)格的協(xié)調(diào)關(guān)系Fig.3 Coordination between finite difference grid and finite element grid

求解水潤滑軸承動力特性系數(shù)的流程如圖4所示。水潤滑軸承主要由下瓦承載，本文對張角為150°的圓軸承下瓦，采用節(jié)點密度為65×65 的有限差分網(wǎng)格。經(jīng)驗算，該網(wǎng)格密度下的計算結(jié)果與更細密網(wǎng)格的計算結(jié)果相比，水膜剛度阻尼的相對變化極小。

圖4 水潤滑軸承動力特性系數(shù)計算流程圖Fig.4 Flow chart of the calculation of dynamic characteristic coefficients of the water lubricated bearing

3 水潤滑軸承動力特性系數(shù)計算

3.1 模型驗證

小偏心率時軸瓦變形極其微小，且膜厚比h/σ?4，軸承處于流體動力潤滑狀態(tài)。此時按照式（11）～（15）計算得到的動力特性系數(shù)應與動力潤滑模型的計算值相同。本文以2×150°圓軸承為例（軸承參數(shù)見表1），與文獻[1]中的標準值進行對比，結(jié)果如表2所示。

表1 驗證模型軸承參數(shù)Tab.1 Parameters of the bearing for verification

表2 2×150°圓軸承無量綱水膜剛度、阻尼系數(shù)Tab.2 Dimensionless stiffness and damping coefficients of 2×150°circular bearing

續(xù)表2

對比可知，采用本文計算方法的動力特性系數(shù)值與標準值非常接近，驗證了本文算法的正確性。

3.2 粗糙度與軸瓦變形對水膜動力特性系數(shù)的影響

為考察粗糙度與軸瓦變形對水膜動力特性系數(shù)的影響，設置4個算例如下：算例1，既考慮粗糙度也考慮軸瓦變形(混合潤滑狀態(tài)，ML)；算例2，僅考慮軸瓦變形(彈流潤滑狀態(tài)，EHL)；算例3，僅考慮粗糙度(剛性混合潤滑狀態(tài)，rigid ML)；算例4，既不考慮粗糙度也不考慮變形(動力潤滑狀態(tài)，HL)。軸承尺寸與工況參數(shù)如表3所示，分別計算偏心率為0.95與0.98兩種工況下的動力特性系數(shù)，結(jié)果如圖5-6所示。

表3 軸承參數(shù)Tab.3 Bearing parameters used in analysis(2×150°circular bearing)

首先對比算例2（EHL）和算例4（HL），分析變形對剛度阻尼的影響。由圖5～6可知，偏心率為0.95時，彈流潤滑狀態(tài)下y方向的剛度系數(shù)小于動力潤滑狀態(tài)下的數(shù)值；隨著偏心率增至0.98，彈流潤滑狀態(tài)下的動力特性系數(shù)明顯小于動力潤滑狀態(tài)下的動力特性系數(shù)。這與前人的研究結(jié)論一致[6]：考慮了軸瓦彈性后，大偏心率下水膜厚度因軸瓦變形明顯增大，導致了水膜剛度阻尼的減小。

圖5 偏心率為0.95時動力特性系數(shù)隨表面粗糙度的變化曲線Fig.5 Dynamic coefficients of water film versus surface roughness when ε=0.95

