魏鵬云，張 琴

(塔里木大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院水利系，新疆 阿拉爾 843300)

1 引 言

對于土木及水利工程類的本科生來說，基礎(chǔ)力學(xué)的學(xué)習(xí)有不小的難度。一般高校的力學(xué)課程安排依次是理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)及彈性力學(xué)，其中，理論力學(xué)的研究對象主要是剛體，而材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)及彈性力學(xué)針對的則是變形體。材料力學(xué)主要講授的是桿、軸的拉、壓、彎、剪、扭問題，結(jié)構(gòu)力學(xué)主要針對的是平面桿件結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及變形計算，彈性力學(xué)的研究對象更加廣泛，獲得的力學(xué)響應(yīng)量的結(jié)果更加精確。

結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的位移計算是力學(xué)類課程的重點教學(xué)內(nèi)容，此部分內(nèi)容對學(xué)生的數(shù)學(xué)及力學(xué)功底有一定的要求，因而會導(dǎo)致很多同學(xué)對位移計算望而生畏。比較教學(xué)法可以提高教學(xué)效果和質(zhì)量，同一力學(xué)課程的比較[1]及力學(xué)類課程之間的比較是很有必要的[2]。本文以矩形等截面簡支梁受均布荷載作用時材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)及彈性力學(xué)各自能夠獲得的位移解答為例，通過對比分析來探討這三門力學(xué)在位移計算上的區(qū)別與聯(lián)系，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，加深學(xué)生對于這三門力學(xué)課程的理解。

2 材料力學(xué)關(guān)于簡支梁受均布荷載時的位移解答

在材料力學(xué)中，計算梁的豎向位移(撓度)可采用撓曲線近似微分方程[3]。如圖1所示，跨度為l的簡支梁受均布荷載q作用，此時的簡支梁用其軸線表示。簡支梁的抗彎剛度為EI，截面為矩形。

圖1 材料力學(xué)簡支梁計算簡圖

(1)建立坐標系。以A點為坐標原點，水平向右為x軸正向。

(2)支座反力的求解。由對稱性可知：

(1)

(3)任意截面的彎矩方程的求解。從任意位置x處截斷，取左側(cè)為隔離體可得：

(2)

(4)梁的撓曲線方程的求解。已知材料力學(xué)中等截面直梁的撓曲線方程為：

EIw″=-M(x)

(3)

將式(2)代入式(3)得：

(4)

對式(4)積分一次得：

(5)

對式(5)再積分一次得：

(6)

由簡支梁的邊界條件可求得積分常數(shù)c1和c2：

當(dāng)x=0時，w=0，將其代入式(6)，得c2=0；

將c1和c2代入式(6)，可得簡支梁受均布荷載作用時的近似撓曲線方程(豎向位移計算公式)為：

(7)

3 結(jié)構(gòu)力學(xué)關(guān)于簡支梁受均布荷載時的位移解答

結(jié)構(gòu)力學(xué)計算靜定結(jié)構(gòu)位移的一般方法是積分法。此外，對以彎曲變形為主的結(jié)構(gòu)還可以將考慮彎曲變形的積分公式等效為圖乘法[4]。因為簡支梁是以彎曲變形為主的結(jié)構(gòu)，所以用積分法和圖乘法都可以進行計算。為了與材料力學(xué)及彈性力學(xué)對比，計算位移時要考慮剪切變形的影響，故本文利用積分法來進行推導(dǎo)。一般結(jié)構(gòu)力學(xué)教材中計算的結(jié)構(gòu)位移主要是某點的線位移和某截面的角位移以及相對線位移和角位移。要想獲得如同材料力學(xué)一樣的軸線處任意一點的位移計算的解析式，只需要讓某點C的位置是任意的即可。

如圖2所示，跨度為l的簡支梁受均布荷載q作用，為了獲得簡支梁任意截面的線位移和角位移，可令任意截面C離A支座的距離為a，離B支座的距離為b，則求解出的C截面的線位移ΔC即是簡支梁任意截面的線位移。簡支梁的抗彎剛度和抗剪剛度分別為EI和GA，截面為矩形。

圖2 結(jié)構(gòu)力學(xué)簡支梁計算簡圖

(1)建立坐標系。以A點為坐標原點，水平向右為x軸正向。

(2)寫出實際荷載作用下任意截面x處的彎矩、剪力方程，做出實際荷載作用下簡支梁任意位置x的示意圖，如圖3所示。

圖3 實際荷載作用下任意位置x示意圖

利用截面法從x截面截斷，取左部分為隔離體，可得彎矩方程和剪力方程。

彎矩方程：

(8)

