何書(shū)坤

● 特色與亮點(diǎn)

①在生活中學(xué)數(shù)學(xué)。本微課從學(xué)生喜愛(ài)的動(dòng)畫(huà)片入手創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在問(wèn)題情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

②學(xué)法思路清晰。在微課設(shè)計(jì)時(shí)，筆者以新課標(biāo)理念為指導(dǎo)思想，突出對(duì)平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，讓學(xué)生在參與平方差公式的探究推導(dǎo)、歸納證明、解釋應(yīng)用的過(guò)程中進(jìn)一步發(fā)展代數(shù)推理能力、表達(dá)能力等各方面的能力。

③生成思維導(dǎo)圖。本節(jié)微課將平方差公式的學(xué)習(xí)過(guò)程用思維導(dǎo)圖的方式呈現(xiàn)，讓學(xué)生清晰了解并記憶知識(shí)體系。

④語(yǔ)言風(fēng)趣幽默。在設(shè)計(jì)微課的過(guò)程中，重點(diǎn)強(qiáng)化語(yǔ)言的藝術(shù)性及規(guī)范性。

● 制作背景

①隨著新冠疫情的常態(tài)化，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了巨大的變化，如何設(shè)計(jì)出能夠滿足學(xué)生線上自主學(xué)習(xí)的相關(guān)配套資源顯得尤為重要。特別是在國(guó)家“雙減”工作的推進(jìn)下，生活化、體驗(yàn)式的學(xué)習(xí)走進(jìn)了學(xué)生視野。作為學(xué)科教師，筆者所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)資源也要適應(yīng)新發(fā)展與新要求，既要完成教學(xué)目標(biāo)，也要落實(shí)“雙減”工作的總要求。

②從知識(shí)體系看，本節(jié)課選自人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)《平方差公式》，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算、列簡(jiǎn)單的代數(shù)式、一次方程及不等式、整式的加減及整式乘法等知識(shí)，在學(xué)生已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式乘法之后，自然過(guò)渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，這是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例。對(duì)本課的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項(xiàng)式乘法的簡(jiǎn)便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡(jiǎn)、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法。因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中也具有很重要的地位，它是初中階段的第一個(gè)公式。

● 設(shè)計(jì)思路及內(nèi)容結(jié)構(gòu)

1.設(shè)計(jì)思路

①讓學(xué)生經(jīng)歷“特例—觀察—猜想—驗(yàn)證—?dú)w納—用數(shù)學(xué)符號(hào)表示”這一數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感、推理能力、歸納能力，同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。②讓學(xué)生了解平方差公式產(chǎn)生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運(yùn)用平方差公式解決問(wèn)題，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習(xí)中對(duì)發(fā)生的錯(cuò)誤做具體分析，加深學(xué)生對(duì)公式的理解。③通過(guò)自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷探索新知、鞏固新知和拓展新知的過(guò)程，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，在增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的同時(shí)，讓學(xué)生在公式的運(yùn)用中積累解題的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)成功的喜悅。④通過(guò)虛擬場(chǎng)景讓學(xué)生從生活中學(xué)習(xí)，在生活中體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

2.內(nèi)容結(jié)構(gòu)

教學(xué)目標(biāo)：會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算;在探索平方差公式的過(guò)程中，發(fā)展符號(hào)感和推理能力，在計(jì)算的過(guò)程中自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表達(dá)，從而體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔美，同時(shí)培養(yǎng)分析、綜合、抽象、概括以及運(yùn)算能力;激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鼓勵(lì)探索，有意識(shí)地培養(yǎng)創(chuàng)新能力，營(yíng)造文明和諧的學(xué)習(xí)氛圍。

重點(diǎn)：經(jīng)歷探索平方差公式的全過(guò)程，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算。

難點(diǎn)：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解釋平方差公式，并靈活、準(zhǔn)確應(yīng)用公式計(jì)算。