對比算例3（rigid ML）和算例4（HL），分析粗糙度對剛度阻尼的影響。表面粗糙度很小時，剛性混合潤滑狀態(tài)與動力潤滑狀態(tài)下的動力特性系數(shù)接近。在兩種偏心率下，剛性混合潤滑狀態(tài)的剛度系數(shù)均隨著粗糙度提高先增大后減小，但偏心率為0.98 時剛度峰值對應的粗糙度小于偏心率為0.95 時的對應值。偏心率為0.95時，剛性混合潤滑狀態(tài)下，cyy以外的阻尼系數(shù)隨著粗糙度提高先增大后波動地減?。欢穆蕿?.98時，cyy以外的阻尼系數(shù)隨著粗糙度提高直接波動地減小。粗糙峰對kyy和cyy的增幅效果尤其顯著：對kyy具有增幅作用的粗糙度范圍大于其他剛度系數(shù)，cyy在兩種偏心率下均隨著粗糙度提高波動地增大。在平均流量模型中，粗糙度的影響由流量因子體現(xiàn)。粗糙峰高度的增加，會增大水膜的流動阻力，也減小了兩表面間的實際水膜厚度，因此水膜剛度和阻尼隨著粗糙度增大而增大。但是隨著粗糙峰高度增加，最小膜厚比不斷減小，當最小膜厚比小于某一閾值時，根據(jù)平均流量模型，粗糙峰高度繼續(xù)增大會導致更多的粗糙峰彼此接觸，減少表面間的通流面積與流量，流量因子將逐漸減小至0。所以粗糙峰對水膜剛度阻尼的增幅作用被流量減少所抵消，剛度阻尼隨著粗糙度進一步增大而下降。此外，通過剛性混合潤滑在2種偏心率下的動力特性系數(shù)對比可知，大偏心率或小間隙軸承對粗糙度更加敏感，因為此時粗糙度的增加更易使最小膜厚比低于增長閾值，致使水膜剛度阻尼減小。

對比算例1（ML）和算例3（rigid ML），分析粗糙度與軸瓦變形對剛度阻尼的綜合影響。表面粗糙度很小時，混合潤滑狀態(tài)與彈流潤滑狀態(tài)下的動力特性系數(shù)接近。考慮變形后，水膜剛度、阻尼隨粗糙度的變化類似于剛性混合潤滑狀態(tài)：在兩種偏心率下，混合潤滑狀態(tài)的動力特性系數(shù)均隨粗糙度提

高先增大后減小，且各剛度、阻尼系數(shù)峰值對應的粗糙度大于剛性混合潤滑狀態(tài)下的對應值。除此以外，混合潤滑狀態(tài)下y方向的剛度阻尼隨粗糙度的增長率小于剛性混合潤滑狀態(tài)下的增長率，這在偏心率為0.98 時尤為明顯。分別計算混合潤滑與剛性混合潤滑在剛度阻尼上升至峰值處的最小膜厚比，兩種模型在剛度、阻尼峰值處的最小膜厚比較為接近。根據(jù)上述現(xiàn)象可知，引入軸瓦變形并沒有徹底改變粗糙度對水膜剛度、阻尼的影響規(guī)律。由于變形增大了水膜厚度，相同的粗糙度下，混合潤滑狀態(tài)具有更大的最小膜厚比，相應地提高了最小膜厚比閾值對應的粗糙度?；旌蠞櫥瑺顟B(tài)下的阻尼系數(shù)依然能隨粗糙度略有上升而不是直接下降，也是因為變形延遲了最小膜厚比閾值的到來。此外大偏心率下變形主要集中在承載的y方向，故y方向粗糙度對剛度、阻尼的增幅效果受水膜厚度增大影響而有所削弱。

圖6 偏心率為0.98時動力特性系數(shù)隨表面粗糙度的變化曲線Fig.6 Dynamic coefficients of water film versus surface roughness when ε=0.98

3.3 傾角對水潤滑軸承動力特性系數(shù)的影響

本節(jié)討論軸頸傾斜對水潤滑軸承動力特性系數(shù)的影響，軸承參數(shù)見表4。艉軸在螺旋槳重力作用下?lián)锨冃?，導致軸頸在軸承中傾斜，影響水膜壓力分布。本文計算軸頸發(fā)生縱向傾斜，即θx＞0 時的動力特性系數(shù)。設置不同的外加載荷與軸承表面粗糙度（包括軸承光滑的彈流模型）構(gòu)成對比。