剪力方程：

(9)

(3)寫出虛設(shè)單位荷載作用下任意截面x處的彎矩、剪力方程，做出虛設(shè)單位荷載作用下簡支梁任意位置x的示意圖，如圖4所示。

圖4 虛設(shè)單位荷載作用下任意位置x示意圖

當(dāng)0≤x

彎矩方程：

(10)

剪力方程：

(11)

當(dāng)a≤x≤l時，利用截面法從x截面截斷，取右部分為隔離體，可得彎矩方程和剪力方程。

彎矩方程：

(12)

剪力方程：

(13)

(4)利用積分公式計算ΔC。荷載引起的靜定結(jié)構(gòu)位移計算一般公式為：

(14)

將式(8)-式(13)代入式(14)得：

(15)

為了與材料力學(xué)的解保持一致，可用x替換a，則有：

(16)

4 彈性力學(xué)關(guān)于簡支梁受均布荷載時的位移解答

如圖5所示，簡支梁的截面為矩形，高為h，跨度為l，不計體力。為計算方便，取梁的寬度為單位寬度，受均布荷載q作用，支承處的反力ql/2來維持平衡。

圖5 彈性力學(xué)簡支梁計算簡圖

(1)構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)并求應(yīng)力分量。梁的上邊界和下邊界為大邊界，必須嚴格滿足邊界條件：

(17)

梁的左邊界和右邊界為小邊界，可利用圣維南原理列邊界條件：

(18)

滿足式(17)和式(18)的邊界條件的應(yīng)力函數(shù)是具有5次方多項式的函數(shù)[5]，即為：

(19)

根據(jù)應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系可求得應(yīng)力分量為：

(20)

(21)

(22)

(2)確定應(yīng)力分量中的各系數(shù)，獲得應(yīng)力解析式。考慮到σx關(guān)于y軸對稱，則有式(20)中x的奇次方項的各系數(shù)為0，即：

c3=d4=c5=e5=0

(23)

由于σy是擠壓應(yīng)力，其與x無關(guān)，則有式(21)中含x項的各系數(shù)為0，即：

a3=a4=b4=b5=a5=0

(24)

由于剪應(yīng)力(τxy)y=±h/2=0，由式(22)可知：

b2=c4=0

(25)

結(jié)合式(19)及式(23)-式(25)，可得應(yīng)力函數(shù)的形式為：

Φ=a2x2+c2y2+b3x2y+d3y3+e4y4+d5x2y3+f5y5

(26)

應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足雙調(diào)和方程，則有：

▽4Φ=0+2×12d5y+24e4+120f5y=0

(27)

由式(27)可知：

(28)

由式(17)的第三式可知：

c2=0

(29)

由式(17)的第一、二式可知：

(30)

將式(30)的兩式相加，可得：

(31)

將式(31)代入式(17)的第一式可得：

(32)

由式(17)的第三式和式(18)的第四式可得：

(33)

將式(33)的第一式代入式(32)可得：

(34)

將式(33)的第一式代入式(28)的第二式可得：

(35)

剩余的邊界條件校核后自動滿足。將已求得的各系數(shù)代入式(20)-式(22)，可得應(yīng)力分量σx、σy、τxy的解析式為：

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(3)求位移分量的解析式。將式(39)-式(41)代入由應(yīng)力表示應(yīng)變的物理方程后再代入幾何方程可得：

(42)

(43)

同理可得：

(44)

(45)

將式(43)積分后得：

(46)

將式(44)積分后得：

+10y4-3h2y2)+f2(x)

(47)

(48)

要想由式(48)求得f1(y)和f2(x)的具體形式，需要將式(48)作分離變量處理：

(49)

(50)

對式(49)和式(50)積分后得：

f1(y)=k1y+C1

(51)

f2(x)=5x4-7.5l2x2-12h2x2-7.5μh2x2+k2x+C2

(52)

由式(48)-式(50)可知：

k1+k2=0

(53)

積分常數(shù)k1、k2、C1、C2可由邊界條件確定。

當(dāng)x=0，y=0時，由對稱性可知u=0，則由式(46)和式(51)可求得：

C1=0

(54)

k1=0

(55)

再結(jié)合式(53)可知：

k2=0

(56)

當(dāng)x=l/2，y=0時，v=0，則由式(47)和式(52)可得：

(57)

至此，積分常數(shù)k1、k2、C1、C2均已求得，將其代入式(46)及式(47)，可獲得位移的解析解如下：

(58)

(59)