● 教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

（多媒體展示問(wèn)題情境）師：同學(xué)們都看過(guò)動(dòng)畫(huà)片《喜羊羊與灰太狼》吧？現(xiàn)在，灰太狼注冊(cè)了一家租地公司，他把一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形土地租給村長(zhǎng)種植。有一天他對(duì)村長(zhǎng)說(shuō)：“我把這塊地的一邊增加4米，另一邊減少4米，再繼續(xù)租給你，你也沒(méi)吃虧，你看如何？”村長(zhǎng)一聽(tīng)覺(jué)得也有道理，就答應(yīng)了。村長(zhǎng)這樣做合算嗎？

設(shè)計(jì)意圖：借用學(xué)生喜歡的動(dòng)畫(huà)片創(chuàng)設(shè)情境，利用幻燈片動(dòng)畫(huà)吸引學(xué)生的眼球。

2.復(fù)習(xí)回顧，引出新知

（1）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則。

（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

（2）計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

①（x+1）（x-1）=;②（m+2）（m-2）=;③（a+3b）（a-3b）=;④（2x+1）（2x-1）=。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)特殊的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算，既復(fù)習(xí)了舊知，又為學(xué)習(xí)平方差公式做了鋪墊。

3.探索新知，發(fā)現(xiàn)公式

（1）觀察發(fā)現(xiàn)，得出公式。

依照以上四道題的計(jì)算回答問(wèn)題：①式子的左邊具有什么共同特征？②它們的結(jié)果有什么共同特征？③能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？

教師提問(wèn)，學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律——式子左邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差，并猜想出（a+b）（a-b）=a2-b2。

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已掌握多項(xiàng)式乘法法則的基礎(chǔ)上，探索具有特殊形式的多項(xiàng)式乘法——平方差公式。

（2）數(shù)形結(jié)合，幾何推導(dǎo)。

（運(yùn)用動(dòng)畫(huà)展示活動(dòng)探究）在邊長(zhǎng)為a的正方形上減去邊長(zhǎng)為b的正方形（a>b），求剩余圖形的面積。并請(qǐng)用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關(guān)系。

①直接用大正方形的面積減去小正方形的面積得出a2-b2。

②可以用拼接的方式得到一個(gè)矩形，從而表示為（a+b）（a-b），進(jìn)而驗(yàn)證猜想（a+b）（a-b）=a2-b2。

③可以連接兩個(gè)小正方形的頂點(diǎn)，得到兩個(gè)全等的梯形，求出兩個(gè)梯形的面積，加和得出（a+b）（a-b），也能驗(yàn)證猜想（a+b）（a-b）=a2-b2，從而推導(dǎo)得出平方差公式。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生小組合作，完成剪拼游戲活動(dòng)，利用這些圖形面積的相等關(guān)系，進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證平方差公式的正確性，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生體會(huì)到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度、多方面來(lái)思考問(wèn)題。對(duì)于任意的a、b，由學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘法計(jì)算：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，驗(yàn)證公式的正確性。

（3）總結(jié)歸納，文字表達(dá)。

師：你能用文字表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？（兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差）

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言表述，從而提高學(xué)生的語(yǔ)言組織與表達(dá)能力。

（4）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。

在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中，其結(jié)構(gòu)特征為：

①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其中“a與a”是相同項(xiàng)，“b與-b”是相反項(xiàng);右邊是二項(xiàng)式，相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差，即a2-b2。

②讓學(xué)生說(shuō)明以上四個(gè)算式中，哪些式子相當(dāng)于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數(shù)或式。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察平方差公式，體驗(yàn)公式的簡(jiǎn)潔性，并通過(guò)分析公式的本質(zhì)特征掌握公式。在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住概念的核心，使學(xué)生在公式的運(yùn)用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果。

4.鞏固運(yùn)用，內(nèi)化新知

A組：直接應(yīng)用。

（1）判斷下列算式能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算：①（2x+3a）（2x-3b）;②（x+1）（x-1）;③（-m+n）（-m-n）;④（2p-3x）（2p-3x）。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方差公式必須具備的條件，鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會(huì)字母a、b可以代表數(shù)，也可以代表式，加深對(duì)字母含義廣泛性的理解。