表4 軸承參數(shù)Tab.4 Bearing parameters used in the analysis(2×150°circular bearing)

圖7～8 展示了不同載荷與粗糙度下動力特性系數(shù)隨傾角θx的變化曲線。由圖可知，在特定載荷與粗糙度下，水膜的剛度和阻尼系數(shù)隨傾角的增大而增大，但kxy會在載荷和傾角較大時下降。此外，粗糙度對剛度和阻尼的影響規(guī)律相同。傾角較小時，各粗糙度以及光滑軸承的水膜剛度和阻尼十分接近，但是動力特性系數(shù)隨傾角的增長率與表面粗糙度呈反比，當傾角較大時，粗糙軸承的剛度和阻尼明顯小于光滑軸承的剛度和阻尼。上述現(xiàn)象在軸承載荷較大時更為明顯。

圖7 剛度系數(shù)隨傾角的變化曲線Fig.7 Stiffness coefficients versus misalignment angle

圖8 阻尼系數(shù)隨傾角的變化曲線Fig.8 Damping coefficients versus misalignment angle

為了解釋上述規(guī)律，給出計算工況下各軸承的最小水膜厚度hmin隨傾角的變化曲線，如圖9所示。對外載荷一定的軸承，其最小水膜厚度隨著傾角增大而減小，這是因為傾角增大后軸承必須運行在更大的偏心率下以彌補傾角增大造成的承載力損失。相應地，最小水膜厚度的減小會導致水膜剛度和阻尼的增大。此外，從圖9中還能觀察到固定載荷與傾角下，最小水膜厚度與粗糙度呈正比。并且，不同粗糙度間最小水膜厚度的差異隨著傾角增大而增大，當傾角較大時，粗糙軸承的最小膜厚明顯大于光滑軸承。Wang 等[5]曾經(jīng)指出，粗糙度具有提高水膜承載力的作用。當傾角增大，主要承載區(qū)向軸頸下沉端移動。在傾角增大的過程中，逐漸收縮的承載區(qū)域以及越來越薄的水膜，讓粗糙度在承載方面的作用愈發(fā)凸顯——粗糙軸承能用更厚的水膜承載起相同的外載。因此，在固定外載作用下，當傾角較大時，粗糙軸承的水膜剛度阻尼更小。

圖9 最小水膜厚度隨傾角的變化曲線Fig.9 Minimum film thickness versus misalignment angle

4 結(jié) 論

本文在傳統(tǒng)軸承動力學分析模型的基礎(chǔ)上考慮了軸瓦剛度、阻尼和軸承質(zhì)量以及可能存在的接觸剛度和阻尼，提出了水潤滑軸承動力學特性分析模型?；谠撃Ｐ屯茖Я擞嬋胼S瓦彈性變形與粗糙峰影響的擾動壓力雷諾方程。通過在不同工況下求解該方程，得到以下結(jié)論：

（1）當最小膜厚比較大時，粗糙度提高能增大水膜剛度和阻尼；但是隨著粗糙峰高度增加，最小膜厚度比不斷減小，當最小膜厚比小于某一閾值時，粗糙度繼續(xù)增大會導致剛度、阻尼下降。，由此可推知，大偏心率或小間隙軸承將會對粗糙度更加敏感，若此類軸承的表面粗糙度過大，很可能會引起水膜剛度和阻尼的下降。

（2）大偏心率下軸瓦變形會導致水膜剛度和阻尼減小，并且變形提高了最小膜厚比閾值對應的粗糙度，擴大了使水膜剛度和阻尼獲得增幅的粗糙度范圍，但是變形也削弱了承載方向粗糙度對剛度阻尼的增幅。

（3）承受固定載荷的軸承，軸頸傾角增大會導致水膜剛度和阻尼增大。同時，軸頸傾斜會強化表面粗糙度在承載方面的作用，粗糙軸承的水膜的剛度和阻尼在傾角較大時明顯小于光滑軸承的剛度和阻尼。