式(59)為彈性力學(xué)獲得的簡支梁受均布荷載時的豎向位移的解析式。為了便于與材料力學(xué)及結(jié)構(gòu)力學(xué)的解答對比，需要求解軸線處任意點豎向位移的解析式。軸線處的y=0，只需令式(59)中的y為0即可，則有：

(60)

式(60)即為彈性力學(xué)獲得的簡支梁受均布荷載時軸線處的豎向位移解析式，也就是軸線處的撓度方程。

5 三種力學(xué)關(guān)于簡支梁受均布荷載時的轉(zhuǎn)角位移解答

式(7)為材料力學(xué)獲得的簡支梁受均布荷載時的豎向位移解析式，要想獲得轉(zhuǎn)角位移的解析式，只需要豎向位移對x進行微分，則有：

(61)

式(16)為結(jié)構(gòu)力學(xué)獲得的簡支梁受均布荷載時任意位置C的豎向位移解析式，要想獲得任意截面C的轉(zhuǎn)角位移解析式，只需要任意位置C的豎向位移對x進行微分，則有：

(62)

式(58)及式(59)為彈性力學(xué)獲得的簡支梁受均布荷載時任意點的水平與豎向位移的解析式。因為材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)獲得的轉(zhuǎn)角位移是軸線處的，為了便于對比，故只求解軸線處任意點的轉(zhuǎn)角位移的解析式，則有：

(63)

6 三種力學(xué)關(guān)于簡支梁受均布荷載時軸線處豎向位移及轉(zhuǎn)角位移解答的對比分析

通過計算簡支梁左右端及跨中位置的轉(zhuǎn)角及豎向位移解答來對比說明材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)及彈性力學(xué)在位移計算時的區(qū)別與聯(lián)系。表1為轉(zhuǎn)角位移的解答，表2為豎向位移的解答。注意：材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的左端x=0，而彈性力學(xué)的左端x=-l/2；材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的跨中x=l/2，而彈性力學(xué)的跨中x=0；材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的右端x=l，而彈性力學(xué)的右端x=l/2。

表1 三種力學(xué)關(guān)于簡支梁受均布荷載時軸線處轉(zhuǎn)角位移計算對比

續(xù)表1

表2 三種力學(xué)關(guān)于簡支梁受均布荷載時軸線處豎向位移計算對比

由表1可以看出，由于對稱性，無論是哪門力學(xué)，在簡支梁左右端點處的轉(zhuǎn)角位移大小相等、方向相反，跨中轉(zhuǎn)角位移為0。由表2可以看出，由于對稱性，無論是哪門力學(xué)，簡支梁在左右端點處的豎向位移為0，跨中位置豎向位移最大。三種力學(xué)獲得的轉(zhuǎn)角位移和豎向位移解答各不一樣，其中，材料力學(xué)獲得的位移最簡單，且材料力學(xué)的位移解答是結(jié)構(gòu)力學(xué)和彈性力學(xué)位移解答中的一部分。

出現(xiàn)這些區(qū)別和聯(lián)系是因為：材料力學(xué)利用撓曲線近似微分方程推導(dǎo)時沒有考慮剪切變形的影響，所以其獲得的解答是最簡單的近似解；結(jié)構(gòu)力學(xué)雖然考慮了剪切變形的影響，但是利用積分法考慮剪切變形的影響時仍然采用了一些近似處理(如利用平均切應(yīng)變來代替考慮剪切變形對位移的影響，并且在計算平均切應(yīng)變時引入改正系數(shù)來考慮切應(yīng)力在截面上的不均勻分布)，因而其得到的也是近似解，但是相較于材料力學(xué)，其精確度更高一些；彈性力學(xué)是嚴格地考慮了靜力學(xué)、幾何學(xué)及物理學(xué)三方面條件，并且建立嚴格的邊界條件進行求解，因而其獲得的解答是精確解[6]。

7 結(jié) 語

本文以矩形等截面簡支梁為研究對象，對比分析了材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)及彈性力學(xué)獲得的簡支梁軸線處的豎向位移及轉(zhuǎn)角位移解答。其中，結(jié)構(gòu)力學(xué)中利用單位荷載法推導(dǎo)了簡支梁任意位置處的豎向位移及轉(zhuǎn)角位移解答，并通過計算簡支梁左端點、右端點及跨中位置的豎向位移和轉(zhuǎn)角位移，說明了材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)獲得近似解及彈性力學(xué)獲得精確解的原因。通過本文的推導(dǎo)計算分析，可以幫助學(xué)生更好、更深入地了解這三門力學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系。