（2）計(jì)算：①（3x+2）（3x-2）;②（b+2a）（2a-b）。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固平方差公式應(yīng)用，可引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法計(jì)算，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性。

B組：拓展深化，發(fā)展思維。

（1）計(jì)算：①99x（-101）;②（x+2）（x-2）-（x-2）（x+6）。

設(shè)計(jì)意圖：把相乘兩數(shù)轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，此題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)用逆向思維解決問(wèn)題;另一題是平方差公式與一般多項(xiàng)式乘法的綜合，注意不能用公式的仍按多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行計(jì)算。

（2）如圖1所示，小明家門前有一塊“L”形的蔬菜園，現(xiàn)在要分成兩塊形狀、面積相同的部分，種上兩種不同的蔬菜，請(qǐng)你幫小明設(shè)計(jì)并算出這塊蔬菜園的面積。

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用平方差公式解決實(shí)際問(wèn)題，設(shè)計(jì)此題與平方差公式的幾何意義相吻合，加深學(xué)生對(duì)平方差公式的理解。

C組：小試牛刀，挑戰(zhàn)自我。

（1）計(jì)算：①（2x+y）（2x-y）;②（-3a+b）（-3a-b）;③（m5+7n2）（m5-7n2）。

（2）在下列括號(hào)中填上合適的多項(xiàng)式：①（7a+2b）（ ?  ）=49a2-4b2;②（ ? ? ?）（ ? ? ?）=64-m2。

（3）看誰(shuí)算得快：0.652-0.352。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)此組題旨在從正反兩方面靈活運(yùn)用平方差公式，由結(jié)果逆向推導(dǎo)算式中的相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)鍛煉學(xué)生的逆向思維能力，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)做鋪墊。填空題第2題有兩種填法，屬于開(kāi)放設(shè)計(jì)，目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時(shí)也鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維。

5.解決導(dǎo)入，聯(lián)系實(shí)際

動(dòng)畫(huà)切換到導(dǎo)入，學(xué)生利用平方差公式很容易地算出：（a+4）（a-4）=a2-16。土地少了16平方米，看來(lái)村長(zhǎng)吃虧是因?yàn)樗粫?huì)平方差公式！學(xué)好數(shù)學(xué)很重要，它可以幫助我們解決生活中的問(wèn)題。

6.總結(jié)概括，自我評(píng)價(jià)

師：這節(jié)課你有哪些收獲？還有什么困惑？

設(shè)計(jì)意圖：從知識(shí)和情感態(tài)度兩個(gè)方面加以小結(jié)，使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)全面的認(rèn)識(shí)。

7.課后作業(yè)（如圖2）

設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)分層處理有較大的彈性，以滿足多樣化的學(xué)習(xí)需求。

● 關(guān)鍵技術(shù)處理

本節(jié)微課主要采用PPT演示技術(shù)，并結(jié)合錄播軟件合成技術(shù)完成制作。制作過(guò)程中通過(guò)對(duì)PPT動(dòng)畫(huà)效果的處理和圖形化展示數(shù)學(xué)模型的方式，突破教學(xué)難點(diǎn)，在微課中設(shè)計(jì)出互動(dòng)效果，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，教師根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律利用多媒體技術(shù)，逐步推導(dǎo)出平方差公式。

● 幕前幕后

在設(shè)計(jì)本微課時(shí)，最初的呈現(xiàn)方式是教學(xué)課件，通過(guò)課后記錄學(xué)生的參與程度與學(xué)習(xí)過(guò)程后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)確定錯(cuò)某些項(xiàng)符號(hào)及漏項(xiàng)等問(wèn)題。學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義的理解。于是，筆者把教學(xué)課件制作成了微課供學(xué)生預(yù)習(xí)及復(fù)習(xí)使用。本微課從根本上解決了不同層次學(xué)生具有不同的學(xué)習(xí)需求的問(wèn)題，方便學(xué)生進(jìn)行高效學(xué)習(xí)。

附：《平方差公式》微課二維碼